Verändere Angebot und Nachfrage und beobachte, wie sich Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis verschieben.
Nachfrage
pN(x)=−x+12
Angebot
pA(x)=0,5x+2
Marktgleichgewicht
pN(x)=pA(x)
xG=6.67,pG=5.33
Nachfrage
Höchstpreis:
pH=12
Sättigungsmenge:
xS=12
Angebot
Mindestpreis:
pM=2
Nachfrage
Mit steigender Menge sinkt hier der Preis, den Nachfragende zu zahlen bereit sind.
Angebot
Mit steigender Menge steigt hier der Preis, zu dem angeboten wird.
Gleichgewicht
Im Schnittpunkt stimmen angebotene und nachgefragte Menge beim selben Preis überein.
Merke: Das Marktgleichgewicht ist der Schnittpunkt von Angebots- und Nachfragefunktion. Seine Koordinaten liefern Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis.
Interaktive Visualisierung
Kostenfunktion und Preisuntergrenzen
Verfolge Kostenkehre, Stückkosten, Betriebsoptimum und Betriebsminimum in einem gemeinsamen Modell.
Produktionsmenge
x=5.0
Gesamtkosten
K(x)=0,1x3−1,2x2+6x+20
Stückkosten
Kostenkehre
K′′(x)=0⇒x=4
Übergang von degressiv zu progressiv
Stückkosten
K(x)=xK(x)
Minimum = Betriebsoptimum
Variable Stückkosten
Kv(x)=xKv(x)
Minimum = Betriebsminimum
Aktuelle Lage
progressiver Kostenverlauf
Betriebsoptimum
xopt≈7.69,Kmin≈5.29
Die minimalen Stückkosten sind die langfristige Preisuntergrenze.
Betriebsminimum
xmin≈6.00,Kv,min≈2.40
Die minimalen variablen Stückkosten sind die kurzfristige Preisuntergrenze.
Merke: Die Kostenkehre betrifft die Form der Gesamtkostenfunktion. Betriebsoptimum und Betriebsminimum entstehen dagegen an den Minima der Stückkostenfunktionen.
Interaktive Visualisierung
Gewinnzone und Cournot-Punkt
Verfolge Erlös, Kosten und Gewinn für dieselbe Absatzmenge.
Absatzmenge
x=4.0
Erlös und Kosten
E(x)=12x−x2,K(x)=2x+16
Gewinnfunktion
G(x)=−x2+10x−16
Gewinngrenzen
G(x)=0⇒xu=2,xo=8
Gewinnmaximum
G′(x)=10−2x=0⇒x=5
Cournot-Punkt
C=(5∣pN(5))=(5∣7)
Erlösmaximum
E′(x)=12−2x=0⇒x=6
Grenzfunktionen
E′(x)=12−2x
K′(x)=2
G′(x)=E′(x)−K′(x)
Deckungsbeitrag
DB(x)=E(x)−Kv(x)=10x−x2
Er deckt zunächst die Fixkosten und darüber hinaus den Gewinn.
Aktuelle Menge
G(4.0)=8.00
Gewinn
Merke: Zwischen den beiden Gewinngrenzen gilt G(x) > 0. Der Cournot-Punkt gehört zur gewinnmaximierenden Menge und liegt auf der Preisfunktion der Nachfrage.
Kosten-, Preis- und Marktmodelle
Kompetenzcode: AN 5.3
Bereich: Analysis
Wirtschaftliche Modelle verbinden mehrere . Dabei bedeutet
x=produzierte, angebotene, nachgefragte oder verkaufte Menge,x≥0.
Welche Bedeutung x genau hat, hängt von der Aufgabe ab. Geldwerte werden zum Beispiel in Euro, Preise in Euro pro Stück und Mengen in Stück angegeben.
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AN 5.3 - Marktmodell aufstellen
Nachfrage, Angebot und charakteristische Marktwerte aus Angaben bestimmen und das Marktgleichgewicht vollständig berechnen.
1
Variablen und Einheiten festlegen
Klären, wofür x und p stehen und in welchen Mengen- beziehungsweise Geldeinheiten gerechnet wird.
2
Nachfragefunktion bestimmen
Die gegebenen Preis-Mengen-Paare als Punkte verwenden und pN(x) mit fallendem Verlauf aufstellen.
3
Angebotsfunktion bestimmen
Aus den Angebotsangaben pA(x) bestimmen und prüfen, ob der Verlauf im betrachteten Modell wirtschaftlich sinnvoll ist.
4
Achsenabschnitte deuten
Höchstpreis mit pN(0), Mindestpreis mit pA(0) und Sättigungsmenge aus pN(x) = 0 bestimmen.
5
Gleichgewichtsmenge berechnen
Die pN(x) = pA(x) lösen und nur wirtschaftlich zulässige Mengen behalten.
6
Gleichgewicht vollständig angeben
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Die Rechnung ist erst vollständig, wenn Funktion, Ergebnis, Einheit und wirtschaftliche Bedeutung zusammenpassen.
1. Das Grundgerüst eines Wirtschaftsmodells
Die wichtigsten Funktionen sind:
Funktion
Bedeutung
Typische Einheit
pN(x)
Preisfunktion der Nachfrage
Euro pro Stück
pA(x)
Preisfunktion des Angebots
Euro pro Stück
K(x)
Gesamtkosten für x Stück
Euro
E(x)
Erlös beim Verkauf von x Stück
Euro
G(x)
Gewinn beim Verkauf von x Stück
Euro
Aus wenigen Grundfunktionen entstehen weitere Größen:
Preis mal MengeE(x)=pN(x)⋅x,Erlo¨s minus KostenG(x)=.
Die folgende Übersicht zeigt, wie die Funktionen zusammenhängen.
2. Nachfrage- und Angebotsfunktion bestimmen
Nachfrage
Die Preisfunktion der Nachfrage pN(x) gibt an, welchen Preis Nachfragende bei einer bestimmten Menge x zu zahlen bereit sind.
In einem einfachen linearen Modell fällt der Preis mit wachsender Menge:
pN(x)=kx+dmitk<0.
Sind zwei Preis-Mengen-Paare gegeben, werden daraus zwei Punkte gebildet. Zum Beispiel:
(0∣12)und(12∣0).
Die ist
k=12−00−12=−1.
Damit lautet die Nachfragefunktion
pN(x)=12−x.
Angebot
Die Preisfunktion des Angebots pA(x) gibt an, zu welchem Preis eine bestimmte Menge angeboten wird.
In einem einfachen linearen Modell steigt der erforderliche Preis mit der Menge:
pA(x)=kx+dmitk>0.
Geht die Angebotsgerade durch (0∣2) und (12∣8), dann gilt
k=12−08−2=21
und damit
pA(x)=21x+2.
Bei pN(x) und pA(x) ist der ein Preis, nicht die Menge.
3. Höchstpreis, Mindestpreis und Sättigungsmenge
Diese drei Werte sind Achsenabschnitte.
Höchstpreis
Der Höchstpreis ist der Nachfragepreis bei Menge null:
pH=pN(0).
Für pN(x)=12−x gilt
pH=pN(0)=12.
Wirtschaftlich bedeutet das: Ab einem Preis von 12 Geldeinheiten wird in diesem Modell nichts mehr nachgefragt.
Mindestpreis
Der Mindestpreis ist der Angebotspreis bei Menge null:
pM=pA(0).
Für pA(x)=21x+2 gilt pM=2. Unter diesem Preis beginnt in diesem vereinfachten Modell kein Angebot.
Sättigungsmenge
Die Sättigungsmenge xS ist die nachgefragte Menge beim Preis null:
pN(xS)=0.
Beim Beispiel:
12−xSxS=0,=12.
Die Sättigungsmenge ist also eine Menge. Höchst- und Mindestpreis sind dagegen Preise.
4. Marktgleichgewicht
Im Marktgleichgewicht stimmen Angebots- und Nachfragepreis überein:
NachfragepreispN(xG)=AngebotspreispA(
Mit den beiden Beispielfunktionen ergibt sich
12−x10xG=21x+2,=23x,=
Der Gleichgewichtspreis folgt durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen:
pG=pN(320)=12−320=316≈5,33.
Der Gleichgewichtspunkt ist
M=(320316).
Die erste Koordinate ist die Gleichgewichtsmenge, die zweite der Gleichgewichtspreis.
5. Was misst die Preiselastizität?
Die Preiselastizität vergleicht relative Änderungen:
ε=relative A¨nderung des Preisesrelative A¨nderung der Nachfragemenge.
Sie beantwortet die Frage:
Um wie viel Prozent ändert sich die nachgefragte Menge ungefähr, wenn sich der Preis um ein Prozent ändert?
Bei einer normalen Nachfrage ist das Vorzeichen negativ: Steigt der Preis, sinkt gewöhnlich die nachgefragte Menge.
Für die Stärke der Reaktion wird meistens der Betrag betrachtet:
Betrag
Bezeichnung
Bedeutung
∣ε∣>1
elastisch
Die Menge reagiert prozentuell stärker als der Preis.
∣ε∣=1
einheitselastisch
Menge und Preis ändern sich prozentuell gleich stark.
0≤∣ε∣<1
unelastisch
Die Menge reagiert prozentuell schwächer als der Preis.
6. Punktelastizität berechnen
Die Punktelastizität beschreibt die Reaktion an einer bestimmten Stelle.
Ist die Nachfrage als Menge in Abhängigkeit vom Preis gegeben,
x=N(p),
dann gilt
ε(p)=A¨nderung der Mengeje PreiseinheitN′(p)⋅macht den Wert relativN(p)
Häufig ist aber die inverse Nachfragefunktion p=pN(x) gegeben. Dann darf nicht einfach pN′(x)⋅x/pN(x) verwendet werden. Wegen
dpdx=dp/dx1
gilt bei pN′(x)=0:
ε(x)=x⋅pN′(x)pN(x).
Beispiel
Für pN(x)=12−x und x=4 gilt
pN(4)=8,pN′(x)=−1.
Also
ε(4)=4⋅(−1)8=−2.
Da ∣ε∣=2>1, ist die Nachfrage an dieser Stelle elastisch. Eine Preissteigerung um ungefähr 1% führt lokal zu einer Abnahme der Nachfrage um ungefähr 2%.
7. Bogenelastizität berechnen
Die Bogenelastizität beschreibt die mittlere Reaktion zwischen zwei Preis-Mengen-Paaren (p1,x1) und (p2,x2).
Mit den Ausgangswerten als Bezugsgrößen gilt:
εB=p1p2−p1x1x2−x1.
Beim Übergang von (p1,x1)=(8,4) zu (p2,x2)=(6,6) ist
x1x2−x1=46−4=0,5
und
p1p2−p1=86−8=−0,25.
Somit
εB=−0,250,5=−2.
Manche Aufgaben verwenden statt der Ausgangswerte die Mittelwerte der beiden Mengen und Preise. Das ist die Mittelwertmethode. Deshalb muss vor der Rechnung geprüft werden, welche Formel die Aufgabe oder Formelsammlung vorgibt.
8. Kostenfunktion und variable Kosten
Die Gesamtkostenfunktion K(x) beschreibt alle Kosten für die Produktionsmenge x.
Die Fixkosten sind
F=K(0).
Sie entstehen auch bei Produktion null, zum Beispiel durch Miete oder Grundgebühren.
Die variablen Kosten sind
Kv(x)=K(x)−F.
Für
K(x)=0,1x3−1,2x2+6x+20
gilt
F=K(0)=20
und
Kv(x)=0,1x3−1,2x2+6x.
9. Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion aus Bedingungen bestimmen
Eine typische ertragsgesetzliche Kostenfunktion wird als kubische Funktion angesetzt:
K(x)=ax3+bx2+cx+dmita>0.
Jede wirtschaftliche Bedingung wird in eine mathematische Gleichung übersetzt.
Angabe
Mathematische Bedingung
Fixkosten F
K(0)=F
Kosten bei Menge x0
K(x0)=K0
Grenzkosten bei x0
K′(x0
Kostenkehre bei xW
K′′(xW
Beispiel
Gegeben sind
K(0)=20,K′(0)=6,K′′(4)=0,K(4)=31,2.
Mit
K′(x)=3ax2+2bx+c,K′′(x)=6ax+2b
entsteht ein Gleichungssystem für a,b,c,d. Seine Lösung ist
a=0,1,b=−1,2,c=6,d=20.
Damit erhält man wieder
K(x)=0,1x3−1,2x2+6x+20.
10. Degressiv, progressiv und Kostenkehre
Bei einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion werden zwei Bereiche unterschieden.
Degressiver Kostenverlauf
K′′(x)<0.
Die Gesamtkosten steigen, aber ihre Steigung wird kleiner. Die Grenzkosten K′(x) sinken.
Progressiver Kostenverlauf
K′′(x)>0.
Die Gesamtkosten steigen mit zunehmender Steigung. Die Grenzkosten K′(x) wachsen.
Kostenkehre
Die Kostenkehre ist der Wendepunkt der Kostenfunktion. Ihre Mengenkoordinate wird mit
K′′(xW)=0
bestimmt. Zusätzlich muss ein Vorzeichenwechsel von K′′ oder ein anderes geeignetes Wendekriterium geprüft werden.
Beim Beispiel:
K′′(x)0xW=0,6x−2,4,=0,6x−2,4,=4.
Der Kostenwert ist K(4)=31,2. Vor x=4 ist der Verlauf degressiv, danach progressiv.
Die Kostenkehre ist nicht das Betriebsoptimum. Sie betrifft die Krümmung der Gesamtkosten.
11. Stückkosten und Betriebsoptimum
Die Stückkosten sind die durchschnittlichen Gesamtkosten pro Stück:
K(x)=xK(x),x>0.
Das Betriebsoptimum xopt ist die Menge mit den kleinsten Stückkosten:
K′(xopt)=0
mit anschließendem Minimumnachweis.
Die langfristige Preisuntergrenze ist der minimale Stückkostenwert:
plang=K(xopt).
Beim Beispiel liegt das Betriebsoptimum näherungsweise bei
xopt≈7,69
und die langfristige Preisuntergrenze bei
K(7,69)≈5,29.
Langfristig muss der Preis mindestens alle Kosten einschließlich der Fixkosten decken.
12. Variable Stückkosten und Betriebsminimum
Die variablen Stückkosten sind
Kv(x)=xKv(x),x>0.
Das Betriebsminimum xmin ist die Menge mit den kleinsten variablen Stückkosten:
Kv′(xmin)=0
mit Minimumnachweis.
Die kurzfristige Preisuntergrenze lautet
pkurz=Kv(xmin).
Im Beispiel ist
Kv(x)=0,1x2−1,2x+6.
Daraus folgt
Kv′(x)=0,2x−1,2=0⇒xmin=6.
Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt
Kv(6)=2,4.
Kennzahl
Zu minimierende Funktion
Preisuntergrenze
Betriebsoptimum
K(x)
langfristig: minK
Betriebsminimum
Kv(x)
kurzfristig: min
13. Erlös- und Gewinnfunktion
Der Erlös ist Preis mal verkaufte Menge:
E(x)=pN(x)⋅x.
Für pN(x)=12−x ergibt sich
E(x)=(12−x)x=12x−x2.
Der Gewinn ist Erlös minus Gesamtkosten:
G(x)=E(x)−K(x).
Im einfachen Explorer-Beispiel gilt
E(x)=12x−x2,K(x)=2x+16.
Somit ist
G(x)=12x−x2−(2x+16)=−x2+10x−16.
Positive Werte von G bedeuten Gewinn, negative Werte Verlust.
14. Gewinngrenzen und Gewinnzone
An einer Gewinngrenze ist der Gewinn null:
G(x)=0.
Gleichwertig gilt dort
E(x)=K(x).
Für
G(x)=−x2+10x−16
erhält man
G(x)=0⇒xu=2,xo=8.
xu ist die untere Gewinngrenze oder Gewinnschwelle. xo ist die obere Gewinngrenze.
Die Gewinnzone ist der Bereich, in dem
G(x)>0.
Im Beispiel gilt daher
2<x<8.
Die Formelsammlung schreibt den gesamten Gewinnbereich einschließlich der beiden Break-even-Stellen als [xu;xo]. Streng positiver Gewinn liegt nur im Inneren vor:
xu<x<xo.
Bei x=xu und x=xo ist der Gewinn genau null.
15. Erlösmaximum, Gewinnmaximum und Cournot-Punkt
Erlösmaximum
Das Erlösmaximum wird aus der Erlösfunktion bestimmt:
E′(x)=0
mit Maximumnachweis und Beachtung des zulässigen Bereichs.
Im Beispiel:
E′(x)=12−2x=0⇒xE=6.
Der maximale Erlös beträgt
E(6)=36.
Gewinnmaximum
Das Gewinnmaximum wird aus der Gewinnfunktion bestimmt:
G′(x)=0.
Beim Beispiel:
G′(x)=10−2x=0⇒xC=5.
Wegen G′′(x)=−2<0 liegt ein Maximum vor. Der maximale Gewinn ist
G(5)=9.
Cournot-Punkt
Der Cournot-Punkt liegt auf der Nachfragefunktion und gehört zur gewinnmaximierenden Menge:
C=(xC∣pN(xC)).
Hier gilt
pN(5)=12−5=7
und damit
C=(5∣7).
Der Cournot-Punkt enthält Menge und Preis. Er ist nicht der Punkt (xC∣G(xC)) auf dem Gewinngraphen.
16. Deckungsbeitrag
Der gesamte Deckungsbeitrag ist
DB(x)=E(x)−Kv(x).
Er zeigt, welcher Betrag nach Abzug der variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten und anschließend für den Gewinn übrig bleibt.
Da K(x)=Kv(x)+F, gilt
E(x)−Kv(x)DB(x)=E(x)−K(x)G(x)F.
Im einfachen Beispiel ist Kv(x)=2x. Somit:
DB(x)=12x−x2−2x=10x−x2.
Ein positiver Deckungsbeitrag allein bedeutet noch nicht zwingend Gewinn. Zuerst müssen die Fixkosten gedeckt werden.
Sie beschreiben die momentane Änderung der jeweiligen Gesamtgröße bei einer kleinen Mengenerhöhung.
Aus
G(x)=E(x)−K(x)
folgt
G′(x)=E′(x)−K′(x).
An einer inneren gewinnmaximierenden Stelle gilt
G′(xC)=0⟺E′(xC)=K′(xC).
Das bedeutet: Beim Gewinnmaximum stimmen Grenzerlös und Grenzkosten überein.
Eine Ableitung liefert eine näherungsweise Änderung pro zusätzlicher Mengeneinheit. Für eine genaue Änderung von x auf x+1 muss die Differenz, zum Beispiel K(x+1)−K(x), berechnet werden.
18. Ein vollständiger Arbeitsplan
Marktmodell
Variablen und Einheiten festlegen.
Nachfrage- und Angebotsfunktion aus den Angaben bestimmen.
Höchstpreis, Mindestpreis und Sättigungsmenge berechnen.
pN(x)=pA(x) lösen.
Gleichgewichtspreis einsetzen und beide Koordinaten deuten.
Kostenmodell
Fixkosten mit K(0) bestimmen.
Variable Kosten Kv(x)=K(x)−K(0) bilden.
Kostenkehre mit K′′(x)=0 und Vorzeichenwechsel untersuchen.
Stückkosten und variable Stückkosten aufstellen.
Ihre Minima und die zugehörigen Preisuntergrenzen bestimmen.
Erlös- und Gewinnmodell
E(x)=pN(x)x bilden.
G(x)=E(x)−K(x) bilden.
Gewinngrenzen aus G(x)=0 bestimmen.
Gewinnzone mit einem Vorzeichentest festlegen.
Erlös- und Gewinnmaximum getrennt berechnen.
Für den Cournot-Punkt pN(xC) bestimmen.
19. Technologie sinnvoll verwenden
GeoGebra oder ein CAS kann
Funktionen zeichnen und Schnittpunkte anzeigen,
Gleichungssysteme lösen,
Ableitungen bilden,
Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte bestimmen,
Werte numerisch berechnen.
Trotzdem müssen Modell und Deutung selbst festgelegt werden. Ein guter Ablauf ist:
Funktionen mit klaren Namen eingeben.
Den wirtschaftlich zulässigen Bereich x≥0 beachten.
Ergebnis rechnerisch oder durch Einsetzen kontrollieren.
Koordinaten und Funktionswerte den richtigen Größen zuordnen.
Mit Einheit und wirtschaftlichem Satz antworten.
20. Typische Fehler
Preis und Menge vertauschen
Bei pN(x) wird eine Menge eingesetzt und ein Preis erhalten.
Sättigungsmenge falsch bestimmen
Für die Sättigungsmenge wird pN(x)=0 gelöst. Sie ist nicht pN(0).
Beim Marktgleichgewicht nur x angeben
Gefragt sind Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis.
Bei der inversen Nachfrage falsch ableiten
Für die Punktelastizität einer gegebenen Funktion pN(x) gilt
ε(x)=xpN′(x)pN(x).
Gesamtkosten und variable Kosten verwechseln
Fixkosten sind in K(x), aber nicht in Kv(x) enthalten.
Kostenkehre und Betriebsoptimum verwechseln
Die Kostenkehre ist ein Wendepunkt von K. Das Betriebsoptimum ist ein Minimum von K.
Gewinn- und Erlösmaximum gleichsetzen
Das Erlösmaximum berücksichtigt die Kosten nicht. Deshalb liegen beide Maxima im Allgemeinen bei verschiedenen Mengen.
Cournot-Punkt auf dem Gewinngraphen suchen
Der Cournot-Punkt liegt auf pN und verwendet die gewinnmaximierende Menge.
Ableitung als exakte Mehrkosten eines Stücks ausgeben
K′(x) ist eine lokale Näherung. Die exakte Änderung lautet K(x+1)−K(x).
Merksätze
Nachfrage und Angebot liefern Preise zu Mengen.
Im Marktgleichgewicht gilt pN(x)=pA(x).
Elastizität vergleicht relative Mengen- und Preisänderungen.
Fixkosten sind K(0), variable Kosten sind K(x)−K(0).
Kostenkehre, Betriebsoptimum und Betriebsminimum sind drei verschiedene Stellen.
Erlös ist Preis mal Menge; Gewinn ist Erlös minus Kosten.
Zwischen den Gewinngrenzen liegt die Gewinnzone, wenn G(x)>0.
Der Cournot-Punkt gehört zur gewinnmaximierenden Menge und liegt auf pN.
Grenzfunktionen sind Ableitungen der zugehörigen Gesamtfunktionen.
Die Menge in eine Preisfunktion einsetzen und Gleichgewichtsmenge sowie Gleichgewichtspreis mit Einheiten deuten.
AN 5.3 - Preiselastizität bestimmen
Punkt- oder Bogenelastizität mit der zur Darstellungsform passenden Formel berechnen und über Betrag sowie Vorzeichen deuten.
1
Darstellungsform erkennen
Feststellen, ob die Menge x als des Preises p oder der Preis p als Funktion der Menge x gegeben ist.
2
Elastizitätsart wählen
Für eine einzelne Stelle die Punktelastizität und für zwei Preis-Mengen-Paare die Bogenelastizität verwenden.
3
Benötigte Werte berechnen
, Ableitungswert oder relative Änderungen mit korrekten Ausgangswerten bestimmen.
4
Passende Formel einsetzen
Bei inverser Nachfrage pN(x) den Ausdruck pN(x) geteilt durch x mal pN'(x) verwenden und Klammern im Nenner beachten.
5
Betrag klassifizieren
Anhand von |Epsilon| kleiner, gleich oder größer eins zwischen unelastischer, einheitselastischer und elastischer Nachfrage unterscheiden.
6
Prozentuell deuten
In einem Satz erklären, wie stark sich die Nachfragemenge ungefähr ändert, wenn sich der Preis um ein Prozent ändert.
AN 5.3 - Kostenfunktion untersuchen
Fixe und Kosten trennen, eine kubische Kostenfunktion aus Bedingungen bestimmen und Kostenkehre sowie Kostenverlauf deuten.
1
Kostenansatz wählen
Für eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion den kubischen Ansatz K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d notieren.
2
Bedingungen übersetzen
Fixkosten, Kostenwerte, Grenzkosten und Kostenkehre einzeln als Bedingungen an K, K' oder K'' formulieren.
3
Parameter bestimmen
Das entstandene Gleichungssystem lösen und die in den Funktionsansatz einsetzen.
4
Fixe und variable Kosten trennen
F = K(0) berechnen und mit Kv(x) = K(x) - F die Kosten bilden.
5
Kostenkehre bestimmen
K''(x) = 0 lösen und den notwendigen Vorzeichenwechsel oder ein anderes Wendekriterium kontrollieren.
6
Kostenverlauf deuten
Bereiche mit K''(x) < 0 als degressiv und mit K''(x) > 0 als progressiv beschreiben.
AN 5.3 - Preisuntergrenzen berechnen
Stückkosten und Stückkosten aufstellen, ihre Minima bestimmen und langfristige sowie kurzfristige Preisuntergrenze deuten.
1
Stückkosten aufstellen
Für x > 0 die Gesamtkosten durch die Menge teilen und K quer(x) = K(x) / x vereinfachen.
2
Betriebsoptimum bestimmen
Das Minimum der Stückkostenfunktion mit und geeignetem Minimumnachweis berechnen.
3
Langfristige Preisuntergrenze angeben
Den minimalen Stückkostenwert am Betriebsoptimum mit einer Preiseinheit berechnen und deuten.
4
Variable Stückkosten aufstellen
Für x > 0 die Kosten durch die Menge teilen und Kv quer(x) = Kv(x) / x vereinfachen.
5
Betriebsminimum bestimmen
Das Minimum der Stückkostenfunktion berechnen und nachweisen.
6
Kurzfristige Preisuntergrenze angeben
Den minimalen Stückkostenwert am Betriebsminimum berechnen und von der langfristigen Grenze unterscheiden.
AN 5.3 - Erlös und Gewinn analysieren
Erlös, Gewinn, Gewinngrenzen, Gewinnzone, Maxima, Cournot-Punkt und Deckungsbeitrag in einem gemeinsamen Modell berechnen.
1
Erlösfunktion bilden
Nachfragepreis und verkaufte Menge mit E(x) = pN(x) mal x verknüpfen und den vereinfachen.
2
Gewinnfunktion bilden
Mit G(x) = E(x) - K(x) die gesamten Kosten einschließlich Fixkosten vom Erlös abziehen.
3
Gewinngrenzen und Zone bestimmen
G(x) = 0 lösen, die zulässigen ordnen und den Bereich mit G(x) > 0 durch Vorzeichentest festlegen.
4
Erlös und Gewinn maximieren
E und G getrennt untersuchen, da Erlösmaximum und Gewinnmaximum im Allgemeinen bei verschiedenen Mengen liegen.
5
Cournot-Punkt bilden
Die gewinnmaximierende Menge xC in pN einsetzen und C = (xC | pN(xC)) mit Preis und Menge deuten.
6
Deckungsbeitrag berechnen
Mit DB(x) = E(x) - Kv(x) den Beitrag zur Deckung der Fixkosten und danach zum Gewinn bestimmen.
AN 5.3 - Wirtschaftsmodell deuten und kontrollieren
Grenzfunktionen richtig interpretieren, Ergebnisse auf Zulässigkeit prüfen und jede wirtschaftliche Aussage mit Größe, Einheit und Kontext formulieren.
1
Grenzfunktionen bilden
Kosten, Erlös und Gewinn ableiten und K', E' sowie G' den richtigen Gesamtfunktionen zuordnen.
2
Grenzwerte wirtschaftlich lesen
Den Ableitungswert als momentane Änderung pro zusätzlicher Mengeneinheit mit geeigneter Einheit erklären.
3
Maximum kontrollieren
Beim Gewinnmaximum prüfen, ob G' = 0 beziehungsweise Grenzerlös und Grenzkosten übereinstimmen und ein Maximum vorliegt.
4
Zulässigen Bereich prüfen
Nur nichtnegative und im Modell mögliche Mengen sowie gegebenenfalls Kapazitäts- oder Sättigungsgrenzen berücksichtigen.
5
Ergebnis durch Einsetzen prüfen
Berechnete Mengen in die Ausgangsfunktionen einsetzen und , Vorzeichen sowie kontrollieren.
6
Wirtschaftlichen Satz formulieren
Größe, Zahlenwert, Einheit und Bedeutung nennen und bei Modellwerten keine unbegründete Genauigkeit behaupten.
