Umfang, Flächeninhalt und Volumen

Geometrische Größen beschreiben verschiedene Eigenschaften einer Figur oder eines Körpers.

Merksatz: Länge hat eine einfache Einheit, Fläche eine Quadrateinheit und Volumen eine Kubikeinheit.

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1. Ein vollständiger Lösungsweg

Bei jeder Aufgabe wird dieselbe Reihenfolge verwendet:

1. Skizze anfertigen oder ergänzen.
2. Gesuchte Größe benennen.
3. Maße und Einheiten prüfen.
4. Passende Formel notieren.
5. Werte mit Einheiten einsetzen.
6. Schrittweise rechnen.
7. Ergebnis mit passender Einheit angeben.
8. Größenordnung prüfen.

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2. Rechteck: Umfang und Fläche

Für ein Rechteck mit Seitenlängen $a$ und $b$ gilt:

$$U=2a+2b, \qquad A=a\cdot b.$$

Ausführliches Beispiel

Gegeben:

$$a=8\,\mathrm{cm}, \qquad b=5\,\mathrm{cm}.$$

Umfang:

$$\begin{aligned} U &=2a+2b \\ &=2\cdot8\,\mathrm{cm}+2\cdot5\,\mathrm{cm} \\ &=16\,\mathrm{cm}+10\,\mathrm{cm} \\ &=26\,\mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Flächeninhalt:

$$\begin{aligned} A &=a\cdot b \\ &=8\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm} \\ &=40\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Die beiden Ergebnisse dürfen nicht verwechselt werden: $26\,\mathrm{cm}$ beschreibt den Rand, $40\,\mathrm{cm}^2$ die Fläche.

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3. Dreieck

Für ein Dreieck gilt:

$$A=\frac{g\cdot h}{2}.$$

$h$ ist die Höhe, die senkrecht auf der gewählten Grundseite $g$ steht.

Gegeben:

$$g=10\,\mathrm{cm}, \qquad h=6\,\mathrm{cm}.$$ $$\begin{aligned} A &=\frac{g\cdot h}{2} \\ &=\frac{10\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}}{2} \\ &=\frac{60\,\mathrm{cm}^2}{2} \\ &=30\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Die Division durch $2$ ist notwendig, weil ein Dreieck die Hälfte eines passenden Parallelogramms oder Rechtecks bildet.

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4. Parallelogramm, Trapez und Kreis

Parallelogramm:

$$A=g\cdot h.$$

Trapez mit parallelen Seiten $a$ und $c$:

$$A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}.$$

Kreis:

$$U=2\pi r=\pi d, \qquad A=\pi r^2.$$

Kreisbeispiel

Gegeben:

$$r=3\,\mathrm{cm}.$$

Umfang:

$$\begin{aligned} U &=2\pi r \\ &=2\pi\cdot3\,\mathrm{cm} \\ &=6\pi\,\mathrm{cm} \\ &\approx18{,}85\,\mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Fläche:

$$\begin{aligned} A &=\pi r^2 \\ &=\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2 \\ &=9\pi\,\mathrm{cm}^2 \\ &\approx28{,}27\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Radius und Durchmesser dürfen nicht vertauscht werden:

$$d=2r.$$

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5. Zusammengesetzte Flächen

Eine zusammengesetzte Figur wird in bekannte Teilfiguren zerlegt oder als große Fläche minus Ausschnitt berechnet.

Für eine L-Form mit äußerem Rechteck $8\,\mathrm{cm}\times6\,\mathrm{cm}$ und Ausschnitt $4\,\mathrm{cm}\times3\,\mathrm{cm}$ gilt:

Große Fläche:

$$\begin{aligned} A_{\text{groß}} &=8\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm} \\ &=48\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Ausschnitt:

$$\begin{aligned} A_{\text{Ausschnitt}} &=4\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm} \\ &=12\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Gesamtfläche:

$$\begin{aligned} A &=A_{\text{groß}}-A_{\text{Ausschnitt}} \\ &=48\,\mathrm{cm}^2-12\,\mathrm{cm}^2 \\ &=36\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

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6. Quader: Volumen und Oberfläche

Für einen Quader mit Kantenlängen $a$, $b$ und $h$ gilt:

$$V=a\cdot b\cdot h.$$

Die Oberfläche besteht aus sechs Rechtecken:

$$O=2ab+2ah+2bh.$$

Ausführliches Volumenbeispiel

$$a=4\,\mathrm{cm}, \qquad b=3\,\mathrm{cm}, \qquad h=5\,\mathrm{cm}.$$ $$\begin{aligned} V &=a\cdot b\cdot h \\ &=4\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm} \\ &=12\,\mathrm{cm}^2\cdot5\,\mathrm{cm} \\ &=60\,\mathrm{cm}^3. \end{aligned}$$

Die Zwischenzeile zeigt: Zuerst entsteht eine Grundfläche von $12\,\mathrm{cm}^2$, danach durch Multiplikation mit der Höhe das Volumen.

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7. Prisma

Für jedes gerade Prisma gilt:

$$V=G\cdot h,$$

wobei $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Körperhöhe ist.

Beispiel: Ein dreieckiges Prisma besitzt

$$g=8\,\mathrm{cm}, \qquad h_g=5\,\mathrm{cm}, \qquad h=12\,\mathrm{cm}.$$

Grundfläche:

$$\begin{aligned} G &=\frac{g\cdot h_g}{2} \\ &=\frac{8\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}}{2} \\ &=20\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Volumen:

$$\begin{aligned} V &=G\cdot h \\ &=20\,\mathrm{cm}^2\cdot12\,\mathrm{cm} \\ &=240\,\mathrm{cm}^3. \end{aligned}$$

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8. Typische Fehler

• Umfang, Fläche, Oberfläche und Volumen werden verwechselt.
• Maße mit verschiedenen Einheiten werden direkt eingesetzt.
• Beim Dreieck fehlt die Division durch $2$.
• Beim Kreis werden Radius und Durchmesser vertauscht.
• Bei zusammengesetzten Figuren werden Flächen doppelt gezählt.
• Bei einem Prisma wird die Grundfläche nicht zuerst berechnet.
• Quadrat- oder Kubikeinheit fehlt.

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9. Zusammenfassung

• Umfang: Randlängen addieren.
• Fläche: passende Flächenformel verwenden.
• Oberfläche: alle äußeren Teilflächen addieren.
• Volumen: Grundfläche mal Körperhöhe.
• Vollständiger Lösungsweg: Skizze, Formel, Einsetzen, Rechnen, Einheit, Kontrolle.