Aussagenlogik

Kompetenzcode: AG 1.5

Bereich: Algebra und Geometrie

Aussagenlogik hilft dabei, mathematische Sätze eindeutig zu lesen und zu prüfen. Sie beantwortet vier Fragen:

1. Ist der Satz überhaupt eine mathematische Aussage?
2. Ist die Aussage wahr oder falsch?
3. Was bedeutet ihre Negation?
4. Wann ist eine Verknüpfung mehrerer Aussagen wahr?

Der Kern ist einfach:

Eine mathematische Aussage besitzt genau einen Wahrheitswert: wahr oder falsch.

1. Mathematische Aussagen erkennen

Eine mathematische Aussage ist ein sprachlicher oder symbolischer Satz, bei dem eindeutig entschieden werden kann, ob er wahr oder falsch ist.

Beispiele für Aussagen:

• „(7) ist eine Primzahl.“ – wahr
• „(3+4=8).“ – falsch
• „Jedes Quadrat ist ein Rechteck.“ – wahr

Keine Aussagen sind zum Beispiel:

• eine Frage: „Ist (7) eine Primzahl?“
• eine Aufforderung: „Berechne (3+4)!“
• ein offener Satz ohne festgelegte Variable: „$x+2=5$.“

Der letzte Satz kann je nach $x$ wahr oder falsch sein. Erst mit einer Festlegung wie $x=3$ oder mit einer Quantifizierung wie „Es gibt ein $x\in\mathbb R$ mit $x+2=5$“ entsteht eine Aussage.

Beispiel 1: Aussage oder keine Aussage?

Untersuche die vier Sätze.

1. (12) ist durch (3) teilbar.
2. $x^2=9$.
3. Löse die Gleichung $x^2=9$!
4. Für $x=3$ gilt .

Schritt 1: Kann ein eindeutiger Wahrheitswert angegeben werden?

• Satz 1 kann geprüft werden.
• Satz 2 hängt vom nicht festgelegten $x$ ab.
• Satz 3 ist eine Aufforderung.
• Satz 4 legt $x$ fest und kann geprüft werden.

Schritt 2: Einordnen.

2. Wahrheitswerte bestimmen

Für „wahr“ und „falsch“ verwendet man häufig die Abkürzungen $W$ und $F$. Entscheidend ist nicht, ob ein Satz plausibel klingt, sondern ob er mathematisch geprüft werden kann.

Beispiel 2: Wahrheitswert rechnerisch prüfen

Gegeben ist die Aussage

$$p:\quad 2^5<5^2.$$

Schritt 1: Beide Seiten getrennt berechnen.

$$2^5=32 \qquad\text{und}\qquad 5^2=25.$$

Schritt 2: Vergleichen.

$$32<25$$

ist falsch.

Schritt 3: Wahrheitswert notieren.

$$p=F.$$

Die Aussage bleibt eine mathematische Aussage, obwohl sie falsch ist.

3. Aussagen benennen

Für längere Aussagen verwendet man Buchstaben wie $p$, $q$ oder $r$.

Zum Beispiel:

$$p:\quad 10\text{ ist gerade},$$ $$q:\quad 10\text{ ist eine Primzahl}.$$

Hier gilt $p=W$ und $q=F$. Die Buchstaben ersetzen die ganzen Sätze. Dadurch können Verknüpfungen übersichtlich geschrieben werden.

4. Eine Aussage negieren

Die Negation kehrt den Wahrheitswert einer Aussage um. Man schreibt

$$\lnot p$$

und liest „nicht $p$“.

Eine gute Negation widerspricht der ursprünglichen Aussage genau. Sie darf weder schwächer noch stärker sein.

Vergleichszeichen richtig negieren

Wichtig: Die Negation von $x<4$ ist nicht nur $x>4$. Der Fall $x=4$ muss ebenfalls enthalten sein.

Beispiel 3: Negation schrittweise bilden

Gegeben ist

$$p:\quad x\le7.$$

Schritt 1: Bedeutung in Worten lesen.

$x\le7$ bedeutet: $x$ ist kleiner oder gleich $7$.

Schritt 2: Alle nicht erlaubten Fälle erfassen.

Die Aussage ist genau dann falsch, wenn $x$ größer als $7$ ist.

Schritt 3: Negation schreiben.

$$\lnot p:\quad x>7.$$

Kontrolle: Für $x=7$ ist $p$ wahr und $\lnot p$ falsch. Für $x=8$ ist $p$ falsch und wahr. Die Wahrheitswerte sind immer entgegengesetzt.

Sprachliche Negation mit „alle“

Die Negation von

Alle Zahlen der Menge (M) sind positiv.

lautet

Mindestens eine Zahl der Menge (M) ist nicht positiv.

Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Allaussage zu widerlegen.

5. UND-Verknüpfung

Die Konjunktion verbindet zwei Aussagen mit UND:

$$p\land q.$$

Sie ist nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind.

6. ODER-Verknüpfung

Die Disjunktion verbindet zwei Aussagen mit ODER:

$$p\lor q.$$

Das mathematische ODER ist normalerweise einschließend. Die Verknüpfung ist wahr, wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist. Sind beide wahr, ist auch die ODER-Verknüpfung wahr.

Beispiel 4: UND und ODER auswerten

Gegeben sind

$$p:\quad 18\text{ ist durch }3\text{ teilbar},$$ $$q:\quad 18\text{ ist eine Primzahl}.$$

Schritt 1: Teilaussagen prüfen.

$$18:3=6\quad\Rightarrow\quad p=W.$$

Da $18=2\cdot9$ mehrere positive Teiler besitzt, gilt $q=F$.

Schritt 2: UND auswerten.

$$p\land q=W\land F=F.$$

Schritt 3: ODER auswerten.

$$p\lor q=W\lor F=W.$$

Die UND-Verknüpfung scheitert an der falschen Teilaussage $q$. Für ODER genügt die wahre Teilaussage $p$.

7. Wahrheitstabellen systematisch erstellen

Eine Wahrheitstabelle enthält alle möglichen Wahrheitswertkombinationen. Bei zwei Eingangsaussagen gibt es

$$2^2=4$$

Zeilen. Bei drei Eingangsaussagen wären es $2^3=8$ Zeilen.

Für zwei Aussagen verwendet man immer diese Grundreihenfolge:

Danach wird für jede Teiloperation eine eigene Spalte ergänzt. Klammern bestimmen die Reihenfolge.

Beispiel 5: Zusammengesetzte Aussage vollständig untersuchen

Untersuche

$$(p\lor q)\land\lnot p.$$

Schritt 1: Eingangsspalten anlegen.

Es werden alle vier Kombinationen von $p$ und $q$ notiert.

Schritt 2: Negation berechnen.

Die Spalte $\lnot p$ besitzt immer den entgegengesetzten Wahrheitswert zu $p$.

Schritt 3: Klammer berechnen.

Für $p\lor q$ genügt mindestens ein $W$.

Schritt 4: Letzte UND-Verknüpfung auswerten.

Die letzte Spalte ist nur wahr, wenn $p\lor q$ und $\lnot p$ beide wahr sind.

Deutung: Die zusammengesetzte Aussage ist genau dann wahr, wenn $p$ falsch und $q$ wahr ist.

8. Logische Struktur beurteilen

Aus der letzten Spalte einer Wahrheitstabelle lässt sich die gesamte Struktur ablesen.

• Immer $W$: Tautologie – unabhängig von den Eingangswerten wahr.
• Immer $F$: Widerspruch – unabhängig von den Eingangswerten falsch.
• Mischung aus $W$ und $F$: Der Wahrheitswert hängt von den Teilaussagen ab.

Beispiel 6: Tautologie und Widerspruch erkennen

Vergleiche

$$p\lor\lnot p \qquad\text{und}\qquad p\land\lnot p.$$

Schritt 1: Grundspalten anlegen.

Schritt 2: Letzte Spalten lesen.

$p\lor\lnot p$ ist in jeder Zeile wahr und daher eine Tautologie.

$p\land\lnot p$ ist in jeder Zeile falsch und daher ein Widerspruch.

9. Aussagen in Mengen und Gleichungen

Viele bekannte Schreibweisen sind bereits Aussagen:

$$x\in A, \qquad x\notin A, \qquad x<5, \qquad x=5.$$

Sobald $x$ und die verwendete Menge beziehungsweise der Zahlenbereich festgelegt sind, kann der Wahrheitswert bestimmt werden.

Beispiel mit $x=4$ und $A=\{2,4,6\}$:

$$x\in A=W, \qquad x>5=F.$$

Die Verknüpfung

$$(x\in A)\land(x>5)$$

ist daher falsch.

10. Typische Fehler

Fehler 1: Eine falsche Aussage als „keine Aussage“ bezeichnen

Auch ein falscher Satz kann eine Aussage sein. Entscheidend ist der eindeutige Wahrheitswert.

Fehler 2: Einen offenen Satz sofort bewerten

$x+2=5$ besitzt ohne Festlegung von $x$ keinen eindeutigen Wahrheitswert.

Fehler 3: Bei der Negation den Randwert verlieren

Die Negation von $x<4$ lautet $x\ge4$, nicht $x>4$.

Fehler 4: Mathematisches ODER mit „genau eines“ verwechseln

$p\lor q$ ist auch dann wahr, wenn $p$ und $q$ beide wahr sind.

Fehler 5: Zu wenige Zeilen notieren

Bei zwei unabhängigen Aussagen benötigt die vollständige Wahrheitstabelle vier Zeilen.

Fehler 6: Zu viele Operationen in einem Schritt rechnen

Für jede Negation, Klammer oder Verknüpfung sollte eine eigene Zwischenspalte angelegt werden.

11. Allgemeiner Arbeitsplan

Aussage prüfen

1. Satz vollständig lesen.
2. Fragen, Aufforderungen und offene Sätze erkennen.
3. Prüfen, ob genau ein Wahrheitswert möglich ist.
4. Aussage rechnerisch oder begrifflich untersuchen.
5. Wahrheitswert als $W$ oder $F$ notieren.

Negation bilden

1. Aussage in Worten lesen.
2. Alle Fälle bestimmen, in denen sie falsch ist.
3. Vergleichszeichen vollständig umkehren.
4. Negation mit $\lnot p$ notieren.
5. Mit einem Randwert kontrollieren.

Wahrheitstabelle erstellen

1. Eingangsaussagen bestimmen.
2. Alle $2^n$ Kombinationen notieren.
3. Klammern und Negationen zuerst berechnen.
4. Für jede Teiloperation eine Spalte ergänzen.
5. Letzte Spalte zeilenweise auswerten.
6. Ergebnis als Tautologie, Widerspruch oder bedingte Aussage deuten.

Merksätze

• Eine Aussage ist eindeutig wahr oder falsch.
• Eine offene Variable kann einen Satz daran hindern, eine Aussage zu sein.
• Die Negation kehrt den Wahrheitswert vollständig um.
• $p\land q$ ist nur bei zwei wahren Teilaussagen wahr.
• $p\lor q$ ist wahr, sobald mindestens eine Teilaussage wahr ist.
• Bei $n$ Eingangsaussagen besitzt eine vollständige Wahrheitstabelle $2^n$ Zeilen.