Überlagerung gleichfrequenter Sinusschwingungen

Kompetenzcode: FA 6.9

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Mehrere Schwingungen können sich verstärken, abschwächen oder sogar vollständig auslöschen. Haben sie dieselbe Kreisfrequenz $\omega$, dann ist ihre Summe wieder eine einzelne Sinusschwingung mit genau dieser Kreisfrequenz. Nur Amplitude und Phase ändern sich.

$$y_k(t)=A_k\sin(\omega t+\varphi_k)$$

Leitidee: Jede Schwingung wird durch einen Zeiger beschrieben. Zeiger lassen sich komponentenweise addieren. Der Summenzeiger liefert unmittelbar die neue Amplitude und Phase.

1. Eine Sinusschwingung als Zeiger lesen

Zur Schwingung

$$y(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$$

gehört der Schwingungszeiger

$$\vec z= \begin{pmatrix} A\cos(\varphi)\\ A\sin(\varphi) \end{pmatrix}.$$

Seine Länge ist die Amplitude $A$, sein Winkel zur positiven waagrechten Achse ist die Phase $\varphi$. Die Kreisfrequenz steht nicht in den beiden Komponenten, muss aber für alle zu addierenden Schwingungen gleich sein.

Beispiel 1: Zeiger aus Amplitude und Phase bestimmen

Gegeben ist

$$y_1(t)=4\sin\left(\omega t+30^\circ\right).$$

Dann gilt

$$\begin{aligned} C_1&=4\cos(30^\circ)=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3,\\ D_1&=4\sin(30^\circ)=4\cdot\frac12=2. \end{aligned}$$

Somit lautet der Zeiger

$$\boxed{\vec z_1=\begin{pmatrix}2\sqrt3\\2\end{pmatrix}}.$$

Beispiel 2: Amplitude und Phase aus Komponenten zurückgewinnen

Gegeben ist

$$\vec z=\begin{pmatrix}-3\\3\sqrt3\end{pmatrix}.$$

Die Länge ist

$$A=\sqrt{(-3)^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{9+27}=6.$$

Der Zeiger liegt wegen $C<0$ und $D>0$ im II. Quadranten. Daher ist

$$\varphi=120^\circ=\frac{2\pi}{3}.$$

Die zugehörige Schwingung lautet

$$\boxed{y(t)=6\sin\left(\omega t+120^\circ\right)}.$$

2. Warum die Komponentenform funktioniert

Mit dem Additionstheorem

$$\sin(\alpha+\beta) =\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$$

erhält man

$$\begin{aligned} A\sin(\omega t+\varphi) &=A\cos(\varphi)\sin(\omega t) +A\sin(\varphi)\cos(\omega t)\\ &=C\sin(\omega t)+D\cos(\omega t). \end{aligned}$$

Dabei sind

$$\boxed{C=A\cos(\varphi)}, \qquad \boxed{D=A\sin(\varphi)}.$$

Gleichfrequente Schwingungen besitzen dieselben Grundbausteine $\sin(\omega t)$ und $\cos(\omega t)$. Deshalb können deren Koeffizienten getrennt addiert werden.

3. Schwingungszeiger addieren

Für

$$y_1(t)=A_1\sin(\omega t+\varphi_1), \qquad y_2(t)=A_2\sin(\omega t+\varphi_2)$$

werden zunächst die Komponenten berechnet:

$$\vec z_1=\begin{pmatrix}A_1\cos\varphi_1\\A_1\sin\varphi_1\end{pmatrix}, \qquad \vec z_2=\begin{pmatrix}A_2\cos\varphi_2\\A_2\sin\varphi_2\end{pmatrix}.$$

Dann gilt

$$\vec z=\vec z_1+\vec z_2 =\begin{pmatrix}C_1+C_2\\D_1+D_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}.$$

Beispiel 3: Gleichphasige Schwingungen verstärken sich

$$y_1(t)=3\sin(\omega t), \qquad y_2(t)=5\sin(\omega t).$$

Beide Zeiger zeigen in dieselbe Richtung:

$$\vec z_1=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}, \qquad \vec z_2=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}.$$

Also

$$\vec z=\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{y(t)=8\sin(\omega t)}.$$

Beispiel 4: Gegenphasige Schwingungen schwächen sich ab

$$y_1(t)=7\sin(\omega t), \qquad y_2(t)=4\sin(\omega t+\pi).$$

Da $\cos\pi=-1$ und $\sin\pi=0$, gilt

$$\vec z_1=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}, \qquad \vec z_2=\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}.$$

Somit

$$\vec z=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{y(t)=3\sin(\omega t)}.$$

Beispiel 5: Senkrechte Zeiger

$$y_1(t)=3\sin(\omega t), \qquad y_2(t)=4\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right).$$

Die Zeiger sind

$$\vec z_1=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}, \qquad \vec z_2=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}, \qquad \vec z=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}.$$

Die resultierende Amplitude ist

$$A=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Für die Phase gilt

$$\varphi=\operatorname{atan2}(4,3)\approx53{,}13^\circ.$$

Also

$$\boxed{y(t)\approx5\sin(\omega t+53{,}13^\circ)}.$$

4. Aus dem Summenzeiger Amplitude und Phase bestimmen

Aus

$$\vec z=\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}$$

folgt

$$\boxed{A=\sqrt{C^2+D^2}}$$

und

$$\boxed{\varphi=\operatorname{atan2}(D,C)}.$$

Die Funktion $\operatorname{atan2}(D,C)$ berücksichtigt die Vorzeichen beider Komponenten und liefert dadurch den richtigen Quadranten. Ein bloßes $\arctan(D/C)$ kann einen um $180^\circ$ falschen Winkel ergeben und ist für nicht verwendbar.

Beispiel 6: Vollständige Überlagerung mit beliebigen Phasen

$$y_1(t)=2\sin(\omega t+30^\circ), \qquad y_2(t)=3\sin(\omega t-60^\circ).$$

Die Komponenten sind

$$\vec z_1=\begin{pmatrix}\sqrt3\\1\end{pmatrix}, \qquad \vec z_2=\begin{pmatrix}\frac32\\-\frac{3\sqrt3}{2}\end{pmatrix}.$$

Damit

$$\vec z= \begin{pmatrix} \sqrt3+\frac32\\ 1-\frac{3\sqrt3}{2} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}3{,}232\\-1{,}598\end{pmatrix}.$$

Für die Amplitude ergibt sich exakt

$$\begin{aligned} A^2 &=\left(\sqrt3+\frac32\right)^2 +\left(1-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=13, \end{aligned}$$

also $A=\sqrt{13}\approx3{,}606$. Die Phase ist

$$\varphi=\operatorname{atan2}(-1{,}598;3{,}232) \approx-26{,}31^\circ.$$

Somit

$$\boxed{y(t)\approx3{,}606\sin(\omega t-26{,}31^\circ)}.$$

Beispiel 7: Drei Zeiger löschen sich vollständig aus

Drei Schwingungen haben jeweils Amplitude $2$ und die Phasen $0^\circ$, $120^\circ$ und $240^\circ$:

$$\begin{aligned} \vec z_1&=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix},\\ \vec z_2&=\begin{pmatrix}-1\\\sqrt3\end{pmatrix},\\ \vec z_3&=\begin{pmatrix}-1\\-\sqrt3\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Die Summe ist

$$\vec z_1+\vec z_2+\vec z_3 =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$$

Damit ist $A=0$ und

$$\boxed{y(t)=0}.$$

Bei Amplitude null ist keine eindeutige Phase festgelegt, weil der Nullzeiger keine Richtung besitzt.

Beispiel 8: Den richtigen Quadranten sichern

Für einen Summenzeiger

$$\vec z=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$$

ist

$$A=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5.$$

Der Zeiger liegt im III. Quadranten. Daher liefert

$$\varphi=\operatorname{atan2}(-4,-3) \approx-126{,}87^\circ$$

beziehungsweise gleichwertig $233{,}13^\circ$. Der Wert

$$\arctan\left(\frac{-4}{-3}\right)\approx53{,}13^\circ$$

wäre im falschen Quadranten.

5. Die Summe als einzelne Sinusfunktion schreiben

Der vollständige Rechenweg lautet:

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{n} A_k\sin(\omega t+\varphi_k) =A\sin(\omega t+\varphi) }$$

mit

$$C=\sum_{k=1}^{n}A_k\cos(\varphi_k), \qquad D=\sum_{k=1}^{n}A_k\sin(\varphi_k),$$ $$A=\sqrt{C^2+D^2}, \qquad \varphi=\operatorname{atan2}(D,C).$$

Beispiel 9: Sinus- und Cosinusanteil zusammenfassen

$$y(t)=5\sin(2t)+5\cos(2t).$$

Da

$$5\cos(2t)=5\sin\left(2t+\frac{\pi}{2}\right),$$

lauten die Summenkomponenten $C=5$ und $D=5$. Somit

$$A=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2, \qquad \varphi=\operatorname{atan2}(5,5)=\frac{\pi}{4}.$$

Also

$$\boxed{y(t)=5\sqrt2\sin\left(2t+\frac{\pi}{4}\right)}.$$

Beispiel 10: Ergebnis durch Rückentwicklung prüfen

Das Ergebnis aus Beispiel 9 wird kontrolliert:

$$\begin{aligned} 5\sqrt2\sin\left(2t+\frac{\pi}{4}\right) &=5\sqrt2\left( \sin(2t)\frac{\sqrt2}{2} +\cos(2t)\frac{\sqrt2}{2} \right)\\ &=5\sin(2t)+5\cos(2t). \end{aligned}$$

Die ursprüngliche Summe entsteht exakt wieder.

Beispiel 11: Zeitverschiebung der Resultierenden deuten

Gegeben ist

$$y(t)=6\sin\left(4t+\frac{\pi}{3}\right).$$

Für $A\sin(\omega t+\varphi)$ liegt der charakteristische Beginn bei

$$t_0=-\frac{\varphi}{\omega}.$$

Somit

$$t_0=-\frac{\pi/3}{4}=-\frac{\pi}{12}.$$

Die positive Phase bedeutet hier eine Verschiebung um $\frac{\pi}{12}$ nach links.

Beispiel 12: Warum gleiche Frequenz notwendig ist

Bei

$$y(t)=\sin(2t)+\sin(3t)$$

stimmen die Kreisfrequenzen nicht überein. Es gibt daher keinen gemeinsamen festen Schwingungszeiger und keine Darstellung als

$$A\sin(\omega t+\varphi)$$

mit konstantem $A$, konstantem $\omega$ und konstanter $\varphi$. Die Form der Summe verändert sich innerhalb der Zeit; das Zeigerverfahren dieser Seite ist nicht anwendbar.

6. Grenzen der resultierenden Amplitude

Für zwei Schwingungen gilt stets

$$|A_1-A_2|\le A\le A_1+A_2.$$

• Gleiche Phase liefert die maximale Amplitude $A_1+A_2$.
• Eine Phasendifferenz von $\pi$ liefert die minimale Amplitude $\mathrm{\mid }{A}_1-A_2$.

Diese Schranken sind eine schnelle Plausibilitätskontrolle für jedes Ergebnis.

7. Typische Fehler

8. Arbeitsabläufe

Schwingung als Zeiger darstellen

1. Amplitude $A$, Kreisfrequenz $\omega$ und Phase $\varphi$ ablesen.
2. Prüfen, ob Grad- oder Bogenmaß verwendet wird.
3. Die waagrechte Komponente $C=A\cos\varphi$ berechnen.
4. Die senkrechte Komponente $D=A$ berechnen.

Zeiger in Komponenten zerlegen

1. Zeigerlänge und Winkel eindeutig erfassen.
2. Vom Zeiger ein rechtwinkliges Komponentendreieck denken.
3. Die Cosinuskomponente waagrecht bestimmen.
4. Die Sinuskomponente senkrecht bestimmen.
5. Vorzeichen über den Quadranten einsetzen.
6. Mit $C^2+D^2=A^2$ kontrollieren.

Schwingungszeiger addieren

1. Gleiche Kreisfrequenz aller Schwingungen bestätigen.
2. Jeden Zeiger in $C_k,D_k$ zerlegen.
3. Alle waagrechten Komponenten zu $C$ addieren.
4. Alle senkrechten Komponenten zu $D$ addieren.

Resultierende bestimmen

1. Summenkomponenten $C,D$ vollständig übernehmen.
2. Amplitude $A=\sqrt{C^2+D^2}$ berechnen.

Ergebnis kontrollieren

1. Resultierende mit dem Additionstheorem entwickeln.
2. Koeffizient von $\sin(\omega t)$ vergleichen.
3. Koeffizient von $\cos(\omega t)$ vergleichen.
4. Prüfen, ob die Kreisfrequenz unverändert ist.
5. Die Amplitude mit geometrischen Grenzen vergleichen.
6. Sonderfälle wie Auslöschung oder Gegenphase deuten.

Merksätze

• Nur Schwingungen gleicher Kreisfrequenz besitzen einen festen Summenzeiger.
• $A$ ist die Zeigerlänge, $\varphi$ die Zeigerrichtung.
• Komponenten werden addiert, nicht Amplituden oder Phasen.
• $A=\sqrt{C^2+D^2}$ und .