Brüche und Dezimalzahlen

Ein Bruch beschreibt einen Anteil und zugleich eine Division.

$$\frac{a}{b}=a:b, \qquad b\neq0.$$

Bei $\frac35$ ist $3$ der Zähler und $5$ der Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wird. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile gemeint sind.

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1. Gleichwertige Brüche

Brüche können unterschiedlich aussehen und trotzdem denselben Wert besitzen.

$$\frac12=\frac24=\frac48.$$

Erweitern

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben von null verschiedenen Zahl multipliziert.

$$\frac{3}{5} \underset{\text{erweitert mit }4}{=} \frac{3\cdot4}{5\cdot4} = \frac{12}{20}.$$

Kürzen

Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe von null verschiedene Zahl dividiert.

$$\frac{18}{24} \underset{\text{gekürzt durch }6}{=} \frac{18:6}{24:6} = \frac34.$$

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als $1$ mehr besitzen.

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2. Brüche vergleichen

Gleicher Nenner

Bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.

$$\frac37<\frac57.$$

Gleicher Zähler

Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer, weil die Teile größer sind.

$$\frac35>\frac38.$$

Verschiedene Zähler und Nenner

Es wird ein gemeinsamer Nenner hergestellt.

$$\frac23 \underset{\text{erweitert mit }4}{=} \frac{8}{12}, \qquad \frac34 \underset{\text{erweitert mit }3}{=} \frac{9}{12}.$$

Daher gilt:

$$\frac23<\frac34.$$

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3. Brüche addieren und subtrahieren

Brüche dürfen erst addiert oder subtrahiert werden, wenn sie denselben Nenner besitzen.

Gleiche Nenner

$$\begin{aligned} \frac{3}{11}+\frac{5}{11} &=\frac{3+5}{11} &&\text{Zähler addieren, Nenner beibehalten}\\ &=\frac{8}{11}. \end{aligned}$$

Ausführliches Beispiel mit verschiedenen Nennern

$$\frac34-\frac29$$

Der kleinste gemeinsame Nenner von $4$ und $9$ ist $36$.

$$\frac34 \underset{\text{erweitert mit }9}{=} \frac{27}{36}, \qquad \frac29 \underset{\text{erweitert mit }4}{=} \frac{8}{36}.$$

Nun kann subtrahiert werden:

$$\begin{aligned} \frac34-\frac29 &=\frac{27}{36}-\frac{8}{36} \\ &=\frac{27-8}{36} &&\text{Zähler subtrahieren}\\ &=\frac{19}{36}. \end{aligned}$$

Der Nenner wird nicht mitgerechnet, weil die Größe der Teile gleich bleibt.

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4. Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.$$

Vor dem Multiplizieren darf über Kreuz gekürzt werden.

Ausführliches Beispiel

$$\begin{aligned} \frac{6}{7}\cdot\frac{14}{15} &=\frac{2}{7}\cdot\frac{14}{5} &&\text{gekürzt durch }3\\ &=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{5} &&\text{gekürzt durch }7\\ &=\frac{2\cdot2}{1\cdot5} \\ &=\frac45. \end{aligned}$$

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5. Brüche dividieren

Beim Dividieren wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.

$$\frac ab:\frac cd = \frac ab\cdot\frac dc.$$

Ausführliches Beispiel

$$\begin{aligned} \frac56:\frac{10}{9} &=\frac56\cdot\frac9{10} &&\text{zweiten Bruch umdrehen}\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} &&\text{gekürzt durch }5\text{ und }3\\ &=\frac{1\cdot3}{2\cdot2} \\ &=\frac34. \end{aligned}$$

Nur der zweite Bruch wird umgedreht.

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6. Gemischte Zahlen und unechte Brüche

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil.

$$2\frac35 = \frac{2\cdot5+3}{5} = \frac{13}{5}.$$

Umgekehrt wird dividiert:

$$\begin{aligned} \frac{17}{4} &=17:4 \\ &=4\text{ Rest }1 \\ &=4\frac14. \end{aligned}$$

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7. Zwischen Bruch und Dezimalzahl wechseln

Bruch in Dezimalzahl

Der Bruchstrich wird als Division gelesen.

$$\begin{aligned} \frac38 &=3:8 \\ &=0{,}375. \end{aligned}$$

Dezimalzahl in Bruch

Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt den Zehnerbruch.

$$\begin{aligned} 0{,}45 &=\frac{45}{100} &&\text{zwei Nachkommastellen}\\ &=\frac9{20} &&\text{gekürzt durch }5. \end{aligned}$$

Nicht jeder Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl. Zum Beispiel gilt:

$$\frac13=0{,}333\ldots$$

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8. Dezimalzahlen stellenrichtig rechnen

Bei Addition und Subtraktion stehen gleiche Stellenwerte untereinander. Deshalb werden die Kommas untereinander geschrieben.

$$\begin{aligned} 4{,}70+2{,}35 &=7{,}05. \end{aligned}$$

Die Null in $4{,}70$ verändert den Wert nicht, macht aber die Stellenwerte sichtbar.

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9. Kontrolle durch Größenordnung

$$\frac34-\frac29$$

$\frac34$ ist ungefähr $0{,}75$, $\frac29$ ungefähr . Die Differenz muss daher ungefähr betragen.

$$\frac{19}{36}\approx0{,}528.$$

Das Ergebnis passt zur Schätzung.

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10. Typische Fehler

• Zähler und Nenner werden beim Addieren getrennt addiert.
• Beim Erweitern wird nur der Zähler verändert.
• Beim Kürzen werden verschiedene Zahlen für Zähler und Nenner verwendet.
• Bei einer Division werden beide Brüche umgedreht.
• Das Ergebnis wird nicht vollständig gekürzt.
• Dezimalkommas werden bei Addition und Subtraktion nicht stellenrichtig angeordnet.

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11. Zusammenfassung

• Erweitern und Kürzen verändern den Wert eines Bruchs nicht.
• Für Addition und Subtraktion ist ein gemeinsamer Nenner notwendig.
• Beim Multiplizieren werden Zähler und Nenner getrennt multipliziert.
• Beim Dividieren wird der zweite Bruch umgedreht.
• Ein Bruch wird durch Division in eine Dezimalzahl umgewandelt.