Numerische Nullstellenbestimmung und Integration

Kompetenzcode: AN 4.5

Bereich: Analysis

Manche Gleichungen und Integrale lassen sich nicht einfach exakt berechnen. Dann verwendet man ein numerisches Verfahren.

Numerisch bedeutet:

Wir berechnen einen Näherungswert und verbessern oder prüfen ihn systematisch.

Auf dieser Seite werden zwei verschiedene Probleme behandelt:

1. Eine Nullstelle $x$ mit $f(x)=0$ wird schrittweise angenähert.
2. Ein bestimmtes Integral wird durch einfache Teilflächen angenähert.

Beide Verfahren liefern normalerweise keinen exakten Wert. Deshalb gehören Genauigkeit und Plausibilitätskontrolle immer zur Lösung.

1. Exakt oder näherungsweise?

Ein exaktes Ergebnis enthält keinen Rundungsfehler. Beispiele sind

$$x=\sqrt{2}$$

oder

$$\int_0^3(x^2+1)\,dx=12.$$

Ein numerisches Ergebnis ist eine Dezimalnäherung:

$$x\approx1{,}4142.$$

Das Zeichen $\approx$ bedeutet ungefähr gleich.

Wichtiger Unterschied

$$x=1{,}4142$$

behauptet einen exakten Wert. Das ist hier nicht richtig. Korrekt ist

$$x\approx1{,}4142.$$

2. Nullstellen numerisch bestimmen

Eine Nullstelle ist eine Stelle $x$, an der

$$f(x)=0$$

gilt.

Bei einfachen Funktionen kann man die Gleichung exakt lösen. Bei schwierigeren Funktionen verwendet man ein Näherungsverfahren oder ein elektronisches Hilfsmittel.

Ein Iterationsverfahren erzeugt aus einem Näherungswert den nächsten:

$$x_0\longrightarrow x_1\longrightarrow x_2\longrightarrow x_3\longrightarrow\dots$$

Dabei ist $x_0$ der Startwert. Die weiteren Werte sollen sich einer Nullstelle nähern.

3. Das Newton-Verfahren

Ein häufig verwendetes Verfahren ist das Newton-Verfahren. Es benötigt die Funktion $f$, ihre Ableitung $f'$ und einen Startwert $x_0$.

Die Iterationsvorschrift lautet:

$$\boxed{ \overset{\text{neuer Wert}}{x_{n+1}} = \underset{\text{alter Wert}}{x_n} - \frac{ \overbrace{f(x_n)}^{\text{Funktionswert}} }{ \underbrace{f'(x_n)}_{\text{Steigung}} } }$$

Die Formel sagt in einfachen Worten:

1. Setze den aktuellen Näherungswert $x_n$ in $f$ und $f'$ ein.
2. Berechne die Korrektur $\frac{f(}{}$.

Geometrisch geht man von der Tangente im Punkt $(x_n,f(x_n))$ zu ihrem Schnittpunkt mit der $x$-Achse. Dieser Schnittpunkt ist der nächste Näherungswert.

4. Beispiel zum Newton-Verfahren

Gesucht ist die positive Nullstelle von

$$f(x)=x^2-2.$$

Es gilt

$$f'(x)=2x.$$

Wir wählen den Startwert

$$x_0=1{,}5.$$

Erster Schritt

$$\begin{aligned} x_1 &=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\\ &=1{,}5-\frac{1{,}5^2-2}{2\cdot1{,}5}\\ &=1{,}5-\frac{0{,}25}{3}\\ &\approx1{,}4166667. \end{aligned}$$

Zweiter Schritt

$$\begin{aligned} x_2 &=x_1-\frac{x_1^2-2}{2x_1}\\ &\approx1{,}4142157. \end{aligned}$$

Dritter Schritt

$$x_3\approx1{,}4142136.$$

Die Werte ändern sich kaum noch. Daher ist

$$\boxed{x\approx1{,}4142}$$

eine sinnvolle Näherung auf vier Nachkommastellen.

5. Wann wird die Iteration beendet?

Ohne Abbruchregel könnte man immer weiterrechnen. In Aufgaben wird deshalb eine Genauigkeit vorgegeben.

Abbruch nach der Änderung der Näherungswerte

Ein häufiges Kriterium lautet:

$$\boxed{ \underset{\text{Abbruchkriterium}}{|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon} }$$

Dabei ist $\varepsilon>0$ die gewünschte Toleranz.

Beispiel:

$$\varepsilon=0{,}0001.$$

Sobald sich zwei aufeinanderfolgende Werte um weniger als $0{,}0001$ unterscheiden, kann die Iteration nach diesem Kriterium beendet werden.

Prüfung mit dem Funktionswert

Eine angenäherte Nullstelle sollte zusätzlich die Gleichung fast erfüllen:

$$\boxed{ f(x_n)\overset{?}{\approx}0 }$$

Ein kleiner Wert von $|f(x_n)|$ ist ein gutes Zeichen. Er ersetzt aber nicht jede Fehlerbetrachtung: Bei einer sehr flachen Funktion kann auch ein kleiner Funktionswert noch zu einem merklichen Fehler in $x$ gehören.

Richtig runden

Zuerst wird mit mehreren Stellen gerechnet. Erst das Endergebnis wird auf die verlangte Genauigkeit gerundet. Zu frühes Runden kann die folgenden Iterationsschritte verändern.

6. Wann kann das Newton-Verfahren scheitern?

Das Newton-Verfahren ist oft schnell, aber nicht für jeden Startwert zuverlässig.

Problem 1: Ableitung gleich null

Ist

$$f'(x_n)=0,$$

dann ist der Bruch in der Newton-Formel nicht definiert.

Problem 2: Ableitung fast null

Ist $|f'(x_n)|$ sehr klein, kann die Korrektur sehr groß werden. Der nächste Wert springt dann möglicherweise weit von der gesuchten Nullstelle weg.

Problem 3: Ungünstiger Startwert

Die Folge kann sich einer anderen Nullstelle nähern, zwischen Werten springen oder gar nicht konvergieren.

Praktische Folgerung

Vor der Rechnung sollte der Graph betrachtet oder ein Intervall mit Vorzeichenwechsel gesucht werden:

$$f(a)\cdot f(b)<0.$$

Bei einer stetigen Funktion liegt dann mindestens eine Nullstelle zwischen $a$ und $b$.

7. Nullstellen mit Technologie bestimmen

Ein Taschenrechner, CAS oder GeoGebra kann Nullstellen direkt oder iterativ berechnen. Trotzdem müssen Eingabe und Ergebnis geprüft werden.

Sinnvoller Ablauf

1. Funktion korrekt eingeben.
2. Graph betrachten und einen passenden Suchbereich wählen.
3. Nullstellenbefehl oder Iterationsverfahren verwenden.
4. Genügend Dezimalstellen anzeigen lassen.
5. Das Ergebnis in $f$ einsetzen.
6. Das Ergebnis passend runden und mit $\approx$ angeben.

Plausibilitätskontrolle

Für einen berechneten Wert $x_N$ sollte gelten:

$$f(x_N)\approx0.$$

Außerdem sollte der Graph in der Nähe von $x_N$ die $x$-Achse schneiden oder berühren.

8. Bestimmte Integrale numerisch bestimmen

Ein bestimmtes Integral

$$I=\int_a^b f(x)\,dx$$

kann als orientierter Flächeninhalt gedeutet werden. Numerische Integrationsverfahren ersetzen den gekrümmten Graphen durch einfachere Teilstücke.

Das Grundprinzip lautet:

Teile das Intervall, ersetze den Graphen näherungsweise und addiere die Teilflächen.

Wir teilen das Intervall $[a,b]$ in $n$ gleich breite Teilintervalle. Die Schrittweite ist

$$\boxed{ h=\frac{b-a}{n} }$$

und die Stützstellen sind

$$x_i=a+i\cdot h \qquad\text{für}\qquad i=0,1,\dots,n.$$

9. Die zusammengesetzte Trapezregel

Bei der Trapezregel werden benachbarte Punkte des Graphen durch Geraden verbunden. Unter jedem Geradenstück entsteht ein Trapez.

Für ein Teilintervall $[x_i,x_{i+1}]$ gilt näherungsweise:

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)\,dx \approx h\cdot\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}.$$

Für das gesamte Intervall erhält man:

$$\boxed{ T_n = h\left( \frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} +f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_{n-1}) \right) }$$

Die beiden Randwerte erhalten also das Gewicht $\frac12$. Alle inneren Werte erhalten das Gewicht $1$.

Beispiel

Wir nähern

$$\int_0^3(x^2+1)\,dx$$

mit $n=6$ Trapezen an.

Die Schrittweite ist

$$h=\frac{3-0}{6}=0{,}5.$$

Einsetzen liefert:

$$\begin{aligned} T_6 &=0{,}5\left( \frac{1+10}{2} +1{,}25+2+3{,}25+5+7{,}25 \right)\\ &=12{,}125. \end{aligned}$$

Der exakte Integralwert ist $12$. Die Trapezregel liefert hier also eine gute, aber nicht exakte Näherung.

10. Die Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel verwendet die beiden Randwerte und zusätzlich den Wert in der Mitte des Intervalls.

Mit

$$m=\frac{a+b}{2}$$

gilt:

$$\boxed{ K = \frac{b-a}{6} \left( f(a)+4f(m)+f(b) \right) }$$

Die Gewichte sind leicht zu merken:

$$\underbrace{1}_{\text{links}} \;\text{-}\; \underbrace{4}_{\text{Mitte}} \;\text{-}\; \underbrace{1}_{\text{rechts}}.$$

Beispiel

Für $f(x)=x^2+1$ auf $[0,3]$ ist

$$m=\frac{0+3}{2}=1{,}5.$$

Damit gilt:

$$\begin{aligned} K &=\frac{3-0}{6} \left(f(0)+4f(1{,}5)+f(3)\right)\\ &=\frac36\left(1+4\cdot3{,}25+10\right)\\ &=12. \end{aligned}$$

In diesem Beispiel trifft die Keplersche Fassregel den exakten Wert. Das gilt nicht für jede Funktion.

11. Die zusammengesetzte Simpsonregel

Die Simpsonregel wendet die Idee der Keplerschen Fassregel wiederholt auf mehrere Teilintervalle an.

Wichtig:

$$\boxed{n\text{ muss gerade sein.}}$$

Mit

$$h=\frac{b-a}{n}$$

lautet die Formel:

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle S_n=\frac{h}{3}[}& {\displaystyle \underset{\text{Randwerte}}{\underbrace{f(x_0)+f(x_n)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +4\underset{\text{ungerade Indizes}}{\underbrace{(f(x_1)+f(x_3)+\cdots +f(x_{n-1}))}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\underset{}{\underset{}{(f(x_2)+f(x_4)+}}}\end{array}}}$$

Die Gewichte lauten daher:

$$1,\;4,\;2,\;4,\;2,\;\dots,\;4,\;1.$$

Die Randwerte werden einmal gezählt. Die inneren Werte erhalten abwechselnd das Gewicht $4$ und $2$.

Beispiel mit $n=6$

Für dieselbe Wertetabelle gilt:

$$\begin{aligned} S_6 &=\frac{0{,}5}{3}\Bigl[ 1+10 +4(1{,}25+3{,}25+7{,}25) +2(2+5) \Bigr]\\ &=12. \end{aligned}$$

Auch hier ist das Ergebnis exakt, weil die verwendete Funktion ein Polynom zweiten Grades ist. Im Allgemeinen bleibt $S_n$ ein Näherungswert.

Zusammenhang zwischen Kepler und Simpson

Die Keplersche Fassregel ist der Grundbaustein. Die zusammengesetzte Simpsonregel verwendet diesen Baustein auf mehreren Paaren von Teilintervallen.

12. Welche Integrationsregel passt?

Wenn die Aufgabe ein Verfahren vorgibt, wird genau dieses verwendet. Wenn frei gewählt werden darf, sind Simpson- oder Keplerregel bei glatten Funktionen oft genauer als die Trapezregel. Eine Garantie folgt daraus aber nicht ohne weitere Voraussetzungen.

13. Numerische Integration mit Technologie

Ein elektronisches Hilfsmittel kann ein bestimmtes Integral direkt numerisch berechnen. Auch dann muss die Eingabe vollständig sein:

• Funktion $f(x)$
• Integrationsvariable $x$
• untere Grenze $a$
• obere Grenze $b$

Sinnvoller Ablauf

1. Funktion und Intervall korrekt eingeben.
2. Graph im Intervall betrachten.
3. Numerischen Integralbefehl ausführen.
4. Ausreichend Dezimalstellen anzeigen lassen.
5. Ergebnis passend runden.
6. Vorzeichen und Größenordnung prüfen.

14. Plausibilitätskontrolle

Numerische Ergebnisse müssen zur Aufgabe passen.

Bei einer Nullstelle

• Liegt der Wert im erwarteten Bereich?
• Gilt $f(x_N)\approx0$?
• Zeigt der Graph dort einen Schnitt oder eine Berührung mit der $x$-Achse?
• Haben sich die letzten Näherungswerte stabilisiert?

Bei einem Integral

• Ist das Vorzeichen sinnvoll?
• Ist die Größenordnung plausibel?
• Wurde die Intervallbreite berücksichtigt?
• Wurden bei der Simpsonregel die Gewichte korrekt gesetzt?
• Ist bei einem Sachkontext die Einheit richtig?

Ist $f(x)\geq0$ im ganzen Intervall, muss auch

$$\int_a^b f(x)\,dx\geq0$$

gelten.

Liegt der Funktionswert auf einem Intervall der Breite $3$ ungefähr zwischen $1$ und $10$, wäre ein Integralwert wie $12$ plausibel. Ein Wert wie $500$ wäre dagegen offensichtlich verdächtig.

15. Typische Fehler

Fehler 1: Exaktheitszeichen verwenden

Falsch:

$$x=1{,}4142.$$

Richtig:

$$x\approx1{,}4142.$$

Fehler 2: Beim Newton-Verfahren $f'$ vergessen

Die Korrektur lautet

$$\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},$$

nicht nur $f(x_n)$.

Fehler 3: Zu früh runden

Zwischenergebnisse werden mit mehreren Stellen weiterverwendet. Erst am Ende wird gerundet.

Fehler 4: Abbruch ohne Kontrolle

Zwei ähnliche Näherungswerte allein beweisen nicht immer, dass die richtige Nullstelle gefunden wurde. Zusätzlich wird $f(x_n)\approx0$ geprüft.

Fehler 5: Falsche Schrittweite

$$h=\frac{b-a}{n}$$

und nicht $\frac{b-a}{n+1}$.

Fehler 6: Randwerte der Trapezregel doppelt zählen

In der zusammengefassten Formel erhalten die Randwerte jeweils das Gewicht $\frac12$.

Fehler 7: Ungerades $n$ bei der Simpsonregel

Die zusammengesetzte Simpsonregel benötigt eine gerade Anzahl von Teilintervallen.

Fehler 8: Simpson-Gewichte vertauschen

Die Reihenfolge lautet

$$1,4,2,4,\dots,2,4,1.$$

16. Allgemeiner Arbeitsplan

Numerische Nullstelle

1. Funktion und gesuchte Nullstelle klären.
2. Graph oder Vorzeichenwechsel betrachten.
3. Geeigneten Startwert wählen.
4. Iterationsvorschrift vollständig notieren.
5. Näherungswerte mit ungerundeten Zwischenwerten berechnen.
6. Abbruchkriterium prüfen.
7. Endwert in $f$ einsetzen.
8. Ergebnis passend gerundet mit $\approx$ angeben.

Numerisches Integral

1. Funktion und Grenzen notieren.
2. Anzahl $n$ der Teilintervalle prüfen.
3. Schrittweite $h$ berechnen.
4. Stützstellen und Funktionswerte bestimmen.
5. Vorgegebene Integrationsregel auswählen.
6. Gewichte sorgfältig einsetzen.
7. Näherungswert berechnen und erst am Ende runden.
8. Vorzeichen, Größenordnung und Einheit prüfen.

Merksätze

• Numerische Verfahren liefern Näherungswerte.
• Beim Newton-Verfahren erzeugt $x_n$ den nächsten Wert $x_{n+1}$.
• Ein guter Näherungswert erfüllt $f(x_n)\approx0$.