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Brüche und Dezimalzahlen | LerncoachMG 1.3
Brüche und Dezimalzahlen
Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Passend für
Mathematische Grundlagen6 SchrittlistenPDF verfügbar
34=68
Mit 2 erweitert
6 von 8 Teilen
Vollständig gekürzt34
Als Dezimalzahl= 0,75
Dieser Bruch ist bereits vollständig gekürzt. Beide Streifen zeigen trotzdem genau denselben Anteil. Die Dezimaldarstellung endet.
Was lernst du hier?
- Zähler: Wie viele Teile gemeint sind.
- Nenner: In wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wird.
- Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.
- Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
Ein Bruch beschreibt einen Anteil und zugleich eine Division.
ba=a
MG 1.3 – Bruch als Anteil deuten
Zähler und Nenner eines Bruchs benennen und einen Bruch als Anteil deuten.
- 1
Bruchstrich lesen
Ein Bruch beschreibt die Teilung in gleich große Teile.
- 2
Nenner benennen
Die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner und gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wird.
- 3
Zähler benennen
Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler und gibt an, wie viele dieser Teile gemeint sind.
- 4
Anteil deuten
Verbinde Zähler und Nenner mit der Vorstellung von ausgewählten Teilen eines Ganzen.
- 5
Einfaches Beispiel prüfen
Bei 3/4 wird ein Ganzes in 4 gleiche Teile geteilt und 3 Teile werden betrachtet.
- 6
Bruch in Worten erklären
Formuliere den gegebenen Bruch als Anteil verständlich in einem Satz.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
:
b,b=
0.
heißt die obere Zahl Zähler und die untere Zahl Nenner:
Nenner53Za¨hler Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind.
Bruch als Anteil deuten
Stell dir eine Pizza vor, die in 8 gleich große Stücke geteilt wird. Wenn davon 3 Stücke gemeint sind, beschreibt der Bruch
den Anteil 3 von 8 gleich großen Teilen.
Dabei ist 3 der Zähler und 8 der Nenner.
Merke: Der Nenner beschreibt die Anzahl aller gleich großen Teile. Der Zähler beschreibt die Anzahl der betrachteten Teile.
Ein Bruch kann auch als Division gelesen werden:
83=3:8.
Brüche erweitern
Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben von null verschiedenen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.
53erweitert mit 4=5⋅43⋅4=2012. 21=42=84 beschreibt jeweils denselben Anteil.
Merke: Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden.
Brüche kürzen
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe von null verschiedene Zahl dividiert.
2418geku¨rzt durch 6=24:618:6=43. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr besitzen.
Merke: Kürzen verändert nur die Schreibweise eines Bruchs, nicht seinen Wert.
Brüche vergleichen
Brüche können auf verschiedene Arten verglichen werden.
Gleicher Nenner
Bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer:
73<75. Gleicher Zähler
Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer:
53>83. Verschiedene Zähler und Nenner
Dann kann ein gemeinsamer Nenner hergestellt werden:
32erweitert mit 4=128,43erweitert mit 3=129. 32<43. Alternativ können beide Brüche als Dezimalzahlen dargestellt und dann verglichen werden.
Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren
Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Dann werden nur die Zähler addiert oder subtrahiert; der Nenner bleibt gleich.
113+115=113+5=118. 139−134=139−4=135.
Wichtig: Der Nenner wird nicht addiert oder subtrahiert.
Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren
Haben Brüche verschiedene Nenner, müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden.
43−92 Ein gemeinsamer Nenner ist 36:
43erweitert mit 9=3627,92erweitert mit 4=368. Nun kann subtrahiert werden:
43−92=3627−368=36
Vorgehen: gemeinsamen Nenner finden → erweitern → Zähler verrechnen → Ergebnis wenn möglich kürzen.
Brüche multiplizieren
Beim Multiplizieren von Brüchen gilt:
ba⋅dc=b⋅da⋅c. Zähler wird mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Häufig lohnt es sich, vorher zu kürzen.
76⋅1514=72⋅514=1 Zum Schluss wird das Ergebnis vollständig gekürzt.
Brüche dividieren
Beim Dividieren durch einen Bruch wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.
ba:dc=ba⋅cd. 65:910=65⋅109=2
Achtung: Nur der zweite Bruch wird umgedreht.
Bruch in Dezimalzahl umwandeln
Ein Bruch wird in eine Dezimalzahl umgewandelt, indem der Zähler durch den Nenner dividiert wird.
Endliche Dezimalzahl
83=3:8=0,375. Periodische Dezimalzahl
Nicht jeder Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl. Zum Beispiel:
31=0,333…=0,3. 72=0,285714285714…=0,285714 wiederholt sich eine ganze Ziffernfolge.
Merke: Ein Bruch kann eine endliche oder eine periodische Dezimalzahl ergeben.
Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Eine endliche Dezimalzahl kann als Zehnerbruch geschrieben und anschließend vollständig gekürzt werden.
Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt den Nenner:
0,45=10045=209. 0,7=107,0,125=1000125=81.
Vorgehen: Dezimalzahl als Zehnerbruch schreiben → vollständig kürzen.
Gemischte Zahl umwandeln
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch.
Gemischte Zahl in unechten Bruch
253=52⋅5+3=513. Unechten Bruch in gemischte Zahl
417=17:4=4 Rest 1=441.
Merke: Der Nenner bleibt beim Umwandeln derselbe.
Typische Fehler
- Beim Erweitern oder Kürzen wird nur der Zähler verändert.
- Gleichnamige Brüche werden fälschlich auch im Nenner addiert oder subtrahiert.
- Ungleichnamige Brüche werden verrechnet, bevor ein gemeinsamer Nenner hergestellt wurde.
- Beim Dividieren wird der erste oder werden beide Brüche umgedreht.
- Ein Ergebnis wird nicht vollständig gekürzt.
- Bei der Umwandlung in eine Dezimalzahl werden Zähler und Nenner vertauscht.
- Bei einer gemischten Zahl wird der ganze Anteil beim Umwandeln vergessen.
Das Wichtigste auf einen Blick
- Ein Bruch beschreibt einen Anteil und kann als Division gelesen werden.
- Erweitern und Kürzen verändern den Wert eines Bruchs nicht.
- Gleichnamige Brüche können direkt addiert und subtrahiert werden; ungleichnamige müssen zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.
- Brüche werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
- Beim Dividieren wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.
- Ein Bruch kann als endliche oder periodische Dezimalzahl dargestellt werden.
- Endliche Dezimalzahlen können als vollständig gekürzte Brüche geschrieben werden.
- Zwischen gemischten Zahlen und unechten Brüchen kann in beide Richtungen umgewandelt werden.
MG 1.3 – Brüche erweitern
Einen Bruch mit einer vorgegebenen Zahl erweitern.
- 1
Erweiterungszahl bestimmen
Bestimme die Zahl, mit der erweitert werden soll.
- 2
Zähler multiplizieren
Multipliziere den Zähler mit dieser Zahl.
- 3
Nenner multiplizieren
Multipliziere den Nenner mit derselben Zahl.
- 4
Neuen Bruch notieren
Schreibe die beiden neuen Zahlen über beziehungsweise unter den Bruchstrich.
- 5
Wertgleichheit beachten
Durch Erweitern ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
- 6
Ergebnis prüfen
Kontrolliere, dass Zähler und Nenner tatsächlich mit demselben multipliziert wurden.
MG 1.3 – Brüche kürzen
Einen Bruch vollständig oder mit einer vorgegebenen Zahl kürzen.
- 1
Gemeinsamen Teiler suchen
Finde eine Zahl größer als 1, durch die Zähler und Nenner teilbar sind.
- 2
Zähler dividieren
Teile den Zähler durch diesen gemeinsamen Teiler.
- 3
Nenner dividieren
Teile den Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler.
- 4
Kürzen wiederholen
Sind Zähler und Nenner weiterhin gemeinsam teilbar, kürze erneut.
- 5
Vollständig gekürzt erkennen
Der Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr besitzen.
- 6
Wertgleichheit prüfen
Kontrolliere, dass durch das Kürzen nur die Darstellung und nicht der Wert des Bruchs verändert wurde.
MG 1.3 – Brüche vergleichen
Brüche durch geeignete Umformung oder Dezimaldarstellung vergleichen.
- 1
Vergleichsweg wählen
Entscheide, ob gleiche Nenner, gleiche Zähler oder Dezimalzahlen den Vergleich am einfachsten machen.
- 2
Bei Bedarf erweitern
Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
- 3
Zähler vergleichen
Bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.
- 4
Alternative Dezimaldarstellung nutzen
Du kannst die Brüche auch durch Division in Dezimalzahlen umwandeln.
- 5
Vergleichszeichen setzen
Verwende <, > oder = passend zum Ergebnis.
- 6
Plausibilität prüfen
Vergleiche die Größen grob mit 0, 1/2 oder 1, wenn das hilfreich ist.
MG 1.3 – Brüche dividieren
Brüche mithilfe des Kehrwerts dividieren.
- 1
Division als Bruchrechnung erkennen
Schreibe die zu dividierenden Brüche übersichtlich nebeneinander.
- 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Vertausche beim zweiten Bruch Zähler und Nenner.
- 3
Division in Multiplikation umwandeln
Ersetze das Divisionszeichen durch ein Multiplikationszeichen.
- 4
Zähler multiplizieren
Multipliziere die Zähler miteinander.
- 5
Nenner multiplizieren
Multipliziere die Nenner miteinander.
- 6
Ergebnis kürzen
Kürze den erhaltenen Bruch vollständig und prüfe, dass der ursprüngliche Divisor nicht 0 war.
MG 1.3 – Gemischte Zahl umwandeln
Zwischen gemischter Zahl und unechtem Bruch wechseln.
- 1
Darstellung erkennen
Prüfe, ob eine gemischte Zahl oder ein unechter Bruch gegeben ist.
- 2
Gemischte Zahl in Bruch umwandeln
Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler.
- 3
Nenner beibehalten
Der Nenner bleibt beim Umwandeln einer gemischten Zahl gleich.
- 4
Unechten Bruch zerlegen
Teile bei einem unechten Bruch den Zähler durch den Nenner.
- 5
Ganzzahl und Rest verwenden
Der ganzzahlige Quotient wird zum Ganzzahlteil, der Rest zum neuen Zähler.
- 6
Umwandlung prüfen
Kontrolliere durch Rückumwandeln oder überschlägiges Vergleichen, ob beide Darstellungen denselben Wert besitzen.
27−8
=3619.
2
⋅
52
=54.
1
⋅
23
=43.
