Interaktiv
MG 4.1 · Koordinatensystem
Koordinaten mit einem bewegbaren Punkt erkunden
Verschiebe den Punkt im Koordinatensystem. Beobachte dabei Koordinaten, Vorzeichen, Quadrant und Achsenlage.
Ziehen oder in das Koordinatensystem klicken. Der Punkt rastet in Halbschritten ein. Pfeiltasten bewegen um eine halbe, Umschalt + Pfeiltaste um eine ganze Einheit.
Aktueller Punkt
P(3|2)
Quadrant I
x ist positiv und y ist positiv.
x-Koordinate
x = +3
positiv
y-Koordinate
y = +2
positiv
So wird der Punkt eingetragen
- 1. x-Richtung: 3 Einheiten nach rechts.
- 2. y-Richtung: 2 Einheiten nach oben.
Koordinatensystem und einfache Graphen
Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus zwei senkrecht aufeinanderstehenden Zahlengeraden.
- Die waagrechte Achse heißt -Achse.
- Die senkrechte Achse heißt -Achse.
- Ihr Schnittpunkt heißt Ursprung .
1. Punkte und Koordinatenpaare
Ein Punkt wird als geordnetes Paar geschrieben:
Die Reihenfolge ist fest:
- zuerst die -Koordinate,
- danach die -Koordinate.
Der Punkt
liegt drei Einheiten rechts vom Ursprung und zwei Einheiten darunter.
Merksatz: Erst waagrecht in -Richtung, dann senkrecht in -Richtung.
2. Einen Punkt eintragen
Der Punkt
soll eingetragen werden.
- Beim Ursprung beginnen.
- Wegen vier Einheiten nach links gehen.
- Von dort wegen drei Einheiten nach oben gehen.
- Den Punkt markieren und mit beschriften.
Vor dem Eintragen wird geprüft, ob ein Kästchen tatsächlich einer Einheit entspricht. Eine Achse kann beispielsweise in Zweierschritten skaliert sein.
3. Einen Punkt ablesen
Ein eingezeichneter Punkt wird durch Hilfslinien zu den Achsen abgelesen.
- Senkrecht zur -Achse projizieren und den -Wert ablesen.
- Waagrecht zur -Achse projizieren und den -Wert ablesen.
- Das Paar als notieren.
Wenn die Projektionen und ergeben, lautet der Punkt
nicht .
4. Die vier Quadranten
Beispiele:
Punkte auf einer Achse gehören zu keinem Quadranten:
- liegt auf der -Achse,
- liegt auf der -Achse,
- ist der Ursprung.
5. Skalierung und Achsenbeschriftung
Vor dem Ablesen eines Graphen werden immer vier Dinge geprüft:
- Wo liegt der Ursprung?
- In welche Richtung wachsen die Achsenwerte?
- Welchen Wert hat ein Teilstrich?
- Welche Größe und Einheit gehört zu jeder Achse?
Wenn die -Achse in Fünferschritten beschriftet ist, bedeutet ein Kästchen möglicherweise und nicht .
6. Von der Wertetabelle zu Punkten
Gegeben ist
Für , und werden die berechnet.
Jede Tabellenzeile liefert genau einen Punkt.
Ob die Punkte verbunden werden, hängt vom Zusammenhang ab:
- Messwerte zu jedem Zeitpunkt: Zwischenwerte können sinnvoll sein.
- Anzahl verkaufter Eintrittskarten: Nur ganze Stückzahlen sind möglich.
7. Einen Graphen im Kontext deuten
Ein Punkt des Graphen ist ein Wertepaar. Bei einem Füllstand-Zeit-Graphen kann
bedeuten: Nach Minuten befinden sich Liter im Behälter.
Beim Beschreiben eines Graphen wird schrittweise vorgegangen:
- Achsen und Einheiten nennen.
- Startwert ablesen.
- Steigende, fallende und waagrechte Abschnitte unterscheiden.
- Besondere Punkte nennen.
- Aussagen in den Sachzusammenhang übersetzen.
Ein waagrechter Abschnitt bedeutet nicht immer „Stillstand“. Er bedeutet, dass sich die auf der -Achse dargestellte Größe nicht verändert.
8. Typische Fehler
- - und -Koordinate werden vertauscht.
- Das Vorzeichen einer Koordinate wird übersehen.
- Ein Punkt auf einer Achse wird einem Quadranten zugeordnet.
- Die Skalierung wird nicht beachtet.
- Einzelpunkte werden ohne sachliche Begründung verbunden.
- Ein steigender Graph wird ohne Blick auf die Achsen automatisch als „schneller“ bezeichnet.
9. Zusammenfassung
- Punktnotation: .
- Erst , dann .
- Ursprung, Achsenrichtung und Skalierung vor jeder Arbeit prüfen.
- Quadranten werden durch die Vorzeichen beider Koordinaten bestimmt.
- Tabellenzeilen werden zu Wertepaaren und Punkten.
- Graphen werden immer mit Achsenbezeichnungen und Kontext gedeutet.