Messfehler und Fehlerfortpflanzung

Kompetenzcode: MG 3.6

Messwerte sind in der Praxis fast nie vollkommen exakt.

Wird zum Beispiel eine Länge mit

$$12{,}4\ \mathrm{cm}$$

angegeben, bedeutet das nicht automatisch, dass die tatsächliche Länge exakt

$$12{,}400000\ldots\ \mathrm{cm}$$

beträgt.

Jede Messung besitzt eine gewisse Unsicherheit.

Werden solche Messwerte anschließend in Formeln eingesetzt, wirkt sich ihre Unsicherheit auch auf das berechnete Ergebnis aus.

Das nennt man Fehlerfortpflanzung.

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1. Messwert und tatsächlicher Wert

Wir unterscheiden zwischen:

• einem gemessenen oder näherungsweise bestimmten Wert,
• dem tatsächlichen beziehungsweise als Referenz verwendeten Wert,
• einer möglichen Abweichung.

Ein Messwert kann zum Beispiel lauten:

$$x_m=24{,}8\ \mathrm{cm}.$$

Ist bekannt, dass die Messung höchstens um

$$0{,}2\ \mathrm{cm}$$

abweicht, kann man diese Unsicherheit ausdrücklich angeben.

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2. Typische Fehlerquellen

Unsicherheiten können verschiedene Ursachen haben.

Zum Beispiel:

• begrenzte Genauigkeit eines Messgeräts,
• Ablesefehler,
• Rundung,
• ungünstige Messbedingungen,
• Schwankungen einer Größe,
• vereinfachte Modelle,
• ungenaue Ausgangsdaten.

Wichtig: Ein Fehler bedeutet hier nicht unbedingt, dass jemand falsch gerechnet hat. Gemeint ist häufig die unvermeidbare Unsicherheit einer Messung oder Näherung.

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3. Fehlerquelle erkennen

Beispiel:

Eine Länge wird mit einem Lineal gemessen, dessen kleinste Skalenteilung

$$1\ \mathrm{mm}$$

beträgt.

Dann kann die Ablesegenauigkeit des Lineals eine Fehlerquelle sein.

Wird zusätzlich schräg auf die Skala geblickt, kann auch die Ableseposition zu einer weiteren Unsicherheit führen.

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4. Systematische und zufällige Einflüsse

Manche Fehler wirken immer ungefähr in dieselbe Richtung.

Beispiel:

Eine Waage zeigt grundsätzlich

$$0{,}2\ \mathrm{kg}$$

zu viel an.

Andere Einflüsse schwanken von Messung zu Messung.

Für dieses Kompetenzthema ist vor allem wichtig:

Eine Fehlerquelle erkennen und beschreiben können, ohne automatisch anzunehmen, dass jeder Messwert exakt ist.

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5. Absoluter Fehler

Ist ein Referenzwert bekannt, kann die absolute Abweichung berechnet werden:

$$\boxed{ \Delta x = |x_m-x_{\mathrm{ref}}|. }$$

Beispiel:

$$x_m=10{,}3\ \mathrm{cm}$$

und

$$x_{\mathrm{ref}}=10{,}0\ \mathrm{cm}.$$

Dann:

$$\Delta x = |10{,}3-10{,}0| = 0{,}3\ \mathrm{cm}.$$

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6. Absolute Fehlergrenze

Häufig kennt man den tatsächlichen Wert nicht.

Dann wird stattdessen eine maximale mögliche Abweichung angegeben.

Zum Beispiel:

$$\boxed{ x=(12{,}4\pm0{,}2)\ \mathrm{cm}. }$$

Das bedeutet:

Der tatsächliche Wert wird in einem Bereich von höchstens

$$0{,}2\ \mathrm{cm}$$

unter beziehungsweise über dem angegebenen Messwert erwartet.

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7. Einheit des absoluten Fehlers

Der absolute Fehler besitzt dieselbe Einheit wie die gemessene Größe.

Ist

$$x=5{,}3\ \mathrm{m},$$

dann kann eine absolute Fehlergrenze zum Beispiel lauten:

$$\Delta x=0{,}1\ \mathrm{m}.$$

Nicht:

$$0{,}1\%.$$

Prozentangaben gehören zum relativen Fehler.

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8. Relativer Fehler

Der relative Fehler vergleicht die absolute Unsicherheit mit der Größe des betrachteten Werts.

Bei einer gegebenen absoluten Fehlergrenze kann man schreiben:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x|}. }$$

Der Betrag im Nenner verhindert bei negativen Größen ein negatives Fehlermaß.

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9. Relativer Fehler in Prozent

Oft wird der relative Fehler als Prozentwert angegeben:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},\%} = \frac{\Delta x}{|x|} \cdot100\%. }$$

Beispiel:

$$x=50\ \mathrm{cm}, \qquad \Delta x=1\ \mathrm{cm}.$$

Dann:

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{1}{50} = 0{,}02.$$

Also:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},\%}=2\%. }$$

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10. Gleicher absoluter Fehler – unterschiedliche Bedeutung

Vergleichen wir:

$$x_1=10\ \mathrm{cm}, \qquad \Delta x_1=1\ \mathrm{cm}$$

und

$$x_2=100\ \mathrm{cm}, \qquad \Delta x_2=1\ \mathrm{cm}.$$

Bei der ersten Messung:

$$\frac{1}{10}=0{,}1=10\%.$$

Bei der zweiten:

$$\frac{1}{100}=0{,}01=1\%.$$

Obwohl der absolute Fehler gleich ist, ist seine relative Bedeutung sehr verschieden.

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11. Relativen Fehler direkt angeben

Ist gegeben:

$$x=80\ \mathrm{m}$$

mit einem relativen Fehler von

$$3\%,$$

dann bedeutet das:

$$f_{\mathrm{rel}}=0{,}03.$$

Die entsprechende absolute Fehlergrenze ist:

$$\Delta x = 0{,}03\cdot80\ \mathrm{m}.$$

Damit:

$$\boxed{ \Delta x=2{,}4\ \mathrm{m}. }$$

Die Messwertangabe kann also geschrieben werden als:

$$\boxed{ x=(80\pm2{,}4)\ \mathrm{m}. }$$

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12. Werteintervall aus einer absoluten Fehlergrenze

Ist

$$x=x_m\pm\Delta x,$$

dann gilt für den möglichen tatsächlichen Wert:

$$\boxed{ x_m-\Delta x \leq x \leq x_m+\Delta x. }$$

Das entsprechende Intervall lautet:

$$\boxed{ [x_m-\Delta x,\ x_m+\Delta x]. }$$

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13. Beispiel für ein Werteintervall

Gegeben:

$$x=(24{,}8\pm0{,}3)\ \mathrm{cm}.$$

Untere Grenze:

$$24{,}8-0{,}3=24{,}5.$$

Obere Grenze:

$$24{,}8+0{,}3=25{,}1.$$

Damit:

$$\boxed{ 24{,}5\ \mathrm{cm} \leq x \leq 25{,}1\ \mathrm{cm}. }$$

Oder:

$$\boxed{ x\in[24{,}5;\ 25{,}1]\ \mathrm{cm}. }$$

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14. Intervall aus relativem Fehler

Gegeben:

$$x_m=200$$

und ein relativer Fehler von

$$2\%.$$

Zuerst berechnen wir die absolute Fehlergrenze:

$$\Delta x = 0{,}02\cdot200 = 4.$$

Dann:

$$\boxed{ x\in[196;\ 204]. }$$

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15. Fehlerbehaftete Eingangsgrößen

Betrachten wir eine Formel:

$$A=a\cdot b.$$

Wenn sowohl $a$ als auch $b$ gemessen wurden, können beide Größen Unsicherheiten besitzen.

Zum Beispiel:

$$a=(5{,}0\pm0{,}1)\ \mathrm{cm}$$

und

$$b=(8{,}0\pm0{,}2)\ \mathrm{cm}.$$

Dann sind $a$ und $b$ die fehlerbehafteten Eingangsgrößen.

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16. Exakte und unsichere Größen unterscheiden

Nicht jede Zahl in einer Formel muss fehlerbehaftet sein.

Beispiel:

$$U=2(a+b).$$

Die Zahl

$$2$$

ist hier ein exakter mathematischer Faktor.

Die gemessenen Größen

$$a$$

und

$$b$$

können dagegen Unsicherheiten besitzen.

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17. Warum Fehler weitergegeben werden

Ist eine Eingangsgröße nicht exakt bekannt, kann auch ein daraus berechnetes Ergebnis normalerweise nicht vollkommen exakt sein.

Beispiel:

$$A=a\cdot b.$$

Wenn $a$ und $b$ jeweils nur innerhalb eines Bereichs bekannt sind, dann liegt auch $A$ innerhalb eines möglichen Wertebereichs.

Die Unsicherheit wird also von den Eingangsgrößen auf die Ergebnisgröße übertragen.

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18. Fehlerfortpflanzungsregel

In Aufgaben kann eine passende Fehlerfortpflanzungsregel vorgegeben sein.

Dann gilt:

Die Regel wird nicht erraten, sondern mit den gegebenen Eingangsfehlern korrekt angewendet.

Eine vorgegebene Regel könnte beispielsweise die Form besitzen:

$$\boxed{ \Delta y = 2\Delta a+3\Delta b. }$$

Sind

$$\Delta a=0{,}1$$

und

$$\Delta b=0{,}2,$$

dann:

$$\Delta y = 2\cdot0{,}1+3\cdot0{,}2.$$

Also:

$$\boxed{ \Delta y=0{,}8. }$$

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19. Vorgegebene Regel sorgfältig lesen

Vor dem Einsetzen sollte geklärt werden:

1. Welche Fehlergrößen kommen vor?
2. Sind absolute oder relative Fehler verlangt?
3. Welche Einheit besitzt das Ergebnis?
4. Werden Beträge verlangt?
5. Welche Größen sind exakt und welche fehlerbehaftet?

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20. Absolute und relative Regeln nicht verwechseln

Eine Regel für absolute Fehler kann zum Beispiel ein Ergebnis

$$\Delta y=0{,}5\ \mathrm{m}$$

liefern.

Eine Regel für relative Fehler kann dagegen zu

$$f_{\mathrm{rel}}=0{,}025$$

führen.

Das entspricht:

$$2{,}5\%.$$

Die beiden Fehlerarten dürfen nicht ohne Umrechnung miteinander vermischt werden.

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21. Maximalen Ergebnisfehler abschätzen

Eine Fehlergrenze beschreibt eine maximale erwartete Abweichung.

Ist das berechnete Ergebnis

$$y_m$$

und die maximale Ergebnisunsicherheit

$$\Delta y,$$

dann kann geschrieben werden:

$$\boxed{ y=y_m\pm\Delta y. }$$

Das mögliche Ergebnisintervall ist:

$$\boxed{ [y_m-\Delta y,\ y_m+\Delta y]. }$$

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22. Beispiel maximaler Ergebnisfehler

Eine Rechnung liefert:

$$A=40{,}0\ \mathrm{cm^2}.$$

Die angewendete Fehlerfortpflanzungsregel ergibt:

$$\Delta A=1{,}6\ \mathrm{cm^2}.$$

Dann:

$$\boxed{ A=(40{,}0\pm1{,}6)\ \mathrm{cm^2}. }$$

Das mögliche Intervall lautet:

$$\boxed{ A\in[38{,}4;\ 41{,}6]\ \mathrm{cm^2}. }$$

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23. Ergebnisintervall direkt untersuchen

Bei einfachen Situationen kann man auch mit den Randwerten der Eingangsgrößen arbeiten.

Beispiel:

$$x\in[4{,}9;\ 5{,}1]$$

und

$$y=2x.$$

Dann:

$$y_{\min}=2\cdot4{,}9=9{,}8$$

und

$$y_{\max}=2\cdot5{,}1=10{,}2.$$

Damit:

$$\boxed{ y\in[9{,}8;\ 10{,}2]. }$$

Der Mittelpunkt ist:

$$10{,}0$$

und die Fehlergrenze:

$$\boxed{ \Delta y=0{,}2. }$$

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24. Vorsicht bei komplizierten Formeln

Bei komplizierteren Formeln reicht es nicht immer, beliebige Randwerte einzusetzen.

Deshalb ist in solchen Aufgaben besonders wichtig:

• die vorgegebene Fehlerfortpflanzungsregel verwenden,
• oder ein ausdrücklich verlangtes Verfahren anwenden.

Merke: Nicht selbst eine allgemeine Fehlerregel erfinden, wenn die Aufgabe eine bestimmte Methode vorgibt.

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25. Relativer Ergebnisfehler

Ist ein Ergebnis

$$y$$

mit absoluter Ergebnisunsicherheit

$$\Delta y$$

bekannt, dann gilt:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},y} = \frac{\Delta y}{|y|}. }$$

In Prozent:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},y,\%} = \frac{\Delta y}{|y|} \cdot100\%. }$$

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26. Beispiel relativer Ergebnisfehler

Gegeben:

$$A=40{,}0\ \mathrm{cm^2}$$

und

$$\Delta A=1{,}6\ \mathrm{cm^2}.$$

Dann:

$$f_{\mathrm{rel},A} = \frac{1{,}6}{40{,}0} = 0{,}04.$$

Also:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},A}=4\%. }$$

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27. Ergebnisfehler interpretieren

Die Aussage

$$A=(40{,}0\pm1{,}6)\ \mathrm{cm^2}$$

bedeutet nicht:

Die Fläche ist sicher falsch.

Sie bedeutet:

Aufgrund der Unsicherheiten der Ausgangsdaten wird für das Ergebnis eine Abweichung von bis zu etwa $1{,}6\ \mathrm{cm^2}$ berücksichtigt.

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28. Einfluss einzelner Eingangsfehler

Nicht jede Eingangsgröße beeinflusst das Ergebnis gleich stark.

Eine vorgegebene Regel sei:

$$\Delta y = 4\Delta a+0{,}5\Delta b.$$

Gegeben:

$$\Delta a=0{,}2, \qquad \Delta b=0{,}4.$$

Beitrag von $a$:

$$4\cdot0{,}2=0{,}8.$$

Beitrag von $b$:

$$0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2.$$

Damit trägt die Unsicherheit von $a$ in dieser Regel stärker zur Ergebnisunsicherheit bei.

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29. Zwei Dinge bestimmen den Einfluss

Wie stark eine Eingangsgröße den Ergebnisfehler beeinflusst, hängt unter anderem davon ab:

1. wie groß ihre eigene Unsicherheit ist,
2. wie stark sie laut verwendeter Regel in das Ergebnis eingeht.

Eine kleine Messunsicherheit kann großen Einfluss haben, wenn die Ergebnisgröße sehr empfindlich auf diese Eingangsgröße reagiert.

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30. Einflussvergleich nicht nur nach Fehlergröße

Angenommen:

$$\Delta a=0{,}1$$

und

$$\Delta b=0{,}3.$$

Es wäre falsch, automatisch zu behaupten:

$b$ beeinflusst das Ergebnis stärker, weil $0{,}3>0{,}1$.

Zuerst muss betrachtet werden, wie beide Größen in die verwendete Fehlerregel eingehen.

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31. Ergebnis mit Unsicherheit im Sachkontext

Ein gutes Endergebnis enthält:

• berechneten Wert,
• passende Einheit,
• Fehlergrenze oder relative Unsicherheit,
• eine kurze Bedeutung im Kontext.

Beispiel:

$$m=(72{,}0\pm1{,}5)\ \mathrm{kg}.$$

Interpretation:

Die Masse wird mit $72{,}0\ \mathrm{kg}$ angegeben. Unter der verwendeten Fehlerabschätzung wird eine Abweichung von höchstens etwa $1{,}5\ \mathrm{kg}$ berücksichtigt.

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32. Prozentuale Unsicherheit interpretieren

Gegeben:

$$f_{\mathrm{rel}}=0{,}025.$$

Das entspricht:

$$2{,}5\%.$$

Interpretation:

Die absolute Unsicherheit entspricht etwa $2{,}5\%$ des angegebenen Ergebniswerts.

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33. Sinnvoll runden

Ein Ergebnis mit Fehlerangabe sollte nicht mit unrealistisch vielen Dezimalstellen angegeben werden.

Beispiel:

Statt

$$x=(12{,}483726\pm0{,}2)\ \mathrm{cm}$$

ist eine zur Unsicherheit passende Darstellung sinnvoller, zum Beispiel:

$$\boxed{ x=(12{,}5\pm0{,}2)\ \mathrm{cm}. }$$

Die konkrete Rundung richtet sich nach Aufgabenstellung und Genauigkeitskonvention.

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34. Fehlergrenze ist keine Garantie für den exakten Wert

Eine Fehlergrenze ist eine Aussage innerhalb des verwendeten Mess- oder Rechenmodells.

Sie beschreibt nicht automatisch eine absolute Wahrheit über jede denkbare Fehlerquelle.

Nicht berücksichtigte systematische Fehler oder ungeeignete Modellannahmen können zusätzliche Abweichungen verursachen.

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35. Typische Fehler

Fehler 1: Betrag beim absoluten Fehler vergessen

Richtig:

$$\Delta x = |x_m-x_{\mathrm{ref}}|.$$

Ein Fehlermaß wird nicht negativ angegeben.

Fehler 2: Einheit vergessen

Absolute Fehler besitzen die Einheit der betrachteten Größe.

Fehler 3: Relativen Fehler nicht in Prozent umrechnen

$$0{,}03=3\%.$$

Nicht:

$$0{,}03\%.$$

Fehler 4: Prozentwert direkt addieren

Bei einer relativen Unsicherheit von $2\%$ muss zunächst klar sein, worauf sich diese $2\%$ beziehen.

Fehler 5: Fehlerregel falsch lesen

Absolute und relative Fehlergrößen dürfen nicht verwechselt werden.

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36. Typische Fehler bei Werteintervallen

Aus

$$x=10\pm0{,}4$$

folgt:

$$\boxed{ x\in[9{,}6;\ 10{,}4]. }$$

Nicht:

$$[10;\ 10{,}4].$$

Die Fehlergrenze wirkt in beide Richtungen.

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37. Typische Fehler bei der Fehlerfortpflanzung

Fehler 1: Nur einen Eingangsfehler berücksichtigen

Sind mehrere Eingangsgrößen als fehlerbehaftet angegeben, müssen alle laut verwendeter Regel berücksichtigt werden.

Fehler 2: Exakte Konstanten als Messfehler behandeln

Eine mathematische Konstante aus der Formel ist nicht automatisch fehlerbehaftet.

Fehler 3: Ergebnisfehler ohne Einheit angeben

Ist der Fehler absolut, benötigt er dieselbe Einheit wie das Ergebnis.

Fehler 4: Maximalfehler als tatsächlichen Fehler bezeichnen

Eine maximale Fehlergrenze beschreibt eine mögliche obere Schranke der Abweichung.

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38. Vorgehensplan: Fehlerquelle erkennen

1. Mess- oder Näherungssituation lesen.
2. Prüfen, welche Größe nicht exakt bestimmt wird.
3. Messgerät, Ablesung, Rundung oder Modellannahmen untersuchen.
4. Eine konkrete mögliche Fehlerquelle benennen.
5. Kurz erklären, wie sie den Wert beeinflussen kann.

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39. Vorgehensplan: Messwert mit Fehler angeben

Bei absoluter Fehlergrenze:

$$\boxed{ x=x_m\pm\Delta x. }$$

Bei relativer Fehlerangabe:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x_m|}. }$$

Für Prozent:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},\%} = f_{\mathrm{rel}}\cdot100\%. }$$

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40. Vorgehensplan: Werteintervall

1. Messwert $x_m$ bestimmen.
2. Absolute Fehlergrenze $\Delta x$ bestimmen.
3. Untere Grenze berechnen:

$$x_{\min}=x_m-\Delta x.$$

1. Obere Grenze berechnen:

$$x_{\max}=x_m+\Delta x.$$

1. Intervall angeben:

$$\boxed{ [x_{\min};x_{\max}]. }$$

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41. Vorgehensplan: Fehlerfortpflanzungsregel anwenden

1. Ergebnisgröße identifizieren.
2. Fehlerbehaftete Eingangsgrößen markieren.
3. Vorgegebene Fehlerregel vollständig abschreiben.
4. Absolute und relative Fehlerarten unterscheiden.
5. Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
6. Ergebnisfehler berechnen.
7. Ergebnis zusammen mit seiner Unsicherheit angeben.

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42. Vorgehensplan: Einfluss vergleichen

1. Fehlerfortpflanzungsregel betrachten.
2. Beitrag jeder Eingangsgröße einzeln berechnen.
3. Beiträge vergleichen.
4. Größten Einfluss identifizieren.
5. Nicht nur die ursprünglichen Fehlerwerte, sondern auch ihre Gewichtung in der Regel berücksichtigen.

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43. Vorgehensplan: Ergebnis interpretieren

Ein vollständiger Antwortsatz sollte ausdrücken:

• Welcher Ergebniswert berechnet wurde,
• wie groß seine Unsicherheit ist,
• welche Einheit gilt,
• ob die Unsicherheit absolut oder relativ angegeben wird,
• was diese Unsicherheit im Sachkontext bedeutet.

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44. Zusammenfassung

Absoluter Fehler

$$\boxed{ \Delta x = |x_m-x_{\mathrm{ref}}|. }$$

Messwert mit Fehlergrenze

$$\boxed{ x=x_m\pm\Delta x. }$$

Werteintervall

$$\boxed{ x\in[x_m-\Delta x;\ x_m+\Delta x]. }$$

Relativer Fehler

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x|}. }$$

Prozentuale Angabe

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},\%} = f_{\mathrm{rel}}\cdot100\%. }$$

Fehlerfortpflanzung

Unsicherheiten von Eingangsgrößen können zu einer Unsicherheit des Ergebnisses führen.

Wird eine Fehlerfortpflanzungsregel vorgegeben, muss sie mit den richtigen Fehlergrößen und Einheiten angewendet werden.

Merke: Ein berechnetes Ergebnis ist nur so genau, wie es die Ausgangsdaten und das verwendete Modell zulassen.