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Tabellen und Graphen von Polynomfunktionen | Lerncoach
FA 4.2
Tabellen und Graphen von Polynomfunktionen Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
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Funktionale Abhängigkeiten 10 Schrittlisten PDF verfügbar
Das solltest du können
Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Polynomzusammenhängen wechseln können.
Tabellen und Graphen von Polynomfunktionen
Kompetenzcode: FA 4.2Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Bei Polynomfunktionen müssen Informationen sicher zwischen
Tabelle ⟷ Graph \text{Tabelle}
\quad\longleftrightarrow\quad
\text{Graph} Tabelle ⟷ Graph übertragen werden.
Als Erweiterung kann aus mehreren gegebenen Punkten auch eine passende Polynomgleichung bestimmt werden:
Punkte ⟶ Gleichungssystem ⟶ CAS Funktionsgleichung . \text{Punkte}
\quad\longrightarrow\quad
\text{Gleichungssystem}
\quad\overset{\text{CAS}}{\longrightarrow}\quad
\text{Funktionsgleichung}. Punkte FA 4.2 – Wertepaare, Achsen und Genauigkeit sichern Eingabe und Ausgabe unterscheiden, Wertepaare bilden, Achsen beschriften und Genauigkeit passend kennzeichnen.
1 Eingabe und Ausgabe markieren x und f(x) sicher unterscheiden.
2 Wertepaare bilden Spaltenweise (x|f(x)) notieren.
3 Einheiten sichern Größe und Einheit an beiden Achsen angeben.
4 Wertebereich bestimmen Kleinste und größte Werte erfassen.
5 Genauigkeit kennzeichnen Gerechnet mit =, abgelesen häufig mit ≈.
FA 4.2 – Zwischen Tabelle und Graph wechseln Punkte eintragen, glatte Verläufe zeichnen und Graphwerte systematisch in Tabellen übertragen.
1
GeoGebra- und CAS-Hinweise zu FA 4.2
Tabelle und Punkte
Werte können in der Tabellenansicht eingegeben und anschließend als Punkte dargestellt werden.
Beispiel:
P=(-2,5)
Q=(-1,2)
R=(0,1)
S=(1,2)
T=(2,5)
Werte aus einem Graphen ablesen
Ein Punkt auf dem Graphen kann erzeugt oder verschoben werden. Die Koordinaten liefern das Wertepaar.
Arbeiten mit Tabelle, Grafik und CAS
GeoGebra wird zunächst für Punkte, Skalierung, Funktionsgraph und Ablesekontrolle verwendet.
Bei der Bestimmung einer Polynomgleichung werden Ansatz und Gleichungen
Quadratische Funktion Ansatz:
f(x)=a*x^2+b*x+c
Gleichungssystem:
Löse(
{
a-b+c=6,
a+b+c=2,
4a+2b+c=3
},
{a,b,c}
)
Erwartete Lösung:
{a=1,b=-2,c=3}
Funktionsgleichung:
f(x)=x^2-2x+3
Probe
f(-1)
f(1)
f(2)
Erwartet werden:
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
⟶
Gleichungssystem ⟶ CAS
Funktionsgleichung .
Leitidee: Jede Darstellung zeigt dieselben Wertepaare, aber auf eine andere Art.
Orientierung und Lernweg Die Arbeit mit Polynomfunktionen beginnt beim sicheren Wechsel zwischen Tabelle und Graph:
Eingabe- und Ausgabewerte unterscheiden.
Wertepaare korrekt lesen und bilden.
Achsen, Einheiten und Skalierung festlegen.
Tabellenpunkte eintragen und einen plausiblen glatten Verlauf zeichnen.
Werte aus einem Graphen ablesen und die Genauigkeit angeben.
Tabelle und Graph gegenseitig kontrollieren.
Die spätere Bestimmung einer Polynomgleichung aus mehreren Punkten baut auf diesem Darstellungswechsel auf und wird als eigener Zusatz behandelt.
1. Eingabe und Ausgabe sicher unterscheiden Ein Wertepaar besitzt die Form
( x ⏟ Eingabe | f ( x ) ⏟ Ausgabe ) . \left(
\underbrace{x}_{\text{Eingabe}}
\;\middle|\;
\underbrace{f(x)}_{\text{Ausgabe}}
\right). Eingabe x Ausgabe f ( x ) . In einer Tabelle steht meist
x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 f ( x ) y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 \begin{array}{c|ccccc}
x & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5\\
\hline
f(x) & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5
\end{array} x f ( x ) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 und daraus entstehen die Punkte
( x 1 ∣ y 1 ) , ( x 2 ∣ y 2 ) , … (x_1\mid y_1),\;
(x_2\mid y_2),\;
\dots ( x 1 ∣ y 1 ) , ( x 2 ∣ y 2 ) , …
Merksatz: Die erste Tabellenzeile liefert die x x x y y y
2. Von der Tabelle zum Graphen
Beispiel Daraus entstehen die Punkte
( − 2 ∣ 5 ) , ( − 1 ∣ 2 ) , ( 0 ∣ 1 ) , ( 1 ∣ 2 ) , ( 2 ∣ 5 ) . (-2\mid5),\;
(-1\mid2),\;
(0\mid1),\;
(1\mid2),\;
(2\mid5). ( − 2 ∣ 5 ) , ( − 1 ∣ 2 ) , ( 0 ∣ 1 ) , ( 1 ∣ 2 ) , ( 2 ∣ 5 ) .
Vorgehen
Wertepaare bilden.
Geeignete Skalierung wählen.
Achsen mit Größen und Einheiten beschriften.
Alle Punkte exakt eintragen.
Punkte mit einem glatten, zur Polynomfunktion passenden Verlauf verbinden.
Den dargestellten Bereich kontrollieren.
Achtung: Tabellenpunkte werden bei einer Polynomfunktion nicht automatisch mit geraden Strecken verbunden. Der Graph verläuft glatt.
3. Eine geeignete Skalierung wählen Die Skalierung soll alle wichtigen Punkte gut sichtbar machen.
Ungünstig Eine Einheit entspricht einem sehr großen Abstand. Dann liegen die Punkte zu weit auseinander oder außerhalb des Fensters.
Ebenfalls ungünstig Eine Einheit entspricht einem sehr kleinen Abstand. Dann liegen alle Punkte eng zusammen und der Verlauf ist kaum erkennbar.
Hilfreiche Fragen
Welche kleinsten und größten x x x
Welche kleinsten und größten Funktionswerte
Muss der Ursprung sichtbar sein?
Sind Einheiten angegeben?
Müssen Nullstellen
Merksatz: Die Skalierung muss zur Tabelle passen – nicht die Tabelle zur Skalierung.
4. Von einem Graphen zur Tabelle Beim Ablesen aus einem Graphen wird zuerst ein Argumentwert x x x
Besonders geeignete Punkte Für eine Tabelle wählt man bevorzugt:
Nullstellen,
den y y y
Hochpunkte,
Tiefpunkte,
gut erkennbare Gitterpunkte,
Randpunkte des dargestellten Bereichs.
5. Zwischenwerte vorsichtig interpretieren Eine Tabelle zeigt nur einzelne Stützpunkte.
Zwischen zwei Tabellenwerten kann ein Polynomgraph
steigen,
fallen,
eine Nullstelle besitzen,
einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzen,
seine Krümmung verändern.
Daher darf man aus zwei Tabellenpunkten nicht automatisch auf einen geradlinigen Verlauf schließen.
Wichtig: Eine Tabelle ist eine Auswahl von Punkten, nicht der vollständige Graph.
6. Charakteristische Punkte verwenden Ein Graph wird besonders verständlich, wenn charakteristische Punkte in die Tabelle aufgenommen werden.
Nullstelle N ( x N ∣ 0 ) N(x_N\mid0) N ( x N ∣ 0 ) A ( 0 ∣ f ( 0 ) ) A(0\mid f(0)) A ( 0 ∣ f ( 0 ))
Hochpunkt H ( x H ∣ f ( x H ) ) H(x_H\mid f(x_H)) H ( x H ∣ f ( x H ))
Tiefpunkt T ( x T ∣ f ( x T ) ) T(x_T\mid f(x_T)) T ( x T ∣ f ( x T )) Diese Punkte helfen beim Zeichnen und beim Kontrollieren einer Skizze.
7. Arbeitsplan: Tabelle in Graph umwandeln
Tabellenüberschrift und Einheiten lesen.
Wertepaare bilden.
Wertebereich bestimmen.
Achsenskalierung festlegen.
Koordinatensystem beschriften.
Punkte exakt eintragen.
Nach charakteristischen Punkten suchen.
Einen glatten Polynomverlauf zeichnen.
Prüfen, ob alle Punkte auf dem Graphen liegen.
Graph im Kontext beschriften.
8. Arbeitsplan: Graph in Tabelle umwandeln
Gewünschte oder geeignete x x x
Senkrecht zum Graphen gehen.
Funktionswert waagrecht ablesen.
Wertepaar notieren.
Exakte und näherungsweise Werte kennzeichnen.
Nullstellen und Extrempunkte bevorzugt aufnehmen.
Einheit und dargestellten Bereich beachten.
Tabelle nach steigenden x x x
Werte durch erneutes Ablesen kontrollieren.
Unsichere Werte nicht mit zu vielen Dezimalstellen angeben.
9. Zusatz: Eine Polynomgleichung aus mehreren Punkten bestimmen
Dieser Zusatz setzt voraus, dass Tabellenwerte, Punkte, Skalierung und Graphverlauf bereits sicher miteinander verbunden werden können.
Dieser Abschnitt ist anspruchsvoller. Er gehört als Aufbau zum Darstellungswechsel:
Punkte ⟶ Gleichungen ⟶ Funktionsgleichung ⟶ Graph . \text{Punkte}
\longrightarrow
\text{Gleichungen}
\longrightarrow
\text{Funktionsgleichung}
\longrightarrow
\text{Graph}. Punkte ⟶ Gleichungen ⟶ Funktionsgleichung ⟶ Graph .
10. Wie viele Bedingungen werden benötigt? Eine Polynomfunktion vom Grad n n n n + 1 n+1 n + 1 Koeffizienten
f ( x ) = a n x n ⏟ 1. Koeffizient + ⋯ + a 1 x ⏟ n . Koeffizient + a 0 ⏟ ( n + 1 ) . Koeffizient . f(x)=
\underbrace{a_nx^n}_{\text{1. Koeffizient}}
+\dots+
\underbrace{a_1x}_{\text{$n$. Koeffizient}}
+
\underbrace{a_0}_{\text{$(n+1)$. Koeffizient}}. f ( x ) = 1. Koeffizient a n x n + ⋯ + n . Koeffizient a 1 x ( n + 1 ) . Koeffizient a Daher werden im Allgemeinen n + 1 n+1 n + 1
11. Quadratische Funktion aus drei Punkten P ( − 1 ∣ 6 ) , Q ( 1 ∣ 2 ) , R ( 2 ∣ 3 ) . P(-1\mid6),\qquad
Q(1\mid2),\qquad
R(2\mid3). P ( − 1 ∣ 6 ) , Q ( 1 ∣ 2 ) , R ( 2 ∣ 3 ) . Gesucht ist eine quadratische Funktion.
Schritt 1: Ansatz f ( x ) = a x 2 + b x + c . f(x)=ax^2+bx+c. f ( x ) = a x 2 + b x + c . Die unbekannten Bestandteile sind:
f ( x ) = a ⏟ unbekannt x 2 + b ⏟ unbekannt x + c ⏟ unbekannt . f(x)=
\underbrace{a}_{\text{unbekannt}}x^2
+
\underbrace{b}_{\text{unbekannt}}x
+
\underbrace{c}_{\text{unbekannt}}. f ( x ) = unbekannt a x 2 + unbekannt b x + unbekannt c .
Schritt 2: Jeden Punkt einsetzen ( x i ∣ y i ) (x_i\mid y_i) ( x i ∣ y i ) y i ⏟ gegebener Funktionswert = a x i 2 ⏟ Quadratterm + b x i ⏟ linearer Term + c . \underbrace{y_i}_{\text{gegebener Funktionswert}}
=
a\underbrace{x_i^2}_{\text{Quadratterm}}
+
b\underbrace{x_i}_{\text{linearer Term}}
+
c. gegebener Funktionswert y i = a Quadratterm x i b linearer Term x i c . Punkt P ( − 1 ∣ 6 ) P(-1\mid6) P ( − 1 ∣ 6 ) I: 6 = a ⋅ ( − 1 ) 2 + b ⋅ ( − 1 ) + c 6 = a − b + c . \begin{aligned}
\text{I:}\qquad
6
&=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c\\
6
&=a-b+c.
\end{aligned} I: 6 6 = a ⋅ ( − 1 ) 2 + b ⋅ ( − 1 ) + c = a − b + c . Punkt Q ( 1 ∣ 2 ) Q(1\mid2) Q ( 1 ∣ 2 ) II: 2 = a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c 2 = a + b + c . \begin{aligned}
\text{II:}\qquad
2
&=a\cdot1^2+b\cdot1+c\\
2
&=a+b+c.
\end{aligned} II: 2 2 = a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = a + b + c . Punkt R ( 2 ∣ 3 ) R(2\mid3) R ( 2 ∣ 3 ) III: 3 = a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c 3 = 4 a + 2 b + c . \begin{aligned}
\text{III:}\qquad
3
&=a\cdot2^2+b\cdot2+c\\
3
&=4a+2b+c.
\end{aligned} III: 3 3 = a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c = 4 a + 2 b + c . Damit entsteht das Gleichungssystem:
{ I: a − b + c = 6 II: a + b + c = 2 III: 4 a + 2 b + c = 3 \left\{
\begin{aligned}
\text{I:}\quad a-b+c&=6\\
\text{II:}\quad a+b+c&=2\\
\text{III:}\quad4a+2b+c&=3
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎨ ⎧ I: a − b + c II: a + b + c III: 4 a + 2 b + c = 6
12. Gleichungssystem mit dem CAS lösen Das Gleichungssystem kann händisch gelöst werden. Bei mehreren Koeffizienten ist das jedoch oft umständlich und zeitintensiv.
Empfehlung: Ansatz und Gleichungen selbst aufstellen, das lineare Gleichungssystem anschließend mit dem CAS lösen.
Eine mögliche CAS-Eingabe lautet:
Löse(
{
a - b + c = 6,
a + b + c = 2,
4a + 2b + c = 3
},
{a, b, c}
)
a = 1 , b = − 2 , c = 3. a=1,\qquad b=-2,\qquad c=3. a = 1 , b = − 2 , c = 3.
Schritt 3: Koeffizienten einsetzen f ( x ) = a x 2 + b x + c = 1 ⋅ x 2 + ( − 2 ) ⋅ x + 3 = x 2 − 2 x + 3 . \begin{aligned}
f(x)
&=ax^2+bx+c\\
&=1\cdot x^2+(-2)\cdot x+3\\
&=\boxed{x^2-2x+3}.
\end{aligned} f ( x ) = a x 2 + b x + c = 1 ⋅ x 2 + ( − 2 ) ⋅ x + 3
CAS-Regel: Das CAS löst das System. Die mathematische Arbeit davor und danach bleibt notwendig.
13. Rücksubstitution als Probe Alle gegebenen Punkte müssen die gefundene Gleichung erfüllen.
Punkt P ( − 1 ∣ 6 ) P(-1\mid6) P ( − 1 ∣ 6 ) f ( − 1 ) = ( − 1 ) 2 − 2 ⋅ ( − 1 ) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6. \begin{aligned}
f(-1)
&=(-1)^2-2\cdot(-1)+3\\
&=1+2+3\\
&=6.
\end{aligned} f ( − 1 ) = ( − 1 ) 2 − 2 ⋅ ( − 1 ) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6. Punkt Q ( 1 ∣ 2 ) Q(1\mid2) Q ( 1 ∣ 2 ) f ( 1 ) = 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = 2. \begin{aligned}
f(1)
&=1^2-2\cdot1+3\\
&=2.
\end{aligned} f ( 1 ) = 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = 2. Punkt R ( 2 ∣ 3 ) R(2\mid3) R ( 2 ∣ 3 ) f ( 2 ) = 2 2 − 2 ⋅ 2 + 3 = 3. \begin{aligned}
f(2)
&=2^2-2\cdot2+3\\
&=3.
\end{aligned} f ( 2 ) = 2 2 − 2 ⋅ 2 + 3 = 3. Alle drei Punkte liegen auf dem Graphen.
14. Typische Fehler beim Gleichungssystem
Einen Punkt als ( y ∣ x ) (y\mid x) ( y ∣ x )
Beim Quadrieren einer negativen Zahl die Klammern vergessen.
Für drei unbekannte Koeffizienten nur zwei Gleichungen aufstellen.
I, II und III nicht übersichtlich trennen.
Im CAS andere Variablen verwenden als im Ansatz.
Das CAS-Ergebnis ungeprüft übernehmen.
Koeffizienten nicht in den Ansatz einsetzen.
Keine Rücksubstitution durchführen.
Einen höheren Grad wählen, obwohl ein einfacherer Ansatz verlangt ist.
15. Was das CAS übernimmt – und was nicht
Das CAS übernimmt L o ¨ sen des linearen Gleichungssystems ⏟ rechenintensiver Teil . \underbrace{\text{Lösen des linearen Gleichungssystems}}_{\text{rechenintensiver Teil}}. rechenintensiver Teil L o ¨ sen des linearen Gleichungssystems .
Die lernende Person übernimmt passenden Ansatz w a ¨ hlen ⏟ mathematische Entscheidung \underbrace{\text{passenden Ansatz wählen}}_{\text{mathematische Entscheidung}} mathematische Entscheidung passenden Ansatz w a ¨ hlen Punkte korrekt einsetzen ⏟ Modellierung \underbrace{\text{Punkte korrekt einsetzen}}_{\text{Modellierung}} Modellierung Punkte korrekt einsetzen Ergebnis pr u ¨ fen und deuten ⏟ Kontrolle . \underbrace{\text{Ergebnis prüfen und deuten}}_{\text{Kontrolle}}. Kontrolle Ergebnis pr u ¨ fen und deuten .
16. Typische Fehler beim Darstellungswechsel
x x x y y y Achsen ungleichmäßig skalieren.
Einheiten nicht anschreiben.
Tabellenpunkte mit einem Polygonzug verbinden.
Zwischenwerte als sicher ansehen, obwohl sie nur geschätzt sind.
Ein ungefähr abgelesenes Ergebnis mit = = = ≈ \approx ≈
Charakteristische Punkte übersehen.
Einen zu kleinen Graphenausschnitt wählen.
Aus wenigen Tabellenpunkten zu viel über den gesamten Verlauf folgern.
17. Zusammenfassung Tabelle → \rightarrow → Wertepaare bilden → skalieren → Punkte eintragen → glatt verbinden \boxed{
\text{Wertepaare bilden}
\rightarrow
\text{skalieren}
\rightarrow
\text{Punkte eintragen}
\rightarrow
\text{glatt verbinden}
} Wertepaare bilden → skalieren → Punkte eintragen → glatt verbinden Graph → \rightarrow → x -Wert w a ¨ hlen → Graph treffen → y -Wert ablesen → Genauigkeit angeben \boxed{
\text{$x$-Wert wählen}
\rightarrow
\text{Graph treffen}
\rightarrow
\text{$y$-Wert ablesen}
\rightarrow
\text{Genauigkeit angeben}
} x -Wert w a ¨ hlen → Graph treffen → y -Wert ablesen → Genauigkeit angeben Punkte → \rightarrow → Ansatz → I, II, III → CAS Koeffizienten → Probe \boxed{
\text{Ansatz}
\rightarrow
\text{I, II, III}
\overset{\text{CAS}}{\rightarrow}
\text{Koeffizienten}
\rightarrow
\text{Probe}
} Ansatz → I, II, III → CAS Koeffizienten → Probe
Kontrollfrage: Habe ich die Wertepaare korrekt übertragen, die Genauigkeit passend angegeben und eine gefundene Gleichung durch alle Punkte geprüft?
Skalierung wählen Alle wichtigen Punkte gut sichtbar machen.
2 Punkte eintragen Koordinaten exakt übertragen.
3 Glatt verbinden Keinen unbegründeten Polygonzug zeichnen.
4 Graphwerte ablesen Senkrecht und waagrecht vorgehen.
5 Charakteristische Punkte nutzen Nullstellen
FA 4.2 – Polynomansatz und Gleichungssystem Aus mehreren Punkten einen passenden Polynomansatz wählen und für jeden Punkt eine Gleichung
1 Grad und Ansatz wählen Zahl der unbekannten Koeffizienten
2 Bedingungen zählen Für n+1 Koeffizienten
3 Punkt einsetzen x und y mit korrekten Klammern verwenden.
4 Gleichungen vereinfachen Jede Bedingung sauber reduzieren.
5 System beschriften Gleichungen
FA 4.2 – Koeffizientensystem mit CAS lösen Ein vollständig aufgestelltes lineares Gleichungssystem im CAS lösen und die Koeffizienten
1 System kontrollieren Variablen
2 CAS-Eingabe erstellen Alle Gleichungen
3 Lösung ablesen Koeffizienten
4 Ansatz ergänzen a, b, c, ... in f(x) einsetzen.
5 Funktion vereinfachen Vorzeichen und Koeffizient
FA 4.2 – Darstellungen und CAS-Ergebnis kontrollieren Tabelle und Graph gegenseitig prüfen. Eine gefundene Polynomgleichung zusätzlich durch Rücksubstitution und graphische Plausibilität kontrollieren.
1 Punkte rücksubstituieren Alle gegebenen Wertepaare prüfen.
2 Graph vergleichen Verlauf und charakteristische Punkte kontrollieren.
3 Skalierung prüfen Verzerrende oder unpassende Achsen erkennen.
4 Genauigkeit prüfen Keine Scheingenauigkeit aus Graphenwerten erzeugen.
5 Fehler diagnostizieren x/y-Tausch, Klammern und CAS-Eingabe kontrollieren.
FA 4.2 – Wertepaare einer Polynomfunktion ablesen Aus einer Tabelle gegebene Wertepaare einer Polynomfunktion ablesen.
1 Tabelle orientieren Bestimme die Spalte beziehungsweise Zeile der Argumentwerte und der Funktionswerte
2 Gewünschten x-Wert finden Suche den verlangten Argumentwert in der Tabelle.
3 Zugehörigen Funktionswert ablesen Lies in derselben Tabellenzeile den zugeordneten Wert ab.
4 Wertepaar bilden Schreibe das Paar in der Reihenfolge (x|f(x)).
5 Zahlen exakt übernehmen Achte auf Vorzeichen, Dezimalstellen und Brüche.
6 Zuordnung prüfen Kontrolliere, dass Eingabe und Ausgabe tatsächlich aus derselben Tabellenzeile stammen.
FA 4.2 – Graph aus Tabelle skizzieren Aus geeigneten Tabellenwerten einen möglichen Polynomfunktionsgraphen skizzieren.
1 Geeignete Tabellenwerte auswählen Nutze genügend Wertepaare, um den Verlauf sichtbar zu machen.
2 Achsen skalieren Wähle eine passende gleichmäßige Skalierung für x- und y-Achse.
3 Punkte eintragen Trage jedes ausgewählte Wertepaar korrekt in das Koordinatensystem ein.
4 Verlauf zwischen Punkten einschätzen Berücksichtige, dass ein Polynomgraph glatt und ohne Sprünge verläuft.
5 Möglichen Graphen skizzieren Verbinde die Punkte zu einem plausiblen glatten Polynomverlauf.
6 Skizze begrenzen Behaupte zwischen weit auseinanderliegenden Tabellenpunkten keine Eigenschaften, die durch die Daten nicht gestützt sind.
FA 4.2 – Tabelle aus Graph erstellen Aus einem Polynomfunktionsgraphen ausgewählte Wertepaare in eine Tabelle übertragen.
1 Geeignete x-Werte wählen Wähle die verlangten oder gut ablesbaren Argumentwerte am Graphen.
2 Funktionswerte ablesen Bestimme zu jedem x-Wert die zugehörige y-Koordinate.
3 Wertepaare notieren Schreibe alle abgelesenen Paare geordnet auf.
4 Tabelle beschriften Kennzeichne eindeutig Argument- und Funktionswertspalte.
5 Werte übertragen Trage jedes Wertepaar in dieselbe Tabellenzeile ein.
6 Ablesegenauigkeit angeben Kennzeichne näherungsweise Werte passend zur grafischen Genauigkeit.
FA 4.2 – Passenden Graphen einer Tabelle zuordnen Einer Wertetabelle den passenden Polynomfunktionsgraphen zuordnen.
1 Charakteristische Tabellenwerte auswählen Betrachte mehrere auffällige Wertepaare, etwa Nullstellen
2 Punktlagen ableiten Ordne den Tabellenwerten ihre Positionen im Koordinatensystem zu.
3 Graphkandidaten vergleichen Prüfe, welcher Graph durch die entsprechenden Punkte verläuft.
4 Verlauf zusätzlich vergleichen Nutze steigende und fallende Tabellenabschnitte als weiteres Merkmal.
5 Unpassende Graphen ausschließen Ein widersprechendes Wertepaar genügt, um einen Kandidaten auszuschließen.
6 Passenden Graphen begründen Wähle den Graphen, der Wertepaare und Verlauf der Tabelle erfüllt.
FA 4.2 – Passende Tabelle einem Graphen zuordnen Einem Polynomfunktionsgraphen die passende Wertetabelle zuordnen.
1 Charakteristische Graphpunkte auswählen Lies mehrere gut erkennbare Punkte des Graphen ab.
2 Wertepaare notieren Bestimme deren x- und y-Koordinaten.
3 Tabellenkandidaten vergleichen Prüfe, welche Tabelle diese Wertepaare enthält.
4 Vorzeichen und Größenordnung beachten Vergleiche nicht nur exakte Werte, sondern auch den allgemeinen Verlauf.
5 Unpassende Tabellen ausschließen Verwirf jede Tabelle mit mindestens einem eindeutigen Widerspruch.
6 Passende Tabelle begründen Wähle die Tabelle, deren Werte zum Graphen passen.
Sinnvolle Arbeitsweise
Ansatz händisch festlegen.
Jeden Punkt händisch einsetzen.
Gleichungen I, II und III notieren.
Erst danach das CAS verwenden.
Koeffizienten Alle Punkte kontrollieren.
Graph und Tabelle vergleichen.
Nicht ausreichend
Punkte eingeben und nur eine automatisch erzeugte Kurve übernehmen.
Ein Gleichungssystem ohne erklärten Ansatz lösen.
CAS-Ergebnisse ohne Rücksubstitution verwenden.
Ungefähre Graphwerte als exakte Ausgangsdaten behandeln.
Eine Skalierung wählen, die wichtige Punkte verdeckt.
Tutorregel Elektronische Werkzeuge übernehmen rechenintensive Schritte. Ansatz, Gleichungen, Interpretation und Kontrolle bleiben mathematische Eigenleistung.
+
0
.
a
,
b
,
c
+
d
2
+
+
=
2
= 3
=
x 2 − 2 x + 3
.
