Satz des Pythagoras im Raum

Kompetenzcode: MG 4.15

In einem Quader liegen viele rechtwinkelige Dreiecke. Eine räumliche Strecke wird verständlich, wenn wir diese Dreiecke nacheinander betrachten. Dabei verwenden wir denselben Satz des Pythagoras wie in der Ebene.

---

1. Wiederholung

Pythagoras funktioniert in einem rechtwinkeligen Dreieck. Sind (x) und (y) die Katheten und (z) die Hypotenuse, gilt:

$$x^2+y^2=z^2.$$

Auch in einem Körper rechnen wir nicht plötzlich mit einer neuen Art von Pythagoras. Wir suchen ebene rechtwinkelige Dreiecke, die im Körper liegen.

---

2. Rechtwinkelige Dreiecke im Körper erkennen

Bei einem Quader stehen benachbarte Kanten senkrecht aufeinander. Zwei Kanten einer rechteckigen Seitenfläche bilden daher Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Eine Flächendiagonale ist dessen Hypotenuse.

Für eine Raumdiagonale brauchen wir ein weiteres Dreieck. Es besteht aus einer Flächendiagonale, einer dazu senkrechten Kante und der Raumdiagonale.

---

3. Flächendiagonale eines Quaders

Auf einer rechteckigen Fläche mit Seiten (a) und (b) gilt für die Flächendiagonale (d_F):

$$d_F^2=a^2+b^2$$ $$\boxed{d_F=\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Zahlenbeispiel

Die Grundfläche ist (6,\mathrm{cm}) lang und (8,\mathrm{cm}) breit.

$$d_F^2=6^2+8^2$$ $$d_F^2=36+64=100$$ $$\boxed{d_F=10\,\mathrm{cm}}.$$

---

4. Raumdiagonale: Pythagoras zum zweiten Mal

Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quaders. Zuerst berechnen wir eine Flächendiagonale. Diese Flächendiagonale (d_F), die Höhe (c) und die Raumdiagonale (d_R) bilden ein zweites rechtwinkeliges Dreieck.

Dabei sind (d_F) und (c) die Katheten. (d_R) liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die Hypotenuse:

$$d_R^2=d_F^2+c^2.$$

Erst jetzt setzen wir

$$d_F^2=a^2+b^2$$

ein:

$$d_R^2=a^2+b^2+c^2.$$

Für die positive Länge folgt:

$$\boxed{d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

Diese Formel ist keine neue Zauberformel. Sie entsteht durch zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras: zuerst in einer Rechtecksfläche und danach im zweiten rechtwinkeligen Dreieck durch den Quader.

---

5. Vollständiges Quaderbeispiel

Gegeben sind

$$a=3\,\mathrm{cm}, \quad b=4\,\mathrm{cm}, \quad c=12\,\mathrm{cm}.$$

Zuerst berechnen wir die Flächendiagonale:

$$d_F=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{cm}.$$

Danach verwenden wir das zweite rechtwinkelige Dreieck:

$$d_R=\sqrt{5^2+12^2}$$ $$d_R=\sqrt{25+144}$$ $$d_R=\sqrt{169}$$ $$\boxed{d_R=13\,\mathrm{cm}}.$$

Die Rechnung zeigt beide geometrischen Schritte. Die Raumdiagonale muss länger als jede einzelne Kante und länger als die verwendete Flächendiagonale sein.

---

6. Der Würfel

Beim Würfel haben alle Kanten dieselbe Länge (a).

Flächendiagonale

Eine Quadratfläche besitzt zwei Katheten der Länge (a):

$$d_F^2=a^2+a^2$$ $$d_F^2=2a^2$$ $$\boxed{d_F=a\sqrt{2}}.$$

Raumdiagonale

Nun verwenden wir (d_F) und eine weitere Kante (a):

$$d_R^2=d_F^2+a^2$$ $$d_R^2=(a\sqrt{2})^2+a^2$$ $$d_R^2=2a^2+a^2$$ $$d_R^2=3a^2$$ $$\boxed{d_R=a\sqrt{3}}.$$

Auch diese Formel entsteht aus zwei rechtwinkeligen Dreiecken.

---

7. Räumliche Sachaufgaben

Längste Strecke in einem Raum

Die längste gerade Strecke zwischen zwei Ecken eines quaderförmigen Raumes ist eine Raumdiagonale. Raumlänge und Raumbreite liefern zuerst die Bodendiagonale. Bodendiagonale und Raumhöhe liefern danach die Raumdiagonale.

Stab in einer Kiste

Soll ein gerader Stab von einer Ecke zu der gegenüberliegenden Ecke einer quaderförmigen Kiste reichen, vergleicht man seine Länge mit der Raumdiagonale. Innenmaße und dieselbe Einheit sind dabei wichtig.

Gegenüberliegende Ecken

Kläre zuerst, ob die beiden Ecken auf derselben Fläche liegen. Dann genügt eine Flächendiagonale. Liegen sie räumlich gegenüber, sind zwei Pythagoras-Schritte nötig.

---

8. Typische Fehler

• Flächen- und Raumdiagonale verwechselt: Eine Flächendiagonale bleibt auf einer Rechtecksfläche; eine Raumdiagonale läuft durch den Körper.
• Drei Seiten ohne Bild quadriert: Die kurze Gesamtformel ist erst nach der geometrischen Zerlegung sinnvoll.
• Falsches Dreieck gewählt: Prüfe, welche Strecken einander wirklich rechtwinkelig schneiden.
• Zu früh gerundet: Verwende den genauen Zwischenwert oder möglichst viele Stellen bis zum Schluss.
• Einheit vergessen: Flächen- und Raumdiagonalen sind Längen.
• Unplausibles Ergebnis: Die Raumdiagonale muss länger als jede Kante sein.

---

9. Zusammenfassung

1. In einer Rechtecksfläche entsteht das erste rechtwinkelige Dreieck:

$$d_F=\sqrt{a^2+b^2}.$$

1. Flächendiagonale und Höhe bilden die Katheten des zweiten Dreiecks:

$$d_R=\sqrt{d_F^2+c^2}.$$

1. Erst aus diesen beiden Schritten folgt:

$$d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Zeichne oder markiere beide Dreiecke, rechne schrittweise und runde erst am Ende.