Beobachte, was nach jeweils gleich langen Zeitintervallen mit dem aktuellen Bestand passiert.
Charakteristische Zeit
Halbwertszeit6 ZE
38
Bedeutung
Nach jeweils 6 Zeiteinheiten ist nur noch die Hälfte des unmittelbar davor vorhandenen Bestands übrig.
Modell
N(t)=100⋅(21)6t
Nach drei Intervallen
12,5
100 → 50 → 25 → 12,5
Merke: Entscheidend ist nicht die Hälfte oder das Doppelte des Anfangswerts, sondern die Halbierung beziehungsweise Verdopplung des jeweils aktuellen Werts.
Halbwertszeit und Verdoppelungszeit
Kompetenzcode: FA 5.5 Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Halbwertszeit und Verdoppelungszeit beschreiben charakteristische Zeitspannen exponentieller Entwicklungen.
Leitidee: Nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte des aktuellen Wertes. Nach jeder Verdoppelungszeit ist der aktuelle Wert doppelt so groß.
1. Grundidee
Bei einer exponentiellen Abnahme wird ein Bestand in gleichen Zeitabständen immer mit demselben kleiner.
Bei einem exponentiellen Wachstum wird er in gleichen Zeitabständen immer mit demselben Faktor größer.
Die charakteristische Zeitspanne ist dabei unabhängig davon, bei welchem Zeitpunkt man beginnt.
2. Definition der Halbwertszeit
Die Halbwertszeit T1/2 ist jene Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte des aktuellen Wertes vorhanden ist.
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
FA 5.5 – Halbwertszeit und Verdoppelungszeit unterscheiden
Die beiden charakteristischen Zeitspannen sicher definieren und passenden Modellarten zuordnen.
1
Modellart prüfen
Wachstum oder Abnahme anhand von b beziehungsweise Lambda erkennen.
2
Zeitbegriff wählen
Halbwertszeit oder Verdoppelungszeit eindeutig benennen.
3
Zielverhältnis notieren
Eine Hälfte oder das Doppelte des aktuellen Wertes festlegen.
4
Wiederholbarkeit verstehen
Die Zeitspanne gilt von jedem passenden Ausgangszeitpunkt aus.
5
Begriff im Kontext erklären
Eine vollständige Formulierung mit 'nach jeweils' bilden.
FA 5.5 – Charakteristische Zeiten aus Modellen berechnen
Halbwerts- und Verdoppelungszeit aus b- und Lambda-Darstellungen bestimmen.
Digitales Werkzeug
GeoGebra
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra-Übersicht: FA 5.5 – Halbwertszeit und Verdoppelungszeit
GeoGebra dient zur Kontrolle und zur grafischen Darstellung charakteristischer Zeitspannen.
Halbwertszeit bedeutet nicht „Zeit bis null“. Eine Exponentialfunktion erreicht den Wert null im üblichen Modell nicht.
3. Definition der Verdoppelungszeit
Die Verdoppelungszeit T2 ist jene Zeitspanne, nach der der aktuelle Wert doppelt so groß ist.
f(t+T2)=2⋅f(t)
Beginnt man bei t=0, gilt
f(T2)=2a
mit a=f(0).
4. Mehrere Halbwertszeiten
Nach einer Halbwertszeit bleibt
21a.
Nach zwei Halbwertszeiten bleibt
21⋅21a=41a.
Nach n Halbwertszeiten gilt
f(nT1/2)=a⋅(21)n.
Beispiel:
a=160mg.
Nach drei Halbwertszeiten:
f(3T1/2)=160⋅(21)3=160⋅8
5. Mehrere Verdoppelungszeiten
Nach einer Verdoppelungszeit ist der Wert
2a.
Nach zwei Verdoppelungszeiten ist er
2⋅2a=4a.
Nach n Verdoppelungszeiten gilt
f(nT2)=a⋅2n.
Beispiel:
a=75.
Nach vier Verdoppelungszeiten:
f(4T2)=75⋅24=75⋅16=1200.
6. Modell mit gegebener Halbwertszeit
Ist die Halbwertszeit T1/2 bekannt, kann das Modell direkt geschrieben werden als
f(t)=a⋅(21)t/T1/2.
Warum?
Für t=T1/2 gilt
f(T1/2)=a⋅(21)T1/2/T
Beispiel
Eine Substanz besitzt die Halbwertszeit 6 Stunden und die Anfangsmenge 240mg.
M(t)=240⋅(21)t/6
mit t in Stunden.
7. Modell mit gegebener Verdoppelungszeit
Ist die Verdoppelungszeit T2 bekannt, lautet das Modell
f(t)=a⋅2t/T2.
Für t=T2 gilt
f(T2)=a⋅2T2/T2=2a.
Beispiel
Eine Population besitzt die Verdoppelungszeit 4 Tage und startet mit 300 Individuen.
P(t)=300⋅2t/4
mit t in Tagen.
8. Halbwertszeit aus f(t)=a⋅bt
Bei exponentieller Abnahme gilt
0<b<1.
Für die Halbwertszeit setzen wir
f(T1/2)=2a.
Damit:
a⋅bT1/2bT1/2=2a=21.
Der Anfangswert a kürzt sich.
Logarithmieren liefert
T1/2⋅ln(b)T1/2=ln(21)=ln(b)ln(1/2).
Also:
T1/2=ln(b)ln(1/2)
Für 0<b<1 sind Zähler und Nenner negativ. Daher ist T1/2>0.
9. Verdoppelungszeit aus f(t)=a⋅bt
Bei exponentiellem Wachstum gilt
b>1.
Wir setzen
f(T2)=2a.
Dann:
a⋅bT2bT2T2⋅ln(b)=2a=2=ln(2).
Daher:
T2=ln(b)ln(2)
10. Formeln für die natürliche Exponentialform
Gegeben sei
f(t)=a⋅eλt.
Halbwertszeit bei λ<0
a⋅eλT1/2eλT1/2λT1/2=2a=21=ln(
Damit:
T1/2=λln(1/2)=−λln(2)
Verdoppelungszeit bei λ>0
a⋅eλT2eλT2λT2=2a=2=ln(2).
Damit:
T2=λln(2)
11. Warum hängt die Zeit nicht von a ab?
Beim Bestimmen der charakteristischen Zeit steht auf beiden Seiten derselbe Anfangswert a.
Beispiel:
a⋅bT=21a.
Division durch a:
bT=21.
Der Anfangswert verschwindet aus der . Deshalb besitzen zwei mit demselben Faktor b, aber unterschiedlichen Anfangswerten, dieselbe Halbwertszeit beziehungsweise Verdoppelungszeit.
12. Aus der charakteristischen Zeit den Faktor bestimmen
Aus
bT1/2=21
folgt
b=(21)1/T1/2.
Aus
bT2=2
folgt
b=21/T2.
Für die natürliche Form gilt:
λ=−T1/2ln(2)
beziehungsweise
λ=T2ln(2).
13. Werte nach beliebigen Zeiten
Eine Zeit muss kein ganzzahliges Vielfaches der charakteristischen Zeit sein.
Beispiel
M(t)=100⋅(21)t/8.
Gesucht ist M(12).
M(12)=100⋅(21)12/8=100⋅(21)1,5≈35,36.
Nach 12 Stunden sind ungefähr 35,36 Einheiten vorhanden.
14. Halbwertszeit aus einer Tabelle ablesen
t in h
0
4
8
12
M(t) in mg
160
80
40
20
Der Wert halbiert sich alle 4 Stunden.
T1/2=4h
Die Halbwertszeit kann an verschiedenen Stellen geprüft werden:
160→80,80→40,40→20.
15. Verdoppelungszeit aus einem Graphen ablesen
Man wählt einen gut ablesbaren Funktionswert, beispielsweise 50, und sucht den Zeitpunkt, an dem der Wert 100 erreicht wird.
Der waagrechte Abstand der beiden Zeitpunkte ist die Verdoppelungszeit.
Werte aus einem gezeichneten Graphen sind meist Näherungswerte.
16. Kontext und Einheiten
Eine vollständige Antwort enthält:
die berechnete Zeitspanne,
die Zeiteinheit,
die Bedeutung im Kontext,
eine Kennzeichnung als Näherungswert, falls gerundet wurde.
Beispiel:
Die Halbwertszeit beträgt ungefähr 3,47 Stunden. Das bedeutet, dass nach jeweils 3,47 Stunden nur noch die Hälfte der jeweils vorhandenen Menge übrig ist.
17. GeoGebra zur Kontrolle
Halbwertszeit einer Funktion bestimmen
f(x)=200*0.82^x
Löse(f(x)=100,x)
Verdoppelungszeit bestimmen
g(x)=50*1.12^x
Löse(g(x)=100,x)
Natürliche Exponentialform
h(x)=80*exp(-0.18*x)
Löse(h(x)=40,x)
GeoGebra dient zur Kontrolle. Gleichungsansatz, Rechnung und Kontextdeutung sollen trotzdem nachvollziehbar angegeben werden.
18. Arbeitsplan
Prüfen, ob Wachstum oder Abnahme vorliegt.
Gesuchte charakteristische Zeit benennen.
Ausgangswert und Zielwert festlegen.
Gleichung f(T)=a/2 oder f(T)=2a aufstellen.
Anfangswert a kürzen.
Nach der Zeit T lösen.
Formel für b oder λ passend auswählen.
Erst am Ende runden.
Zeiteinheit ergänzen.
Ergebnis im Kontext deuten.
Mit der Funktionsgleichung kontrollieren.
Prüfen, ob das Vorzeichen und die Modellart zusammenpassen.
19. Typische Fehler
Halbwertszeit wird als Zeit bis zum Wert null verstanden.
Halbwerts- und Verdoppelungszeit werden verwechselt.
Die Gleichung wird mit a/2 beziehungsweise 2a falsch angesetzt.
Der Anfangswert wird nicht gekürzt.
Bei der natürlichen Form wird das Vorzeichen von λ übersehen.
Für Wachstum wird eine Halbwertszeit statt einer Verdoppelungszeit berechnet.
Für Abnahme wird eine Verdoppelungszeit im Zukunftssinn erwartet.
Die Zeiteinheit fehlt.
Zu früh gerundete Werte verfälschen das Ergebnis.
Ein Graphwert wird als exakt ausgegeben.
Der Faktor b wird ohne die Voraussetzung b>0 verwendet.
20. Zusammenfassung
Halbwertszeit:
f(t+T1/2)=21f(t)
Verdoppelungszeit:
f(t+T2)=2f(t)
Für f(t)=a⋅bt:
T1/2=ln(b)ln(1/2)
und
T2=ln(b)ln(2).
Für f(t)=a⋅eλt:
T1/2=−λln(2)
bei λ<0, sowie
T2=λln(2)
bei λ>0.
Kontrollfrage: Welcher Wert soll nach der gesuchten Zeit erreicht sein – die Hälfte oder das Doppelte?
1
Gleichung ansetzen
f von T gleich a durch zwei oder zwei a setzen.
2
Anfangswert kürzen
Die Unabhängigkeit von a sichtbar machen.
3
Darstellungsform erkennen
Zwischen a mal b hoch t und a mal e hoch Lambda t unterscheiden.
4
Zeitformel anwenden
Die passende logarithmische Formel verwenden.
5
Ergebnis prüfen
Positive Zeit, Modellart und Rundung kontrollieren.
FA 5.5 – Modelle aus charakteristischen Zeiten aufstellen
Aus Halbwertszeit oder Verdoppelungszeit eine passende Exponentialfunktion bilden.
1
Anfangswert festhalten
a als Bestand zum Startzeitpunkt einsetzen.
2
Direkte Grundform wählen
Eine Hälfte hoch t durch T oder zwei hoch t durch T verwenden.
3
Faktor bestimmen
b aus der charakteristischen Zeit berechnen.
4
Lambda bestimmen
Lambda mit plus oder minus ln zwei durch T berechnen.
5
Modell kontrollieren
Bei t gleich T muss die Hälfte oder das Doppelte entstehen.
FA 5.5 – Werte, Tabellen und Graphen deuten
Charakteristische Zeiten aus Darstellungen ablesen und Werte nach beliebigen Zeiten bestimmen.
1
Passende Werte finden
Zwei Werte im Verhältnis eins zu zwei wählen.
2
Zeitabstand bilden
Die zugehörigen Zeitpunkte voneinander abziehen.
3
Mehrere Intervalle zählen
Potenzen von einer Hälfte oder zwei verwenden.
4
Beliebige Zeit einsetzen
Auch nicht ganzzahlige Vielfache von T berechnen.
5
Näherung kennzeichnen
Graphisch oder gerundet ermittelte Werte als ungefähr angeben.
FA 5.5 – Kontext, Einheiten und Fehlerkontrolle
Ergebnisse vollständig deuten und typische Verwechslungen vermeiden.
1
Zeiteinheit ergänzen
Stunden, Tage, Jahre oder andere Einheiten nennen.
2
Vorzeichen prüfen
Lambda und Modellart müssen zusammenpassen.
3
Rundung kontrollieren
Zwischenergebnisse nicht unnötig früh runden.
4
Fehlvorstellungen vermeiden
Halbwertszeit ist nicht die Zeit bis null.
5
Antwortsatz formulieren
Die Bedeutung mit 'nach jeweils' im Kontext ausdrücken.
FA 5.5 – Verdoppelungszeit aus Graph bestimmen
Die Verdoppelungszeit aus einem Exponentialgraphen ablesen.
1
Ausgangswert wählen
Wähle einen gut ablesbaren Punkt des wachsenden Exponentialgraphen.
2
Doppelten Funktionswert bestimmen
Verdopple den y-Wert dieses Punktes.
3
Zweiten Graphpunkt suchen
Finde am Graphen die Stelle, an der dieser doppelte erreicht wird.
4
Beide x-Werte ablesen
Lies die zugehörigen Argumentwerte ab.
5
Horizontale Differenz bilden
Berechne den Abstand der beiden x-Werte.
6
Verdoppelungszeit angeben
Dieser konstante horizontale Abstand ist die Verdoppelungszeit.
FA 5.5 – Halbwertszeit aus Graph bestimmen
Die Halbwertszeit aus einem Exponentialgraphen ablesen.
1
Ausgangswert wählen
Wähle einen gut ablesbaren Punkt des abnehmenden Exponentialgraphen.
2
Halben Funktionswert bestimmen
Halbiere den y-Wert dieses Punktes.
3
Zweiten Graphpunkt suchen
Finde die Stelle, an der der halbierte erreicht wird.
4
Beide x-Werte ablesen
Lies die zugehörigen Argumentwerte ab.
5
Horizontale Differenz bilden
Berechne den Abstand der beiden x-Werte.
6
Halbwertszeit angeben
Dieser konstante horizontale Abstand ist die Halbwertszeit.
FA 5.5 – Verdoppelungszeit berechnen
Die Verdoppelungszeit aus einer Exponentialfunktionsgleichung berechnen.
1
Exponentialmodell notieren
Verwende die gegebene Funktionsgleichung und bezeichne die Verdoppelungszeit mit T.
2
Verdoppelungsbedingung aufstellen
Setze f(x+T)=2·f(x).
3
Gemeinsame Faktoren kürzen
Bei f(x)=a·bx bleibt die Bedingung bT=2.
4
Logarithmieren
Wende auf beide Seiten einen Logarithmus an.
5
Nach T auflösen
Berechne T=log(2)/log(b); bei f(x)=a·e^(λx) gilt T=ln(2)/λ für λ>0.
6
Plausibilität prüfen
Die Verdoppelungszeit muss bei einem Wachstumsprozess positiv sein.
FA 5.5 – Halbwertszeit berechnen
Die Halbwertszeit aus einer Exponentialfunktionsgleichung berechnen.
1
Exponentialmodell notieren
Verwende die gegebene Funktionsgleichung und bezeichne die Halbwertszeit mit T.
2
Halbierungsbedingung aufstellen
Setze f(x+T)=1/2·f(x).
3
Gemeinsame Faktoren kürzen
Bei f(x)=a·bx bleibt die Bedingung bT=1/2.
4
Logarithmieren
Wende auf beide Seiten einen Logarithmus an.
5
Nach T auflösen
Berechne T=log(1/2)/log(b); bei f(x)=a·e^(λx) gilt T=ln(1/2)/λ für λ<0.
6
Plausibilität prüfen
Die Halbwertszeit muss bei einem Abnahmeprozess positiv sein.
a/2
2a
händisch aufstellen.
Nach T lösen.
Ergebnis mit GeoGebra kontrollieren.
Einheit und Kontext ergänzen.
Wichtig
Halbwertszeit ist nicht die Zeit bis null.
Die charakteristische Zeit hängt nicht vom Anfangswert ab.
Bei f(t)=a⋅bt gilt im reellen Modell b>0.
Graphische Werte sind meist Näherungswerte.
Eine technische Ausgabe ersetzt keinen vollständigen Antwortsatz.
