Vergleiche arithmetische und geometrische Folgen und beobachte, wie sich Differenz oder Quotient auf die Folgenglieder auswirken.
Punktdiagramm
an=2+(n−1)⋅1,50
Parameter
Erkennungsmerkmal
konstante Differenz: 1,50
Monotonie
streng monoton wachsend
a1
2
a2
3,50
a3
5
a4
6,50
a5
8
a6
9,50
a7
11
a8
12,50
a9
14
a10
15,50
Explizit
an=2+(n−1)⋅1,50
Ein beliebiges Folgenglied direkt berechnen.
Rekursiv
a1=2,an+1=an+1,50
Das nächste Glied aus dem vorherigen bestimmen.
Verhalten: Für wachsendes n ist die Folge nach oben unbeschränkt.
Folgen
Kompetenzcode: FA 8.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Eine Folge ordnet jedem zulässigen Index n genau ein Folgenglied an zu. Die Reihenfolge ist wesentlich: (1,2 ist eine andere Folge als . Der vorhandene Explorer zeigt die ersten Glieder als Punkte; hier stehen Rechenwege und Eigenschaften im Mittelpunkt.
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
FA 8.1 - Folge und Folgenglied lesen
Eine Folge als geordnete Zuordnung lesen und ein verlangtes Glied sicher bestimmen.
1
Index klären
Startindex und gesuchten Index eindeutig notieren.
2
Darstellung erkennen
Explizite Formel, Rekursion, Tabelle oder Punktdiagramm unterscheiden.
3
Startwert sichern
Bei einer Rekursion den erforderlichen Anfangswert erfassen.
4
Folgenglied berechnen
Direkt einsetzen oder schrittweise bis zum Zielindex rechnen.
5
Reihenfolge beachten
Berechnete Werte mit ihren Indizes geordnet notieren.
6
Ergebnis prüfen
Größenordnung und erkennbare Änderungsregel kontrollieren.
FA 8.1 - Arithmetische Folge bearbeiten
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Bei einer expliziten Vorschrift kann jedes Glied unmittelbar aus n berechnet werden. Bei einer rekursiven Vorschrift braucht man einen Startwert und zuvor berechnete Glieder.
Bitte was? Explizit ist eine Direktformel: Du kannst sofort zum 20. Glied springen. Rekursiv ist ein Schritt-für-Schritt-Rezept: Du brauchst den Startwert und rechnest Glied für Glied weiter.
Beispiel 1: Explizites Folgenglied
Gegeben ist an=3n−2. Für n=7 gilt
a7=3⋅7−2=19.
Die ersten Glieder sind (1,4,7,10,…). Index und Wert dürfen nicht verwechselt werden: 7 ist der Index, 19 das Folgenglied.
Beispiel 2: Rekursive Folge
Gegeben seien a1=5 und an+1=0,5an+3. Dann
a2=5,5,a3=5,75,a4=5,875.
Ohne den Startwert wäre die Rekursion nicht eindeutig.
2. Arithmetische Folgen
Eine Folge ist arithmetisch, wenn die Differenz benachbarter Glieder konstant ist:
d=an+1−an.
Dann gelten
an+1=an+d,an=a1+(n−1)d.
Beispiel 3: Arithmetische Folge erkennen und fortsetzen
Für 7,11,15,19,… sind alle Differenzen gleich 4. Daher ist d=4 und die nächsten Glieder sind 23 und 27.
Beispiel 4: Beide Bildungsgesetze aufstellen
Für a1=12 und d=−3 lautet die rekursive Form
a1=12,an+1=an−3,
und die explizite Form
an=12+(n−1)(−3)=15−3n.
Probe: a4=15−12=3, passend zur Folge 12,9,6,3,….
Beispiel 5: Differenz aus nicht benachbarten Gliedern
Gegeben sind a3=14 und a8=34. Zwischen den Indizes liegen fünf Schritte:
34=14+5d⇒d=4.
Damit ist a1=a3−2d=14−8=6 und an=6+4(n−1)=4n+2.
3. Geometrische Folgen
Eine Folge ist geometrisch, wenn für alle geeigneten Glieder derselbe Quotient gilt:
q=anan+1.
Dann gelten
an+1=qan,an=a1qn−1.
Beispiel 6: Geometrische Folge erkennen
Für 160,80,40,20,… gilt stets q=21. Das nächste Glied ist 10, und
an=160(21)n−1.
Beispiel 7: Quotient aus entfernten Gliedern
Gegeben sind a2=6 und a5=162. Es liegen drei Quotientenschritte dazwischen:
162=6q3⇒q3=27⇒q=3.
Somit ist a1=2 und an=2⋅3n−1.
Beispiel 8: Negativer Quotient
Die Folge 4,−2,1,−0,5,… ist geometrisch mit q=−21. Ihr Betrag wird kleiner, aber die Vorzeichen wechseln. Sie ist deshalb nicht monoton, obwohl an→0 gilt.
4. Explizit und rekursiv wechseln
Beispiel 9: Explizit zu rekursiv
Aus an=8+5(n−1) liest man a1=8 und d=5 ab. Daher
a1=8,an+1=an+5.
Aus bn=7⋅0,8n−1 folgt entsprechend b1=7 und bn+1=0,8bn.
Beispiel 10: Rekursiv zu explizit
Für a1=−3 und an+1=2an ist q=2. Daher
an=−3⋅2n−1.
Die Probe a3=−3⋅4=−12 stimmt mit der Rekursion überein.
5. Monotonie, Beschränktheit und Grenzwert
Eine Folge ist monoton wachsend, wenn an+1≥an, und monoton fallend, wenn an+1≤an. Sie ist nach oben beschränkt, wenn alle Glieder unter einer festen Zahl liegen, und nach unten beschränkt, wenn alle über einer festen Zahl liegen.
Beispiel 11: Eigenschaften gemeinsam untersuchen
Für an=5−n1 gilt
an+1−an=n1−n+11=n(n+1)1>0.
Die Folge ist streng wachsend. Außerdem gilt 4≤an<5, also ist sie beidseitig beschränkt, und
n→∞liman=5.
Beispiel 12: Geometrische Grenzfälle
Für an=6qn−1 gilt:
Bedingung
Verhalten
0<q<1
positiv, fallend, Grenzwert 0
−1<q<0
Vorzeichenwechsel, nicht monoton, Grenzwert 0
q=1
konstant 6
q>1
wachsend und nach oben unbeschränkt
q≤−1
Vorzeichenwechsel; Betrag bleibt gleich oder wächst
Typische Fehler
In an=a1+(n−1)d steht n−1, weil vom ersten bis zum n-ten Glied genau n−1 Schritte liegen.
Eine konstante Differenz kennzeichnet eine arithmetische, ein konstanter Quotient eine geometrische Folge.
Eine Rekursion ist ohne Startwert unvollständig.
Aus Beschränktheit allein folgt noch keine Konvergenz; zusätzlich ist etwa Monotonie nötig.
Merksätze
Explizit bedeutet: an direkt aus n berechnen.
Rekursiv bedeutet: vom Startwert schrittweise weiterrechnen.
Arithmetisch: additiv mit d. Geometrisch: multiplikativ mit q.
Bei geometrischen Folgen entscheiden Betrag und Vorzeichen von q über das langfristige Verhalten.
Konstante Differenz erkennen und beide Bildungsgesetze aufstellen.
1
Differenzen bilden
Benachbarte Folgenglieder subtrahieren.
2
Konstanz prüfen
Kontrollieren, ob überall dieselbe Differenz d entsteht.
3
Startglied bestimmen
a1 direkt ablesen oder aus einem bekannten Glied rückrechnen.
4
Rekursion notieren
a1 und a_(n+1)=an+d vollständig angeben.
5
Explizite Formel bilden
an=a1+(n-1)d einsetzen und vereinfachen.
6
Probe durchführen
Ein bekanntes und ein weiteres Glied mit der Formel prüfen.
FA 8.1 - Geometrische Folge bearbeiten
Konstanten Quotienten erkennen und beide Bildungsgesetze aufstellen.
1
Quotienten bilden
Benachbarte von null verschiedene Glieder dividieren.
2
Konstanz prüfen
Kontrollieren, ob derselbe q vorliegt.
3
Startglied bestimmen
a1 ablesen oder durch Rückwärtsdivision ermitteln.
4
Rekursion notieren
a1 und a_(n+1)=q*an vollständig angeben.
5
Explizite Formel bilden
an=a1*q^(n-1) aufstellen.
6
Sonderfall prüfen
Vorzeichen, q=0, q=1 und einen bekannten Wert kontrollieren.
FA 8.1 - Darstellungsform wechseln
Arithmetische und geometrische Folgen zwischen expliziter und rekursiver Form überführen.
1
Folgentyp erkennen
Konstante Differenz oder konstanten Quotienten identifizieren.
2
Parameter ablesen
a1 und d beziehungsweise q bestimmen.
3
Zielform wählen
Explizite Formel oder vollständige Rekursion festlegen.
4
Parameter einsetzen
Die passende Standardform ohne Indexfehler ausfüllen.
5
Formel vereinfachen
Nur soweit vereinfachen, dass der Aufbau erkennbar bleibt.
6
Zwei Glieder vergleichen
Beide Darstellungen an mindestens zwei Indizes abgleichen.
FA 8.1 - Folgeneigenschaften untersuchen
Monotonie, Beschränktheit und Grenzwert getrennt prüfen und gemeinsam deuten.
1
Erste Glieder ansehen
Einen begründeten Verdacht über das Verhalten entwickeln.
2
Monotonie prüfen
a_(n+1)-an, einen Quotienten oder die Struktur der Formel untersuchen.
3
Untere Schranke suchen
Eine Zahl angeben, die von keinem Folgenglied unterschritten wird.
4
Obere Schranke suchen
Eine Zahl angeben, die von keinem Folgenglied überschritten wird.
5
Grenzwert bestimmen
Das Verhalten für n gegen unendlich rechnerisch untersuchen.
6
Aussagen verbinden
Monotonie, Schranken und Grenzwert widerspruchsfrei zusammenfassen.
FA 8.1 – Folgenglied aus explizitem Bildungsgesetz berechnen
Für einen vorgegebenen Index ein Folgenglied aus einem expliziten Bildungsgesetz berechnen.
1
Index notieren
Bestimme den vorgegebenen Index n des gesuchten Folgenglieds.
2
Explizites Gesetz lesen
Identifiziere die Vorschrift, mit der an direkt aus n berechnet wird.
3
Index einsetzen
Ersetze n vollständig durch den gegebenen Zahlenwert.
4
Rechenreihenfolge beachten
Berechne zuerst Klammern und Potenzen, danach Produkte und Additionen beziehungsweise Subtraktionen.
5
Folgenglied bestimmen
Vereinfache den Ausdruck bis zu einem eindeutigen Zahlenwert.
6
Indexbezug prüfen
Kontrolliere, dass wirklich an zum verlangten Index und nicht ein benachbartes Folgenglied berechnet wurde.
FA 8.1 – Arithmetische Folge erkennen
An einer konstanten Differenz aufeinanderfolgender Glieder eine arithmetische Folge erkennen.
1
Aufeinanderfolgende Glieder wählen
Betrachte mehrere unmittelbar aufeinanderfolgende Folgenglieder.
2
Differenzen bilden
Berechne jeweils späteres Glied minus vorheriges Glied.
3
Differenzen vergleichen
Prüfe, ob alle erhaltenen Differenzen gleich sind.
4
Konstante d benennen
Der gemeinsame Wert ist die konstante Differenz d.
5
Arithmetische Folge erkennen
Eine konstante Differenz kennzeichnet eine arithmetische Folge.
6
Urteil begründen
Begründe die Zuordnung mit den berechneten gleichen Differenzen.
FA 8.1 – Arithmetische Folge fortsetzen
Eine arithmetische Folge mithilfe ihrer konstanten Differenz fortsetzen.
1
Konstante Differenz bestimmen
Berechne aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern d=a_(n+1)−an.
2
Letztes bekanntes Glied markieren
Starte beim letzten gegebenen Folgenglied.
3
Differenz addieren
Berechne das nächste Glied durch a_(n+1)=an+d.
4
Weitere Glieder fortsetzen
Wiederhole denselben Rechenschritt mit unverändertem d.
5
Vorzeichen beachten
Bei negativem d wird in jedem Schritt derselbe Betrag abgezogen.
6
Folge prüfen
Kontrolliere, dass die Differenz zwischen allen benachbarten Gliedern weiterhin d ist.
FA 8.1 – Explizites Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge aufstellen
Aus geeigneten Angaben ein explizites Bildungsgesetz für eine arithmetische Folge aufstellen.
1
Grundform notieren
Verwende für eine arithmetische Folge an=a1+(n−1)·d.
2
Startglied bestimmen
Bestimme a1 aus den gegebenen Informationen.
3
Differenz bestimmen
Berechne die konstante Differenz d aus geeigneten Folgengliedern.
4
Parameter einsetzen
Setze a1 und d in die Grundform ein.
5
Gesetz vereinfachen
Vereinfache den Ausdruck, ohne den Bezug zum Index n zu verlieren.
6
Mit gegebenem Glied prüfen
Setze einen bekannten Index ein und kontrolliere, ob das richtige Folgenglied entsteht.
FA 8.1 – Geometrische Folge erkennen
An einem konstanten Quotienten aufeinanderfolgender Glieder eine geometrische Folge erkennen.
1
Aufeinanderfolgende Glieder wählen
Betrachte mehrere benachbarte Folgenglieder mit von 0 verschiedenen Vorgängern.
2
Quotienten bilden
Berechne jeweils späteres Glied geteilt durch vorheriges Glied.
3
Quotienten vergleichen
Prüfe, ob alle Quotienten denselben Wert besitzen.
4
Konstante q benennen
Der gemeinsame Quotient ist der q.
5
Geometrische Folge erkennen
Ein konstanter Quotient kennzeichnet eine geometrische Folge.
6
Urteil begründen
Begründe die Zuordnung mit den berechneten gleichen Quotienten.
FA 8.1 – Geometrische Folge fortsetzen
Eine geometrische Folge mithilfe ihres konstanten Quotienten fortsetzen.
1
Quotienten bestimmen
Berechne aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern q=a_(n+1)/an.
2
Letztes bekanntes Glied markieren
Starte beim letzten gegebenen Folgenglied.
3
Mit q multiplizieren
Berechne das nächste Glied durch a_(n+1)=an·q.
4
Weitere Glieder fortsetzen
Wiederhole die Multiplikation mit demselben q.
5
Vorzeichen und Betrag beachten
Ein negatives q wechselt das Vorzeichen; ein Betrag kleiner als 1 verkleinert die Beträge.
6
Folge prüfen
Kontrolliere, dass der Quotient benachbarter Glieder weiterhin q ist.
FA 8.1 – Explizites Bildungsgesetz einer geometrischen Folge aufstellen
Aus geeigneten Angaben ein explizites Bildungsgesetz für eine geometrische Folge aufstellen.
1
Grundform notieren
Verwende für eine geometrische Folge an=a1·q^(n−1).
2
Startglied bestimmen
Bestimme a1 aus den gegebenen Informationen.
3
Quotienten bestimmen
Berechne q aus zwei geeigneten aufeinanderfolgenden Gliedern.
4
Parameter einsetzen
Setze a1 und q in die Grundform ein.
5
Gesetz übersichtlich notieren
Schreibe das explizite Bildungsgesetz mit dem Index n.
6
Mit gegebenem Glied prüfen
Setze einen bekannten Index ein und kontrolliere den erhaltenen Folgewert.
FA 8.1 – Rekursive Folge berechnen
Aus Startwert und rekursiver Vorschrift aufeinanderfolgende Folgenglieder berechnen.
1
Startwert finden
Bestimme das gegebene Anfangsglied der rekursiven Folge.
2
Rekursive Vorschrift lesen
Kläre, wie aus einem bekannten Glied das nächste Glied erzeugt wird.
3
Nächstes Glied berechnen
Setze das aktuelle Folgenglied in die Rekursionsvorschrift ein.
4
Ergebnis übernehmen
Verwende den berechneten Wert als Ausgangspunkt für den nächsten Schritt.
5
Schrittweise fortsetzen
Wiederhole die Rekursion bis zum verlangten Index.
6
Indexfolge prüfen
Kontrolliere, dass kein Rekursionsschritt ausgelassen oder doppelt ausgeführt wurde.
FA 8.1 – Explizite und rekursive Folgendarstellung unterscheiden
Eine gegebene Darstellung einer Folge als explizit oder rekursiv erkennen.
1
Darstellung betrachten
Prüfe, ob an direkt durch n oder mithilfe vorheriger Folgenglieder beschrieben wird.
2
Explizite Form erkennen
Eine explizite Vorschrift berechnet an unmittelbar aus dem Index n.
3
Rekursive Form erkennen
Eine rekursive Vorschrift verwendet mindestens ein vorheriges Folgenglied.
