Größen und Einheiten umrechnen

Eine Größe besteht aus einer Zahl und einer Einheit:

$$3{,}5\,\mathrm{m}.$$

Beim Umrechnen ändert sich die Zahl, aber die dargestellte Größe bleibt gleich.

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1. Grundregel beim Umrechnen

Vor jeder Umrechnung werden vier Fragen beantwortet:

1. Welche Einheit ist gegeben?
2. Welche Einheit wird gesucht?
3. Wie groß ist der Umrechnungsfaktor?
4. Wird die Zahl größer oder kleiner?

Von einer größeren Einheit zu einer kleineren Einheit wird die Zahl größer. Von einer kleineren Einheit zu einer größeren Einheit wird die Zahl kleiner.

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2. Längeneinheiten

$$1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{dm}=100\,\mathrm{cm}=1000\,\mathrm{mm}.$$

Ausführliches Beispiel

$2{,}35\,\mathrm{m}$ sollen in Zentimeter umgerechnet werden.

Zwischen Meter und Zentimeter liegt der Faktor $100$:

$$\begin{aligned} 2{,}35\,\mathrm{m} &=2{,}35\cdot100\,\mathrm{cm} \\ &=235\,\mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Kontrolle: Zentimeter sind kleiner als Meter. Die Zahlenangabe muss daher größer werden.

Rückrichtung

$480\,\mathrm{cm}$ sollen in Meter umgerechnet werden:

$$\begin{aligned} 480\,\mathrm{cm} &=480:100\,\mathrm{m} \\ &=4{,}8\,\mathrm{m}. \end{aligned}$$

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3. Flächeneinheiten

Bei Flächen wird der Längenfaktor quadriert.

Da

$$1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm},$$

gilt

$$1\,\mathrm{m}^2 =(100\,\mathrm{cm})^2 =10\,000\,\mathrm{cm}^2.$$

Ausführliches Beispiel

$3{,}2\,\mathrm{m}^2$ sollen in Quadratzentimeter umgerechnet werden.

$$\begin{aligned} 3{,}2\,\mathrm{m}^2 &=3{,}2\cdot10\,000\,\mathrm{cm}^2 \\ &=32\,000\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Ein häufiger Fehler wäre die Multiplikation mit nur $100$. Das wäre der Faktor für Längen, nicht für Flächen.

Zwischen benachbarten metrischen Flächeneinheiten gilt meist der Faktor $100$:

$$1\,\mathrm{m}^2=100\,\mathrm{dm}^2.$$

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4. Volumeneinheiten

Bei Volumina wird der Längenfaktor kubiert.

$$1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{dm}$$

führt zu

$$1\,\mathrm{m}^3 =(10\,\mathrm{dm})^3 =1000\,\mathrm{dm}^3.$$

Wichtige Beziehungen:

$$1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{l}, \qquad 1\,\mathrm{cm}^3=1\,\mathrm{ml}.$$

Beispiel

$2{,}5\,\mathrm{l}$ sollen in Milliliter umgerechnet werden.

$$\begin{aligned} 2{,}5\,\mathrm{l} &=2{,}5\cdot1000\,\mathrm{ml} \\ &=2500\,\mathrm{ml}. \end{aligned}$$

Beispiel mit Kubikeinheiten

$$\begin{aligned} 4500\,\mathrm{cm}^3 &=4500\,\mathrm{ml} \\ &=4{,}5\,\mathrm{l}. \end{aligned}$$

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5. Masse

$$1\,\mathrm{t}=1000\,\mathrm{kg}, \qquad 1\,\mathrm{kg}=1000\,\mathrm{g}, \qquad 1\,\mathrm{g}=1000\,\mathrm{mg}.$$

Beispiel

$$\begin{aligned} 3{,}75\,\mathrm{kg} &=3{,}75\cdot1000\,\mathrm{g} \\ &=3750\,\mathrm{g}. \end{aligned}$$

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6. Zeitangaben

Bei Zeit gilt nicht der Faktor $10$ oder $100$, sondern häufig der Faktor $60$:

$$1\,\mathrm{h}=60\,\mathrm{min}, \qquad 1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}.$$

Dezimalstunden in Stunden und Minuten

$2{,}4\,\mathrm{h}$ sind nicht $2$ Stunden $40$ Minuten.

1. Ganze Stunden: $2\,\mathrm{h}$.
2. Dezimalanteil: $0{,}4\,\mathrm{h}$.
3. Dezimalanteil in Minuten umrechnen:

$$\begin{aligned} 0{,}4\cdot60\,\mathrm{min} &=24\,\mathrm{min}. \end{aligned}$$

Daher:

$$2{,}4\,\mathrm{h}=2\,\mathrm{h}\;24\,\mathrm{min}.$$

Stunden und Minuten in Dezimalstunden

$$\begin{aligned} 45\,\mathrm{min} &=45:60\,\mathrm{h} \\ &=0{,}75\,\mathrm{h}. \end{aligned}$$

Somit:

$$3\,\mathrm{h}\;45\,\mathrm{min}=3{,}75\,\mathrm{h}.$$

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7. Einheiten in Sachrechnungen

Ein Rechteck ist $1{,}2\,\mathrm{m}$ lang und $80\,\mathrm{cm}$ breit. Vor der Flächenberechnung müssen die Einheiten vereinheitlicht werden.

$$80\,\mathrm{cm}=0{,}8\,\mathrm{m}.$$

Dann:

$$\begin{aligned} A &=a\cdot b \\ &=1{,}2\,\mathrm{m}\cdot0{,}8\,\mathrm{m} \\ &=0{,}96\,\mathrm{m}^2. \end{aligned}$$

Die Einheiten zeigen zugleich, warum das Ergebnis eine Quadrateinheit besitzt.

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8. Typische Fehler

• Die Richtung der Umrechnung wird vertauscht.
• Für Flächen wird nur der Längenfaktor verwendet.
• Für Volumina wird der Faktor nicht kubiert.
• Dezimalstunden werden wie Dezimalzahlen zur Basis $100$ gelesen.
• In einer Formel werden verschiedene Einheiten gemischt.
• Die Einheit des Ergebnisses fehlt.

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9. Zusammenfassung

• Länge: einfacher Faktor.
• Fläche: Faktor zum Quadrat.
• Volumen: Faktor zur dritten Potenz.
• Zeit: häufig Faktor $60$.
• Vor jeder Sachrechnung Einheiten vereinheitlichen.
• Zahl und Einheit gemeinsam kontrollieren.