Folgen

Kompetenzcode: FA 8.1

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine Folge ordnet jedem zulässigen Index $n$ genau ein Folgenglied $a_n$ zu. Die Reihenfolge ist wesentlich: $(1,2,3,\ldots)$ ist eine andere Folge als $(3,2,1,\ldots)$. Der vorhandene Explorer zeigt die ersten Glieder als Punkte; hier stehen Rechenwege und Eigenschaften im Mittelpunkt.

1. Folgen lesen und Folgenglieder berechnen

Bei einer expliziten Vorschrift kann jedes Glied unmittelbar aus $n$ berechnet werden. Bei einer rekursiven Vorschrift braucht man einen Startwert und zuvor berechnete Glieder.

Beispiel 1: Explizites Folgenglied

Gegeben ist $a_n=3n-2$. Für $n=7$ gilt

$$a_7=3\cdot7-2=19.$$

Die ersten Glieder sind $(1,4,7,10,\ldots)$. Index und Wert dürfen nicht verwechselt werden: $7$ ist der Index, $19$ das Folgenglied.

Beispiel 2: Rekursive Folge

Gegeben seien $a_1=5$ und $a_{n+1}=0{,}5a_n+3$. Dann

$$a_2=5{,}5,\qquad a_3=5{,}75,\qquad a_4=5{,}875.$$

Ohne den Startwert wäre die Rekursion nicht eindeutig.

2. Arithmetische Folgen

Eine Folge ist arithmetisch, wenn die Differenz benachbarter Glieder konstant ist:

$$d=a_{n+1}-a_n.$$

Dann gelten

$$a_{n+1}=a_n+d,\qquad a_n=a_1+(n-1)d.$$

Beispiel 3: Arithmetische Folge erkennen und fortsetzen

Für $7,11,15,19,\ldots$ sind alle Differenzen gleich $4$. Daher ist $d=4$ und die nächsten Glieder sind $23$ und $$.

Beispiel 4: Beide Bildungsgesetze aufstellen

Für $a_1=12$ und $d=-3$ lautet die rekursive Form

$$a_1=12,\qquad a_{n+1}=a_n-3,$$

und die explizite Form

$$a_n=12+(n-1)(-3)=15-3n.$$

Probe: $a_4=15-12=3$, passend zur Folge $12,9,6,3,\ldots$.

Beispiel 5: Differenz aus nicht benachbarten Gliedern

Gegeben sind $a_3=14$ und $a_8=34$. Zwischen den Indizes liegen fünf Schritte:

$$34=14+5d\quad\Rightarrow\quad d=4.$$

Damit ist $a_1=a_3-2d=14-8=6$ und .

3. Geometrische Folgen

Eine Folge ist geometrisch, wenn für alle geeigneten Glieder derselbe Quotient gilt:

$$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}.$$

Dann gelten

$$a_{n+1}=q a_n,\qquad a_n=a_1q^{n-1}.$$

Beispiel 6: Geometrische Folge erkennen

Für $160,80,40,20,\ldots$ gilt stets $q=\frac12$. Das nächste Glied ist , und

$$a_n=160\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

Beispiel 7: Quotient aus entfernten Gliedern

Gegeben sind $a_2=6$ und $a_5=162$. Es liegen drei Quotientenschritte dazwischen:

$$162=6q^3\quad\Rightarrow\quad q^3=27\quad\Rightarrow\quad q=3.$$

Somit ist $a_1=2$ und $a_n=2\cdot3^{n-1}$.

Beispiel 8: Negativer Quotient

Die Folge $4,-2,1,-0{,}5,\ldots$ ist geometrisch mit $q=-\frac12$. Ihr Betrag wird kleiner, aber die Vorzeichen wechseln. Sie ist deshalb nicht monoton, obwohl gilt.

4. Explizit und rekursiv wechseln

Beispiel 9: Explizit zu rekursiv

Aus $a_n=8+5(n-1)$ liest man $a_1=8$ und ab. Daher

$$a_1=8,\qquad a_{n+1}=a_n+5.$$

Aus $b_n=7\cdot0{,}8^{n-1}$ folgt entsprechend $b_1=7$ und .

Beispiel 10: Rekursiv zu explizit

Für $a_1=-3$ und $a_{n+1}=2a_n$ ist . Daher

$$a_n=-3\cdot2^{n-1}.$$

Die Probe $a_3=-3\cdot4=-12$ stimmt mit der Rekursion überein.

5. Monotonie, Beschränktheit und Grenzwert

Eine Folge ist monoton wachsend, wenn $a_{n+1}\ge a_n$, und monoton fallend, wenn $a_{n+1}\le a_n$. Sie ist nach oben beschränkt, wenn alle Glieder unter einer festen Zahl liegen, und nach unten beschränkt, wenn alle über einer festen Zahl liegen.

Beispiel 11: Eigenschaften gemeinsam untersuchen

Für $a_n=5-\frac{1}{n}$ gilt

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0.$$

Die Folge ist streng wachsend. Außerdem gilt $4\le a_n<5$, also ist sie beidseitig beschränkt, und

$$\lim_{n\to\infty}a_n=5.$$

Beispiel 12: Geometrische Grenzfälle

Für $a_n=6q^{n-1}$ gilt:

Typische Fehler

• In $a_n=a_1+(n-1)d$ steht $$, weil vom ersten bis zum -ten Glied genau Schritte liegen.

Merksätze

• Explizit bedeutet: $a_n$ direkt aus $n$ berechnen.
• Rekursiv bedeutet: vom Startwert schrittweise weiterrechnen.
• Arithmetisch: additiv mit $d$. Geometrisch: multiplikativ mit $q$.
• Bei geometrischen Folgen entscheiden Betrag und Vorzeichen von $$ über das langfristige Verhalten.