Parameterschätzung und Konfidenzintervalle

Kompetenzcode: WS 4.1

Bereich: Wahrscheinlichkeit und Statistik

Eine Stichprobe liefert Informationen über eine größere Grundgesamtheit. Ein einzelner Schätzwert ist zufallsabhängig; ein Konfidenzintervall ergänzt ihn um einen Bereich plausibler Parameterwerte.

1. Grundgesamtheit, Stichprobe und Schätzwerte

• Grundgesamtheit: alle interessierenden Untersuchungseinheiten.
• Stichprobe: die tatsächlich beobachteten $n$ Einheiten.
• Parameter: unbekannte Kennzahl der Grundgesamtheit, etwa $\mu$, $\sigma$ oder $p$.
• Stichprobenkennzahl: aus Daten berechneter Schätzwert, etwa $\bar x$, $s$ oder $\hat p$.

Beispiel 1: Begriffe unterscheiden

Eine Schule möchte die mittlere tägliche Lernzeit aller $820$ Schülerinnen und Schüler kennen. Zufällig ausgewählte $80$ Personen werden befragt. Die $820$ Personen bilden die Grundgesamtheit, die $80$ Befragten die Stichprobe. Der unbekannte Mittelwert $\mu$ ist ein Parameter; der Stichprobenmittelwert $\bar x$ ist sein Schätzwert.

Beispiel 2: Punktwerte aus einer Stichprobe

Für die Stichprobe $8,10,9,11,12$ gilt $n=5$ und

$$\bar x=\frac{8+10+9+11+12}{5}=10.$$

Mit der Stichprobenstandardabweichung

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n-1}} =\sqrt{\frac{10}{4}}\approx1{,}581$$

werden $\mu$ durch $10$ und $\sigma$ durch etwa $1{,}581$ geschätzt.

2. Schätzen aus klassierten Daten

Bei klassierten Daten sind die Einzelwerte nicht mehr bekannt. Jede Klasse wird näherungsweise durch ihre Mitte $m_j$ vertreten.

Beispiel 3: Klassenmitten und Mittelwert

Für die Klassen $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,30)$ mit Häufigkeiten $3,5,2$ lauten die Klassenmitten . Der geschätzte Mittelwert ist

$$\bar x\approx\frac{3\cdot5+5\cdot15+2\cdot25}{10}=14.$$

Beispiel 4: Streuung aus Klassen schätzen

Mit denselben Klassenmitten ergibt sich näherungsweise

$$s\approx\sqrt{\frac{3(5-14)^2+5(15-14)^2+2(25-14)^2}{10-1}} =\sqrt{\frac{490}{9}}\approx7{,}379.$$

Da die tatsächlichen Werte innerhalb jeder Klasse unbekannt sind, sind beide Ergebnisse Näherungen.

3. Konfidenzniveau, Signifikanzniveau und Quantil

Ein zweiseitiges Konfidenzniveau $1-\alpha$ verteilt die Restwahrscheinlichkeit $\alpha$ auf beide Ränder. Für $95\,\%$ gilt $\alpha=0{,}05$ und

$$z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}\approx1{,}96.$$

Beispiel 5: Niveau und Quantil bestimmen

Bei $90\,\%$ Konfidenzniveau ist $\alpha=0{,}10$, also $1-\alpha/2=0{,}95$. Das benötigte Standardnormalquantil ist $$.

4. Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Ist die Populationsstandardabweichung $\sigma$ bekannt und das Modell geeignet, lautet das zweiseitige Intervall

$$\bar x\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}.$$

Ist $\sigma$ unbekannt, wird sie durch $s$ ersetzt und bei normalverteilter Grundgesamtheit das t-Quantil mit $n-1$ Freiheitsgraden verwendet:

$$\bar x\pm t_{n-1;1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n}.$$

Beispiel 6: Bekannte Standardabweichung

Gegeben seien $\bar x=50$, $\sigma=8$, $n=64$ und $95\mathrm{\%}$ Konfidenzniveau. Der Standardfehler ist , daher

$$50\pm1{,}96\cdot1=[48{,}04;51{,}96].$$

Beispiel 7: Unbekannte Standardabweichung

Für $\bar x=72$, $s=8$, $n=16$ und $t_{15;}$ ergibt sich

$$72\pm2{,}131\frac8{\sqrt{16}} =72\pm4{,}262 =[67{,}738;76{,}262].$$

Technologie liefert das Intervall direkt, wenn Daten oder $n,\bar x,s$ korrekt eingegeben und das t-Verfahren gewählt werden.

Beispiel 8: Intervall richtig interpretieren

Das Intervall $[48{,}04;51{,}96]$ bedeutet: Das verwendete Verfahren erzeugt bei sehr vielen gleichartigen Stichproben in etwa $95\,\%$ der Fälle Intervalle, die $\mu$ enthalten. Für das konkret berechnete Intervall sagt man im Kontext, dass Werte zwischen $48{,}04$ und $$ mit den Daten auf diesem Vertrauensniveau vereinbar sind. ist nicht zufällig zwischen den Grenzen „mit Wahrscheinlichkeit“ verteilt.

Beispiel 9: Stichprobenumfang und Breite

Der Fehlerterm enthält $1/\sqrt n$. Wird $n$ bei sonst gleichen Bedingungen vervierfacht, halbiert sich die Intervallbreite. Ein höheres Konfidenzniveau verwendet dagegen ein größeres Quantil und macht das Intervall breiter.

5. Konfidenzintervall für die Standardabweichung

Für normalverteilte Daten kann ein Intervall für $\sigma$ mit der Chi-Quadrat-Verteilung bestimmt werden. In der Lerncoach-Praxis wird dafür Technologie verwendet, weil die Quantile asymmetrisch sind.

Beispiel 10: Standardabweichung technologisch schätzen

Für $n=25$, $s=4$ und $95\,\%$ Konfidenzniveau liefert das Chi-Quadrat-Verfahren näherungsweise

$$\sigma\in[3{,}123;5{,}565].$$

Das Intervall beschreibt plausible Werte der Streuung der Grundgesamtheit, nicht die Streuung einzelner Messwerte um $s$.

6. Konfidenzintervall für einen Anteil

Bei $x$ Treffern in $n$ unabhängigen Beobachtungen ist

$$\hat p=\frac xn$$

der Stichprobenanteil. Ein geeignetes Anteilsintervall soll Werte für die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ schätzen. Technologie verwendet je nach Einstellung beispielsweise ein Wilson- oder exaktes Binomialintervall.

Beispiel 11: Stichprobenanteil und Intervall

Unter $200$ Befragten stimmen $120$ zu. Damit ist

$$\hat p=\frac{120}{200}=0{,}60.$$

Ein zweiseitiges $95\,\%$-Wilson-Intervall ist näherungsweise

$$p\in[0{,}531;0{,}665].$$

Im Kontext sind also Anteile von etwa $53{,}1\,\%$ bis $66{,}5\,\%$ mit der Stichprobe und dem gewählten Verfahren vereinbar.

Beispiel 12: Einfluss von $n$ beim Anteil

Bei gleichem beobachtetem Anteil führt ein größerer Stichprobenumfang im Regelfall zu einem engeren Intervall. Nahe $0$ oder $1$ und bei kleinen Stichproben soll kein ungeprüftes symmetrisches Näherungsintervall verwendet werden; ein geeignetes Technologieverfahren bleibt innerhalb $[0,1]$.

Typische Fehler

• Parameter $\mu,\sigma,p$ und Stichprobenwerte $\bar x,s,\hat p$ werden verwechselt.
• Bei unbekanntem wird ohne Begründung ein z- statt t-Intervall verwendet.

Merksätze

• Punktschätzung nennt einen Wert, Intervallschätzung einen plausiblen Bereich.
• Größeres $n$ senkt den Standardfehler ungefähr proportional zu $1/\sqrt n$.
• Bekannte Standardabweichung führt zum z-, unbekannte zur t-Intervallschätzung für $\mu$.