Terme und Variablen

Ein Term ist ein mathematischer Rechenausdruck. Er enthält Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und manchmal Variablen. Ein Term besitzt kein Gleichheitszeichen.

$$3x+5, \qquad 2(a-4), \qquad \frac{y+1}{3}$$

sind Terme. Dagegen ist

$$3x+5=17$$

eine Gleichung, weil ein Gleichheitszeichen vorkommt.

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1. Bestandteile eines Terms erkennen

Im Term

$$4x-7$$

haben die Zeichen verschiedene Aufgaben:

• $x$ ist die Variable. Sie steht für eine Zahl, deren Wert sich ändern kann.
• $4$ ist der Koeffizient von $x$. Er gibt an, wie oft $x$ genommen wird.
• $4x$ bedeutet $4\cdot x$.

Ein Term wird an Plus- und Minuszeichen in einzelne Glieder zerlegt. Dabei bleiben Vorzeichen bei ihren Gliedern:

$$5x-3y+8 \quad\longrightarrow\quad 5x,\;-3y,\;+8.$$

Merksatz: Ein Vorzeichen gehört immer zum unmittelbar folgenden Glied.

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2. Terme aus Texten bilden

Beim Übersetzen eines Textes wird nicht sofort gerechnet. Zuerst werden die sprachlichen Bausteine geordnet.

Ausführliches Beispiel

„Das Dreifache einer Zahl, vermindert um $4$“

1. Für die unbekannte Zahl wird $x$ gewählt.
2. Das Dreifache der Zahl ist $3x$.
3. „Vermindert um $4$“ bedeutet, dass $4$ subtrahiert wird.

Der Term lautet:

$$3x-4.$$

Nun ein ähnlicher, aber anderer Text:

„Das Dreifache der um $4$ verminderten Zahl“

1. Zuerst wird die Zahl um $4$ vermindert: $x-4$.
2. Danach wird dieser ganze Ausdruck verdreifacht.

Der Term lautet:

$$3(x-4).$$

Die Klammer ist notwendig. Ohne Klammer würde nur $x$, nicht aber $-4$, verdreifacht.

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3. Gleichartige Glieder zusammenfassen

Zwei Glieder sind gleichartig, wenn ihr Variablenteil vollständig übereinstimmt.

• $3x$ und $5x$ sind gleichartig.
• $2a^2$ und $-7a^2$ sind gleichartig.

Ausführliches Beispiel

Der Term

$$4a+3-2a+7$$

soll vereinfacht werden.

Schritt 1: Glieder mit derselben Variable gruppieren.

$$4a+3-2a+7 = 4a-2a+3+7.$$

Schritt 2: Koeffizienten der $a$-Glieder verrechnen.

$$4a-2a = (4-2)a = 2a.$$

Schritt 3: Konstante Glieder verrechnen.

$$3+7=10.$$

Damit gilt insgesamt:

$$\begin{aligned} 4a+3-2a+7 &=4a-2a+3+7 \\ &=(4-2)a+(3+7) \\ &=2a+10. \end{aligned}$$

$2a$ und $10$ dürfen nicht weiter zusammengefasst werden, weil nur eines der beiden Glieder die Variable $a$ enthält.

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4. Multiplikation von Variablen

Bei der Multiplikation gelten dieselben Regeln wie bei Zahlen.

$$x\cdot x=x^2, \qquad x\cdot x\cdot x=x^3.$$

Ein häufiger Fehler ist

$$x\cdot x\neq2x.$$

$2x$ bedeutet $x+x$. Dagegen bedeutet $x^2$ das Produkt $x\cdot x$.

Für Zahlenfaktoren gilt:

$$\begin{aligned} 3x\cdot4 &=3\cdot4\cdot x \\ &=12x. \end{aligned}$$

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5. Klammern ausmultiplizieren

Steht ein Faktor vor einer Klammer, wird jedes Glied in der Klammer mit diesem Faktor multipliziert.

$$a(b+c)=ab+ac.$$

Ausführliches Beispiel

$$3(2x-5)$$

Schritt 1: Erstes Klammerglied multiplizieren.

$$3\cdot2x=6x.$$

Schritt 2: Zweites Klammerglied multiplizieren.

$$3\cdot(-5)=-15.$$

Schritt 3: Ergebnisse zusammensetzen.

$$\begin{aligned} 3(2x-5) &=3\cdot2x+3\cdot(-5) \\ &=6x-15. \end{aligned}$$

Minus vor der Klammer

Ein Minus vor der Klammer kann als Faktor $-1$ verstanden werden:

$$-(4x-3)=(-1)(4x-3).$$

Daher:

$$\begin{aligned} -(4x-3) &=(-1)\cdot4x+(-1)\cdot(-3) \\ &=-4x+3. \end{aligned}$$

Merksatz: Bei einem Minus vor der Klammer ändern sich alle Vorzeichen in der Klammer.

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6. Gemeinsame Faktoren ausklammern

Ausklammern ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Ein Faktor, der in allen Gliedern vorkommt, wird vor die Klammer geschrieben.

Ausführliches Beispiel

$$12x+18$$

1. Gemeinsamer Zahlenfaktor von $12$ und $18$ ist $6$.
2. $12x:6=2x$.
3. $18:6=3$.

Daher:

$$\begin{aligned} 12x+18 &=6\cdot2x+6\cdot3 \\ &=6(2x+3). \end{aligned}$$

Kontrolle durch Ausmultiplizieren:

$$6(2x+3)=12x+18.$$

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7. Termumformungen kontrollieren

Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie für jeden zulässigen Wert der Variablen denselben Wert liefern. Eine einfache Kontrolle gelingt durch Einsetzen eines Testwerts.

Es soll geprüft werden:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Für $x=4$:

$$\begin{aligned} 3(x+2) &=3(4+2) \\ &=3\cdot6 \\ &=18, \end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned} 3x+6 &=3\cdot4+6 \\ &=12+6 \\ &=18. \end{aligned}$$

Die Werte stimmen überein. Ein einzelner Testwert ist noch kein vollständiger Beweis, eignet sich aber gut, um viele Rechenfehler zu finden.

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8. Typische Fehler

• $3x+5$ wird fälschlich zu $8x$ zusammengefasst.
• $x\cdot x$ wird als $2x$ statt als $x^2$ geschrieben.

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9. Zusammenfassung

• Ein Term besitzt kein Gleichheitszeichen.
• Gleichartige Glieder haben denselben Variablenteil.
• Beim Zusammenfassen werden nur die Koeffizienten verrechnet.
• Beim Ausmultiplizieren wird jedes Klammerglied bearbeitet.
• Beim Ausklammern wird ein gemeinsamer Faktor vor die Klammer gesetzt.
• Einsetzen eines Testwerts kann eine Umformung kontrollieren.