Erweiterte Ableitungsregeln

Kompetenzcode: AN 2.2
Bereich: Analysis

Viele Funktionen bestehen aus mehreren miteinander verknüpften Funktionstermen. Sie sind beispielsweise ein Produkt, ein Quotient oder eine Verkettung. Vor dem Ableiten muss deshalb zuerst die Struktur des Terms erkannt werden.

Die wichtigste Frage lautet:

Welche Rechenoperation verbindet die großen Bestandteile der Funktion?

1. Überblick über die Regeln

Produktregel

Für

$$f(x)=u(x)\cdot v(x)$$

gilt:

$$\boxed{f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}$$

Es wird also zuerst der erste Faktor und danach der zweite Faktor abgeleitet.

Quotientenregel

Für

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$$

gilt an allen Stellen mit $v(x)\neq 0$:

$$\boxed{ f'(x)= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)} {\left(v(x)\right)^2} }$$

Die Reihenfolge im Zähler ist wichtig:

$$\text{Ableitung oben}\cdot\text{unten} - \text{oben}\cdot\text{Ableitung unten}.$$

Kettenregel

Für eine verkettete Funktion

$$f(x)=g(u(x))$$

gilt:

$$\boxed{f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)}$$

Kurz gesagt:

$$\boxed{\text{äußere Ableitung}\cdot\text{innere Ableitung}}$$

Die innere Funktion bleibt beim Ableiten der äußeren Funktion zunächst erhalten.

2. Die richtige Regel auswählen

Die äußerste Struktur entscheidet, mit welcher Regel begonnen wird.

Innerhalb der einzelnen Bestandteile können weitere Regeln notwendig sein.

Beispielsweise ist

$$f(x)=x^2\cdot \ln(3x+1)$$

äußerlich ein Produkt. Innerhalb des zweiten Faktors wird zusätzlich die Kettenregel benötigt.

3. Produktregel

Beispiel

Gegeben ist

$$f(x)=(x^2+1)\cdot e^x.$$

Wir setzen

$$u(x)=x^2+1 \qquad\text{und}\qquad v(x)=e^x.$$

Dann gilt:

$$u'(x)=2x \qquad\text{und}\qquad v'(x)=e^x.$$

Mit der Produktregel erhält man:

$$\begin{aligned} f'(x) &=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ &=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x\\ &=e^x(x^2+2x+1). \end{aligned}$$

Wichtig

Die Ableitung eines Produkts ist im Allgemeinen nicht das Produkt der beiden Ableitungen:

$$(u\cdot v)'\neq u'\cdot v'.$$

Beide Summanden der Produktregel werden benötigt.

4. Quotientenregel

Beispiel

Gegeben ist

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.$$

Zuerst wird die Definitionsmenge betrachtet:

$$x-1\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 1.$$

Wir setzen

$$u(x)=x^2+1, \qquad v(x)=x-1.$$

Damit gilt:

$$u'(x)=2x, \qquad v'(x)=1.$$

Die Quotientenregel liefert:

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}\\ &= \frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2}\\ &= \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}. \end{aligned}$$

Auch für die Ableitung bleibt $x=1$ ausgeschlossen.

5. Kettenregel

Beispiel

Gegeben ist

$$f(x)=(3x-2)^5.$$

Die innere Funktion lautet

$$u(x)=3x-2$$

und die äußere Funktion

$$g(u)=u^5.$$

Die beiden Ableitungen sind:

$$u'(x)=3, \qquad g'(u)=5u^4.$$

Daher:

$$\begin{aligned} f'(x) &=5(3x-2)^4\cdot 3\\ &=15(3x-2)^4. \end{aligned}$$

Der Faktor $3$ entsteht durch die Ableitung der inneren Funktion.

6. Weitere wichtige Grundableitungen

Allgemeine Exponentialfunktion

Für $a>0$ gilt:

$$\boxed{\left(a^x\right)'=a^x\ln(a)}$$

Bei einer inneren Funktion $u(x)$ folgt mit der Kettenregel:

$$\boxed{ \left(a^{u(x)}\right)' = a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x) }$$

Beispiel

$$f(x)=2^{x^2}$$

führt zu

$$f'(x)=2^{x^2}\ln(2)\cdot 2x.$$

Natürlicher Logarithmus

Für $x>0$ gilt:

$$\boxed{\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}}$$

Allgemein:

$$\boxed{ \left(\ln(u(x))\right)' = \frac{u'(x)}{u(x)} }$$

Dabei muss gelten:

$$u(x)>0.$$

Beispiel

$$f(x)=\ln(x^2+4)$$

ergibt:

$$f'(x)=\frac{2x}{x^2+4}.$$

Logarithmus zu einer beliebigen Basis

Für $a>0$, $a\neq 1$ und $x>0$ gilt:

$$\boxed{ \left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x\ln(a)} }$$

Mit einer inneren Funktion erhält man:

$$\boxed{ \left(\log_a(u(x))\right)' = \frac{u'(x)}{u(x)\ln(a)} }$$

Auch hier muss $u(x)>0$ gelten.

Tangensfunktion

Für alle Stellen mit $\cos(x)\neq 0$ gilt:

$$\boxed{ \left(\tan x\right)' = \frac{1}{\cos^2(x)} }$$

Mit einer inneren Funktion:

$$\boxed{ \left(\tan(u(x))\right)' = \frac{u'(x)}{\cos^2(u(x))} }$$

Beispiel

$$f(x)=\tan(3x)$$

ergibt:

$$f'(x)=\frac{3}{\cos^2(3x)}.$$

Die Funktion ist nur an Stellen definiert, an denen

$$\cos(3x)\neq 0$$

gilt.

7. Mehrere Regeln kombinieren

Beispiel

Gegeben ist

$$f(x)=x^2\cdot\ln(3x+1).$$

Die äußerste Struktur ist ein Produkt. Wir setzen:

$$u(x)=x^2, \qquad v(x)=\ln(3x+1).$$

Dann gilt:

$$u'(x)=2x.$$

Für $v'(x)$ wird die Kettenregel benötigt:

$$v'(x)=\frac{3}{3x+1}.$$

Mit der Produktregel folgt:

$$\boxed{ f'(x) = 2x\ln(3x+1) + \frac{3x^2}{3x+1} }$$

Vor der Rechnung muss außerdem die Definitionsbedingung beachtet werden:

$$3x+1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-\frac{1}{3}.$$

8. Definitionsbedingungen

Die Definitionsmenge wird immer vor dem Ableiten bestimmt.

Quotienten

Der Nenner darf nicht null sein:

$$v(x)\neq 0.$$

Logarithmen

Das Argument muss positiv sein:

$$u(x)>0.$$

Für $\log_a$ muss zusätzlich gelten:

$$a>0 \qquad\text{und}\qquad a\neq 1.$$

Tangens

Der Kosinus im Nenner darf nicht null sein:

$$\cos(u(x))\neq 0.$$

Die Ableitung hebt diese Einschränkungen nicht auf.

9. Typische Fehler

Fehler 1: Produkt gliedweise ableiten

Falsch:

$$(u\cdot v)'=u'\cdot v'.$$

Richtig:

$$(u\cdot v)'=u'v+uv'.$$

Fehler 2: Reihenfolge der Quotientenregel vertauschen

Im Zähler steht:

$$u'v-uv'.$$

Ein vertauschtes Vorzeichen verändert das Ergebnis.

Fehler 3: Nenner nicht quadrieren

Bei der Quotientenregel lautet der Nenner:

$$v(x)^2.$$

Fehler 4: Innere Ableitung vergessen

Falsch:

$$\left((3x-2)^5\right)'=5(3x-2)^4.$$

Richtig:

$$\left((3x-2)^5\right)'=15(3x-2)^4.$$

Fehler 5: Potenz- und Exponentialfunktion verwechseln

Für $x^n$ gilt:

$$(x^n)'=n x^{n-1}.$$

Für $a^x$ gilt dagegen:

$$(a^x)'=a^x\ln(a).$$

Fehler 6: Definitionsbedingungen ignorieren

Ein algebraisch berechneter Ableitungsterm ist nur innerhalb der ursprünglichen Definitionsmenge gültig.

10. Ableitungen kontrollieren

Eine Ableitung kann auf mehrere Arten geprüft werden:

1. Struktur und verwendete Regel noch einmal vergleichen.
2. Definitionsbedingungen kontrollieren.
3. Einen einfachen Wert einsetzen.
4. Den Verlauf von Funktion und Ableitung grafisch vergleichen.
5. Das Ergebnis mit einem CAS oder GeoGebra überprüfen.

GeoGebra kann ein Ergebnis kontrollieren. Die Auswahl und Begründung der verwendeten Regel muss trotzdem nachvollziehbar bleiben.

11. Allgemeiner Arbeitsplan

1. Definitionsmenge bestimmen.
2. Äußerste Struktur der Funktion erkennen.
3. Teilfunktionen sinnvoll benennen.
4. Benötigte Ableitungsregeln auswählen.
5. Teilfunktionen einzeln ableiten.
6. Innere Ableitungen vollständig berücksichtigen.
7. Ergebnisse in die Hauptregel einsetzen.
8. Erst danach algebraisch vereinfachen.
9. Definitionsbedingungen erneut prüfen.
10. Ergebnis durch Einsetzen, Graph oder CAS kontrollieren.

Merksätze

• Bei einem Produkt werden zwei Summanden gebildet.
• Bei einem Quotienten ist die Reihenfolge im Zähler entscheidend.
• Bei einer Verkettung wird mit der inneren Ableitung multipliziert.
• Definitionsbedingungen werden vor der Ableitung bestimmt und bleiben gültig.
• Bei kombinierten Funktionen entscheidet zuerst die äußerste Struktur.