bestimmt Grundform, Definitionsbereich und Symmetrieart
a
verändert Orientierung und vertikale Abstände
b
verschiebt den gesamten Graphen nach oben oder unten
Beim Untersuchen einer Parameterwirkung wird der Exponent z festgehalten.
2. Wirkung des Vorzeichens von a
Vergleiche
f(x)=xz+b
und
g(x)=−xz+b.
Das negative Vorzeichen spiegelt die Grundform relativ zur Geraden
y=b.
Beispiel mit z=2 und b=1
f(x)=x2+1,g(x)=−x2+1.
Beide Graphen besitzen den charakteristischen Punkt
(0∣1).
Der zweite Graph ist an der horizontalen Geraden y=1 gespiegelt.
Merksatz:a<0 bewirkt eine Spiegelung relativ zur Geraden y=b.
3. Wirkung des Betrags ∣a∣
Der Betrag von a bestimmt, wie weit die Graphenpunkte von y=b entfernt liegen.
Vertikale Streckung
Für
∣a∣>1
werden die Abstände zu y=b vergrößert.
Vertikale Stauchung
Für
0<∣a∣<1
werden die Abstände zu y=b verkleinert.
Unveränderte Abstände
Für
∣a∣=1
bleiben die Abstände der Grundform erhalten.
Rechnung am Punkt x=1
Da
1z=1
gilt:
f(1)=a+b.
Daher ist der gerichtete Abstand des Punktes (1∣f(1)) von y=b gleich a:
f(1)−b=a.
Der Betrag des Abstandes ist
∣f(1)−b∣=∣a∣.
4. Der Grenzfall a=0
Für
a=0
verschwindet der Potenzterm:
f(x)=b.
Es entsteht eine konstante . Sie gehört nicht mehr zur eigentlichen Potenzfunktionsfamilie mit a=0, ist aber als Grenzfall zum Verständnis der Reglerwirkung hilfreich.
5. Wirkung des Parameters b
Der Parameter b verschiebt den gesamten Graphen senkrecht.
b>0
Verschiebung nach oben.
b<0
Verschiebung nach unten.
Änderung um Δb
Aus
g(x)=axz+(b+Δb)
folgt
g(x)=f(x)+Δb.
Jeder Funktionswert verändert sich also um denselben Betrag:
g(x)−f(x)=Δb.
Merksatz: Eine Änderung von b verändert alle Funktionswerte um denselben Betrag.
6. Bedeutung von b bei positiven Exponenten
Für positive ganzzahlige Exponenten gilt:
f(0)=a⋅0z+b=b.
Der Graph enthält daher den Punkt
(0∣b).
Bei geraden positiven Exponenten ist dieser Punkt der Scheitelpunkt der Grundform. Bei ungeraden positiven Exponenten ist er das Symmetriezentrum.
Auch bei der Wurzelfunktion
f(x)=ax+b
beginnt der Graph im Punkt
(0∣b).
7. Bedeutung von b bei negativen Exponenten
Bei negativen Exponenten ist x=0 nicht definiert.
Daher gilt nicht
b=f(0).
Stattdessen ist
y=b
die horizontale Asymptote.
Ändert sich b, verschieben sich
beide Äste des Graphen und
die horizontale Asymptote
um denselben Betrag nach oben oder unten.
Die vertikale Asymptote
x=0
bleibt unverändert.
8. Was bleibt bei Änderungen von a und b erhalten?
Solange a=0 bleibt, verändern a und b nicht die Exponentenart.
Daher bleiben erhalten:
positiver oder negativer Exponent
gerader oder ungerader Exponent
Definitionsbereich
Zusammenhang oder Zweiteilung
Symmetrieart
bei negativen Exponenten die vertikale Asymptote x=0
Verändert werden:
Orientierung durch das Vorzeichen von a
vertikale Abstände durch ∣a∣
Höhe des Graphen durch b
horizontale Asymptote bei negativen Exponenten
9. Beispiele mit positivem geradem Exponenten
Betrachte
f(x)=ax2+b.
a=2,b=0
f(x)=2x2.
Der Graph ist gegenüber x2 vertikal gestreckt.
a=21,b=0
f(x)=21x2.
Der Graph ist vertikal gestaucht.
a=−1,b=0
f(x)=−x2.
Der Graph ist an der x-Achse gespiegelt.
a=−1,b=3
f(x)=−x2+3.
Der Graph ist relativ zu y=3 nach unten orientiert und besitzt den Scheitelpunkt
(0∣3).
10. Beispiele mit positivem ungeradem Exponenten
Betrachte
f(x)=ax3+b.
Der Graph bleibt zusammenhängend und punktsymmetrisch zu
(0∣b).
a>0: Verlauf von links unten nach rechts oben
a<0: gespiegelter Verlauf von links oben nach rechts unten
großes ∣a∣: stärkere vertikale Abstände
kleines ∣a∣: geringere vertikale Abstände
11. Beispiele mit negativem Exponenten
Betrachte
f(x)=x2a+b.
a>0: beide Äste liegen oberhalb von y=b
a<0: beide Äste liegen unterhalb von y=b
∣a∣>1: größere Abstände zu y=b
0<∣a∣<1: kleinere Abstände zu y=b
b: verschiebt beide Äste und die horizontale Asymptote
Die vertikale Asymptote bleibt
x=0.
12. Beispiel mit der Wurzelfunktion
f(x)=ax+b.
Der Definitionsbereich bleibt
x≥0.
a>0: der Graph steigt ab (0∣b)
a<0: der Graph fällt ab (0∣b)
∣a∣>1: größere vertikale Abstände
0<∣a∣<1: kleinere vertikale Abstände
b: Startpunkt wird nach oben oder unten verschoben
13. Parameteränderungen in Tabellen
Für zwei Funktionen
f(x)=axz+b
und
g(x)=cxz+d
sollte man nicht nur einzelne Werte vergleichen.
Nur b verändert
Wenn a=c, dann gilt:
g(x)−f(x)=d−b.
Die Differenz der Funktionswerte ist für alle zulässigen x konstant.
Nur a verändert
Wenn b=d, dann gilt:
f(x)−bg(x)−b=ac,
sofern der Nenner nicht null ist.
Damit werden die Abstände zur Referenzgeraden y=b mit einem festen Faktor verändert.
14. Parameter im Kontext deuten
Die Einheit von b ist die Einheit der Ausgabegröße.
Die Einheit von a lautet allgemein:
[a]=(Eingabe-Einheit)zAusgabe-Einheit.
Beispiel
A(r)=πr2.
Der Parameter a=π skaliert den quadrierten Radius zur Kreisfläche.
Verschobenes Modell
T(x)=2x+10.
Der Parameter b=10 ist der Startwert T(0). Der Parameter a=2 skaliert den Wurzelterm.
Kontextregel: Parameter immer mit Bedeutung, Einheit und Bezugsgröße deuten.
15. Typische Fehler
Ein negatives a als Verschiebung statt als Spiegelung deuten.
Die Spiegelung immer an der x-Achse beschreiben, obwohl b=0.
∣a∣>1 mit horizontaler Streckung verwechseln.
0<∣a∣<1 als stärkere Steigung bezeichnen.
Bei einer Änderung von b die horizontale Asymptote nicht mitverschieben.
Bei negativen Exponenten b=f(0) behaupten.
Die vertikale Asymptote x=0 durch eine Änderung von b verschieben.
Definitionsbereich oder Symmetrieart als Wirkung von a oder b ansehen.
Den Grenzfall a=0 ohne Hinweis als gewöhnliche Potenzfunktion behandeln.
Parameter ohne Einheit oder Kontextsatz deuten.
16. Arbeitsplan
Exponenten z und Grundform bestimmen.
Referenzgerade y=b einzeichnen oder benennen.
Vorzeichen von a prüfen.
Betrag ∣a∣ mit 1 vergleichen.
Streckung, Stauchung oder Spiegelung beschreiben.
Parameter b als vertikale Verschiebung deuten.
Charakteristischen Punkt oder horizontale Asymptote angeben.
Erhaltene Eigenschaften nennen.
Aussage an einem geeigneten Punkt, besonders x=1, kontrollieren.
Parameter im Kontext mit Einheiten deuten.
Kontrollfrage: Habe ich die Wirkung von a relativ zu y=b beschrieben und die Wirkung von b als Verschiebung des gesamten Graphen erklärt?
1
Vorzeichen prüfen
a>0 und a<0 unterscheiden.
2
Spiegelung deuten
Bei a<0 relativ zu y=b formulieren.
3
Betrag vergleichen
|a| größer, kleiner oder gleich 1 prüfen.
4
Abstände beschreiben
Vertikale Abstände zu y=b vergleichen.
5
Grenzfall kennzeichnen
a=0 als konstante einordnen.
FA 3.3 – Wirkung des Parameters b beschreiben
Die vertikale Verschiebung und ihre graphischen Kennzeichen für verschiedene Exponententypen erklären.
1
Richtung bestimmen
Vorzeichen und Änderung von b auswerten.
2
Alle Werte verschieben
Konstante Änderung sämtlicher erklären.
3
Punkt (0|b) nutzen
Bei positiven und angeben.
4
Asymptote y=b nutzen
Bei negativen bestimmen.
5
x=0 erhalten
Vertikale Asymptote bei negativen festhalten.
FA 3.3 – Parameterwirkungen in Darstellungen vergleichen
, Tabellen und Graphen gezielt vergleichen und jeweils nur einen verändern.
1
Vergleich festlegen
und einen konstant halten.
2
Graphen vergleichen
Orientierung, Abstand und Verschiebung beschreiben.
3
Tabellen auswerten
Konstante Differenzen oder feste Abstandsfaktoren erkennen.
4
Punkt x=1 nutzen
f(1)=a+b zur Kontrolle verwenden.
5
Aussage begründen
Mindestens zwei Darstellungen miteinander verbinden.
FA 3.3 – Parameter im Kontext deuten und kontrollieren
Bedeutung, Einheit, Bezugsgröße und Modellgrenzen der vollständig formulieren.
1
Ausgabegröße bestimmen
Einheit von b festlegen.
2
Einheit von a ableiten
Potenz der Eingabeeinheit berücksichtigen.
3
Kontextsatz formulieren
Skalierung und Startwert sachlich deuten.
4
Plausibilität prüfen
Graph, Tabelle oder charakteristischen Punkt verwenden.
5
Fehlerdiagnose durchführen
Spiegelachse, Asymptoten und Grenzfall a=0 kontrollieren.
FA 3.3 – Parameter b als Verschiebung deuten
Den b als vertikale Verschiebung des Graphen deuten.
1
Funktionsform betrachten
Schreibe die Potenzfunktion in der Form f(x)=a·xz+b.
2
Parameter b identifizieren
Bestimme den konstanten Zusatzterm b.
3
Grundgraph vergleichen
Vergleiche den Graphen mit der entsprechenden ohne Zusatzterm b.
4
Verschiebungsrichtung bestimmen
Für b>0 wird der Graph nach oben, für b<0 nach unten verschoben.
5
Verschiebungsbetrag bestimmen
Der Betrag |b| gibt die Größe der vertikalen Verschiebung an.
6
Wirkung formulieren
Beschreibe b als reine vertikale Verschiebung, bei der Form und Potenztyp unverändert bleiben.
FA 3.3 – Parameteränderung grafisch vergleichen
Graphen derselben Potenzfunktion mit unterschiedlichen vergleichen.
1
Gemeinsamen Potenztyp erkennen
Prüfe, dass die betrachteten Graphen denselben z besitzen.
2
Parameter a vergleichen
Untersuche Vorzeichen und Betrag des Vorfaktors a.
3
Wirkung von a zuordnen
Änderungen von a beeinflussen Streckung, Stauchung und gegebenenfalls Spiegelung.
4
Parameter b vergleichen
Untersuche die konstanten Zusatzterme b.
5
Wirkung von b zuordnen
Unterschiedliche b-Werte verschieben den Graphen vertikal.
6
Graphunterschied begründen
Ordne die sichtbaren Unterschiede eindeutig der Änderung von a beziehungsweise b zu.
FA 3.3 – Graph aus Parametern skizzieren
Aus gegebenen einen passenden Potenzfunktionsgraphen skizzieren.
1
Potenztyp festlegen
Bestimme den z und den typischen Grundverlauf von xz.
2
Wirkung von a anwenden
Berücksichtige Vorzeichen und Betrag von a für Spiegelung, Streckung oder Stauchung.
3
Wirkung von b anwenden
Verschiebe den entstandenen Graphen um b nach oben oder unten.
4
Charakteristische Punkte bestimmen
Berechne oder übernimm einige geeignete Wertepaare zur Orientierung.
5
Graph skizzieren
Zeichne einen glatten Verlauf entsprechend Potenztyp und Definitionsbereich.
6
Skizze prüfen
Kontrolliere Symmetrie, Lage, Verschiebung und markante Punkte mit den .
FA 3.3 – Parameteränderung im Kontext deuten
Die Veränderung von a oder b im jeweiligen Sachkontext interpretieren.
1
Parameteränderung bestimmen
Vergleiche alten und neuen Wert von a beziehungsweise b.
2
Sachgrößen zuordnen
Kläre die Bedeutung von x und f(x) im Modell.
3
Änderung von a deuten
Erkläre, wie sich der Skalierungs- oder Proportionalitätseffekt im Sachzusammenhang verändert.
4
Änderung von b deuten
Erkläre, wie sich ein konstanter Grund- oder Ausgangswert verschiebt.
5
Einheiten ergänzen
Gib die Parameteränderung mit der passenden sachlichen Einheit an, sofern diese festgelegt ist.
6
Kontextsatz formulieren
Beschreibe die Auswirkung der Parameteränderung auf das Modell in einem vollständigen Satz.
b
Vorzeichenwechsel von a untersuchen.
∣a∣>1 und 0<∣a∣<1 vergleichen.
Nur b verändern und a festhalten.
Die Referenzgerade y=b einzeichnen.
Bei negativen Exponenten beide Asymptoten beobachten.
Den Punkt (1∣a+b) markieren.
Hilfreiche Objekte
q: y=b
A=(1,f(1))
B=(0,b)
Bei negativen Exponenten ist B kein Graphenpunkt, sondern nur ein Punkt auf der Referenzgeraden.
Nicht ausreichend
Beide gleichzeitig verändern und nur die Endform beschreiben.
Spiegelung ohne Referenzgerade erklären.
Den Definitionsbereich ignorieren.
Parameterwirkungen ausschließlich durch optisches Raten begründen.
Den Grenzfall a=0 nicht kennzeichnen.
Tutorregel
Zuerst händisch vorhersagen, dann mit dem Regler kontrollieren und schließlich die Beobachtung als vollständigen mathematischen Satz formulieren.
