Kosten-, Preis- und Marktmodelle

Kompetenzcode: AN 5.3

Bereich: Analysis

Wirtschaftliche Modelle verbinden mehrere Funktionen. Dabei bedeutet

$$x=\text{produzierte, angebotene, nachgefragte oder verkaufte Menge}, \qquad x\ge 0.$$

Welche Bedeutung $x$ genau hat, hängt von der Aufgabe ab. Geldwerte werden zum Beispiel in Euro, Preise in Euro pro Stück und Mengen in Stück angegeben.

Die Rechnung ist erst vollständig, wenn Funktion, Ergebnis, Einheit und wirtschaftliche Bedeutung zusammenpassen.

1. Das Grundgerüst eines Wirtschaftsmodells

Die wichtigsten Funktionen sind:

Aus wenigen Grundfunktionen entstehen weitere Größen:

$$\underbrace{E(x)=p_N(x)\cdot x}_{\text{Preis mal Menge}}, \qquad \underbrace{G(x)=E(x)-K(x)}_{\text{Erlös minus Kosten}}.$$

Die folgende Übersicht zeigt, wie die Funktionen zusammenhängen.

2. Nachfrage- und Angebotsfunktion bestimmen

Nachfrage

Die Preisfunktion der Nachfrage $p_N(x)$ gibt an, welchen Preis Nachfragende bei einer bestimmten Menge $x$ zu zahlen bereit sind.

In einem einfachen linearen Modell fällt der Preis mit wachsender Menge:

$$p_N(x)=kx+d \qquad\text{mit}\qquad k<0.$$

Sind zwei Preis-Mengen-Paare gegeben, werden daraus zwei Punkte gebildet. Zum Beispiel:

$$(0\mid12) \qquad\text{und}\qquad (12\mid0).$$

Die Steigung ist

$$k=\frac{0-12}{12-0}=-1.$$

Damit lautet die Nachfragefunktion

$$p_N(x)=12-x.$$

Angebot

Die Preisfunktion des Angebots $p_A(x)$ gibt an, zu welchem Preis eine bestimmte Menge angeboten wird.

In einem einfachen linearen Modell steigt der erforderliche Preis mit der Menge:

$$p_A(x)=kx+d \qquad\text{mit}\qquad k>0.$$

Geht die Angebotsgerade durch $(0\mid2)$ und $(12\mid8)$, dann gilt

$$k=\frac{8-2}{12-0}=\frac12$$

und damit

$$p_A(x)=\frac12x+2.$$

Bei $p_N(x)$ und $p_A(x)$ ist der Funktionswert ein Preis, nicht die Menge.

3. Höchstpreis, Mindestpreis und Sättigungsmenge

Diese drei Werte sind Achsenabschnitte.

Höchstpreis

Der Höchstpreis ist der Nachfragepreis bei Menge null:

$$p_H=p_N(0).$$

Für $p_N(x)=12-x$ gilt

$$p_H=p_N(0)=12.$$

Wirtschaftlich bedeutet das: Ab einem Preis von $12$ Geldeinheiten wird in diesem Modell nichts mehr nachgefragt.

Mindestpreis

Der Mindestpreis ist der Angebotspreis bei Menge null:

$$p_M=p_A(0).$$

Für $p_A(x)=\frac12x+2$ gilt . Unter diesem Preis beginnt in diesem vereinfachten Modell kein Angebot.

Sättigungsmenge

Die Sättigungsmenge $x_S$ ist die nachgefragte Menge beim Preis null:

$$p_N(x_S)=0.$$

Beim Beispiel:

$$\begin{aligned} 12-x_S&=0,\\ x_S&=12. \end{aligned}$$

Die Sättigungsmenge ist also eine Menge. Höchst- und Mindestpreis sind dagegen Preise.

4. Marktgleichgewicht

Im Marktgleichgewicht stimmen Angebots- und Nachfragepreis überein:

$$\underbrace{p_N(x_G)}_{\text{Nachfragepreis}} = \underbrace{p_A(x_G)}_{\text{Angebotspreis}}.$$

Mit den beiden Beispielfunktionen ergibt sich

$$\begin{aligned} 12-x&=\frac12x+2,\\ 10&=\frac32x,\\ x_G&=\frac{20}{3}\approx6{,}67. \end{aligned}$$

Der Gleichgewichtspreis folgt durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen:

$$p_G=p_N\!\left(\frac{20}{3}\right) =12-\frac{20}{3} =\frac{16}{3} \approx5{,}33.$$

Der Gleichgewichtspunkt ist

$$M=\left(\frac{20}{3}\,\middle|\,\frac{16}{3}\right).$$

Die erste Koordinate ist die Gleichgewichtsmenge, die zweite der Gleichgewichtspreis.

5. Was misst die Preiselastizität?

Die Preiselastizität vergleicht relative Änderungen:

$$\varepsilon = \frac{\text{relative Änderung der Nachfragemenge}} {\text{relative Änderung des Preises}}.$$

Sie beantwortet die Frage:

Um wie viel Prozent ändert sich die nachgefragte Menge ungefähr, wenn sich der Preis um ein Prozent ändert?

Bei einer normalen Nachfrage ist das Vorzeichen negativ: Steigt der Preis, sinkt gewöhnlich die nachgefragte Menge.

Für die Stärke der Reaktion wird meistens der Betrag betrachtet:

6. Punktelastizität berechnen

Die Punktelastizität beschreibt die Reaktion an einer bestimmten Stelle.

Ist die Nachfrage als Menge in Abhängigkeit vom Preis gegeben,

$$x=N(p),$$

dann gilt

$$\varepsilon(p) = \underbrace{N'(p)}_{\substack{\text{Änderung der Menge}\\\text{je Preiseinheit}}} \cdot \underbrace{\frac{p}{N(p)}}_{\text{macht den Wert relativ}}.$$

Häufig ist aber die inverse Nachfragefunktion $p=p_N(x)$ gegeben. Dann darf nicht einfach $p_N'(x)\cdot x/p_N(x)$ verwendet werden. Wegen

$$\frac{dx}{dp}=\frac{1}{dp/dx}$$

gilt bei $p_N'(x)\ne0$:

$$\boxed{ \varepsilon(x) = \frac{p_N(x)}{x\cdot p_N'(x)} }.$$

Beispiel

Für $p_N(x)=12-x$ und $x=4$ gilt

$$p_N(4)=8, \qquad p_N'(x)=-1.$$

Also

$$\varepsilon(4) = \frac{8}{4\cdot(-1)} =-2.$$

Da $|\varepsilon|=2>1$, ist die Nachfrage an dieser Stelle elastisch. Eine Preissteigerung um ungefähr $1\,\%$ führt lokal zu einer Abnahme der Nachfrage um ungefähr $2\,\%$.

7. Bogenelastizität berechnen

Die Bogenelastizität beschreibt die mittlere Reaktion zwischen zwei Preis-Mengen-Paaren $(p_1,x_1)$ und $(p_2,x_2)$.

Mit den Ausgangswerten als Bezugsgrößen gilt:

$$\varepsilon_B = \frac{\dfrac{x_2-x_1}{x_1}} {\dfrac{p_2-p_1}{p_1}}.$$

Beim Übergang von $(p_1,x_1)=(8,4)$ zu $(p_2,x_2$ ist

$$\frac{x_2-x_1}{x_1} =\frac{6-4}{4} =0{,}5$$

und

$$\frac{p_2-p_1}{p_1} =\frac{6-8}{8} =-0{,}25.$$

Somit

$$\varepsilon_B =\frac{0{,}5}{-0{,}25} =-2.$$

Manche Aufgaben verwenden statt der Ausgangswerte die Mittelwerte der beiden Mengen und Preise. Das ist die Mittelwertmethode. Deshalb muss vor der Rechnung geprüft werden, welche Formel die Aufgabe oder Formelsammlung vorgibt.

8. Kostenfunktion und variable Kosten

Die Gesamtkostenfunktion $K(x)$ beschreibt alle Kosten für die Produktionsmenge $x$.

Die Fixkosten sind

$$F=K(0).$$

Sie entstehen auch bei Produktion null, zum Beispiel durch Miete oder Grundgebühren.

Die variablen Kosten sind

$$K_v(x)=K(x)-F.$$

Für

$$K(x)=0{,}1x^3-1{,}2x^2+6x+20$$

gilt

$$F=K(0)=20$$

und

$$K_v(x)=0{,}1x^3-1{,}2x^2+6x.$$

9. Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion aus Bedingungen bestimmen

Eine typische ertragsgesetzliche Kostenfunktion wird als kubische Funktion angesetzt:

$$K(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad\text{mit}\qquad a>0.$$

Jede wirtschaftliche Bedingung wird in eine mathematische Gleichung übersetzt.

Beispiel

Gegeben sind

$$K(0)=20, \qquad K'(0)=6, \qquad K''(4)=0, \qquad K(4)=31{,}2.$$

Mit

$$K'(x)=3ax^2+2bx+c, \qquad K''(x)=6ax+2b$$

entsteht ein Gleichungssystem für $a,b,c,d$. Seine Lösung ist

$$a=0{,}1, \qquad b=-1{,}2, \qquad c=6, \qquad d=20.$$

Damit erhält man wieder

$$K(x)=0{,}1x^3-1{,}2x^2+6x+20.$$

10. Degressiv, progressiv und Kostenkehre

Bei einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion werden zwei Bereiche unterschieden.

Degressiver Kostenverlauf

$$K''(x)<0.$$

Die Gesamtkosten steigen, aber ihre Steigung wird kleiner. Die Grenzkosten $K'(x)$ sinken.

Progressiver Kostenverlauf

$$K''(x)>0.$$

Die Gesamtkosten steigen mit zunehmender Steigung. Die Grenzkosten $K'(x)$ wachsen.

Kostenkehre

Die Kostenkehre ist der Wendepunkt der Kostenfunktion. Ihre Mengenkoordinate wird mit

$$K''(x_W)=0$$

bestimmt. Zusätzlich muss ein Vorzeichenwechsel von $K''$ oder ein anderes geeignetes Wendekriterium geprüft werden.

Beim Beispiel:

$$\begin{aligned} K''(x)&=0{,}6x-2{,}4,\\ 0&=0{,}6x-2{,}4,\\ x_W&=4. \end{aligned}$$

Der Kostenwert ist $K(4)=31{,}2$. Vor $x=4$ ist der Verlauf degressiv, danach progressiv.

Die Kostenkehre ist nicht das Betriebsoptimum. Sie betrifft die Krümmung der Gesamtkosten.

11. Stückkosten und Betriebsoptimum

Die Stückkosten sind die durchschnittlichen Gesamtkosten pro Stück:

$$\overline K(x)=\frac{K(x)}{x}, \qquad x>0.$$

Das Betriebsoptimum $x_{\mathrm{opt}}$ ist die Menge mit den kleinsten Stückkosten:

$$\overline K'(x_{\mathrm{opt}})=0$$

mit anschließendem Minimumnachweis.

Die langfristige Preisuntergrenze ist der minimale Stückkostenwert:

$$p_{\mathrm{lang}} = \overline K(x_{\mathrm{opt}}).$$

Beim Beispiel liegt das Betriebsoptimum näherungsweise bei

$$x_{\mathrm{opt}}\approx7{,}69$$

und die langfristige Preisuntergrenze bei

$$\overline K(7{,}69)\approx5{,}29.$$

Langfristig muss der Preis mindestens alle Kosten einschließlich der Fixkosten decken.

12. Variable Stückkosten und Betriebsminimum

Die variablen Stückkosten sind

$$\overline K_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}, \qquad x>0.$$

Das Betriebsminimum $x_{\min}$ ist die Menge mit den kleinsten variablen Stückkosten:

$$\overline K_v'(x_{\min})=0$$

mit Minimumnachweis.

Die kurzfristige Preisuntergrenze lautet

$$p_{\mathrm{kurz}} = \overline K_v(x_{\min}).$$

Im Beispiel ist

$$\overline K_v(x)=0{,}1x^2-1{,}2x+6.$$

Daraus folgt

$$\overline K_v'(x)=0{,}2x-1{,}2=0 \quad\Rightarrow\quad x_{\min}=6.$$

Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt

$$\overline K_v(6)=2{,}4.$$

13. Erlös- und Gewinnfunktion

Der Erlös ist Preis mal verkaufte Menge:

$$E(x)=p_N(x)\cdot x.$$

Für $p_N(x)=12-x$ ergibt sich

$$E(x)=(12-x)x=12x-x^2.$$

Der Gewinn ist Erlös minus Gesamtkosten:

$$G(x)=E(x)-K(x).$$

Im einfachen Explorer-Beispiel gilt

$$E(x)=12x-x^2, \qquad K(x)=2x+16.$$

Somit ist

$$G(x)=12x-x^2-(2x+16) =-x^2+10x-16.$$

Positive Werte von $G$ bedeuten Gewinn, negative Werte Verlust.

14. Gewinngrenzen und Gewinnzone

An einer Gewinngrenze ist der Gewinn null:

$$G(x)=0.$$

Gleichwertig gilt dort

$$E(x)=K(x).$$

Für

$$G(x)=-x^2+10x-16$$

erhält man

$$G(x)=0 \quad\Rightarrow\quad x_u=2, \qquad x_o=8.$$

$x_u$ ist die untere Gewinngrenze oder Gewinnschwelle. $x_o$ ist die obere Gewinngrenze.

Die Gewinnzone ist der Bereich, in dem

$$G(x)>0.$$

Im Beispiel gilt daher

$$2<x<8.$$

Die Formelsammlung schreibt den gesamten Gewinnbereich einschließlich der beiden Break-even-Stellen als $[x_u;x_o]$. Streng positiver Gewinn liegt nur im Inneren vor:

$$x_u<x<x_o.$$

Bei $x=x_u$ und $x=x_o$ ist der Gewinn genau null.

15. Erlösmaximum, Gewinnmaximum und Cournot-Punkt

Erlösmaximum

Das Erlösmaximum wird aus der Erlösfunktion bestimmt:

$$E'(x)=0$$

mit Maximumnachweis und Beachtung des zulässigen Bereichs.

Im Beispiel:

$$E'(x)=12-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x_E=6.$$

Der maximale Erlös beträgt

$$E(6)=36.$$

Gewinnmaximum

Das Gewinnmaximum wird aus der Gewinnfunktion bestimmt:

$$G'(x)=0.$$

Beim Beispiel:

$$G'(x)=10-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x_C=5.$$

Wegen $G''(x)=-2<0$ liegt ein Maximum vor. Der maximale Gewinn ist

$$G(5)=9.$$

Cournot-Punkt

Der Cournot-Punkt liegt auf der Nachfragefunktion und gehört zur gewinnmaximierenden Menge:

$$C=\bigl(x_C\mid p_N(x_C)\bigr).$$

Hier gilt

$$p_N(5)=12-5=7$$

und damit

$$C=(5\mid7).$$

Der Cournot-Punkt enthält Menge und Preis. Er ist nicht der Punkt $(x_C\mid G(x_C))$ auf dem Gewinngraphen.

16. Deckungsbeitrag

Der gesamte Deckungsbeitrag ist

$$DB(x)=E(x)-K_v(x).$$

Er zeigt, welcher Betrag nach Abzug der variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten und anschließend für den Gewinn übrig bleibt.

Da $K(x)=K_v(x)+F$, gilt

$$\underbrace{DB(x)}_{E(x)-K_v(x)} = \underbrace{G(x)}_{E(x)-K(x)}+F.$$

Im einfachen Beispiel ist $K_v(x)=2x$. Somit:

$$DB(x)=12x-x^2-2x=10x-x^2.$$

Ein positiver Deckungsbeitrag allein bedeutet noch nicht zwingend Gewinn. Zuerst müssen die Fixkosten gedeckt werden.

17. Grenzkosten, Grenzerlös und Grenzgewinn

Grenzfunktionen sind Ableitungen:

$$\underbrace{K'(x)}_{\text{Grenzkosten}}, \qquad \underbrace{E'(x)}_{\text{Grenzerlös}}, \qquad \underbrace{G'(x)}_{\text{Grenzgewinn}}.$$

Sie beschreiben die momentane Änderung der jeweiligen Gesamtgröße bei einer kleinen Mengenerhöhung.

Aus

$$G(x)=E(x)-K(x)$$

folgt

$$G'(x)=E'(x)-K'(x).$$

An einer inneren gewinnmaximierenden Stelle gilt

$$G'(x_C)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad E'(x_C)=K'(x_C).$$

Das bedeutet: Beim Gewinnmaximum stimmen Grenzerlös und Grenzkosten überein.

Eine Ableitung liefert eine näherungsweise Änderung pro zusätzlicher Mengeneinheit. Für eine genaue Änderung von $x$ auf $x+1$ muss die Differenz, zum Beispiel $K(x+1)-K(x)$, berechnet werden.

18. Ein vollständiger Arbeitsplan

Marktmodell

1. Variablen und Einheiten festlegen.
2. Nachfrage- und Angebotsfunktion aus den Angaben bestimmen.
3. Höchstpreis, Mindestpreis und Sättigungsmenge berechnen.
4. $p_N(x)=p_A(x)$ lösen.
5. Gleichgewichtspreis einsetzen und beide Koordinaten deuten.

Kostenmodell

1. Fixkosten mit $K(0)$ bestimmen.
2. Variable Kosten $K_v(x)=K(x)-K(0)$ bilden.

Erlös- und Gewinnmodell

1. $E(x)=p_N(x)x$ bilden.
2. $G(x)=E(x)-K(x)$ bilden.

19. Technologie sinnvoll verwenden

GeoGebra oder ein CAS kann

• Funktionen zeichnen und Schnittpunkte anzeigen,
• Gleichungssysteme lösen,
• Ableitungen bilden,
• Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte bestimmen,
• Werte numerisch berechnen.

Trotzdem müssen Modell und Deutung selbst festgelegt werden. Ein guter Ablauf ist:

1. Funktionen mit klaren Namen eingeben.
2. Den wirtschaftlich zulässigen Bereich $x\ge0$ beachten.
3. Ergebnis rechnerisch oder durch Einsetzen kontrollieren.
4. Koordinaten und Funktionswerte den richtigen Größen zuordnen.
5. Mit Einheit und wirtschaftlichem Satz antworten.

20. Typische Fehler

Preis und Menge vertauschen

Bei $p_N(x)$ wird eine Menge eingesetzt und ein Preis erhalten.

Sättigungsmenge falsch bestimmen

Für die Sättigungsmenge wird $p_N(x)=0$ gelöst. Sie ist nicht $p_N(0)$.

Beim Marktgleichgewicht nur $x$ angeben

Gefragt sind Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis.

Bei der inversen Nachfrage falsch ableiten

Für die Punktelastizität einer gegebenen Funktion $p_N(x)$ gilt

$$\varepsilon(x)=\frac{p_N(x)}{x p_N'(x)}.$$

Gesamtkosten und variable Kosten verwechseln

Fixkosten sind in $K(x)$, aber nicht in $K_v(x)$ enthalten.

Kostenkehre und Betriebsoptimum verwechseln

Die Kostenkehre ist ein Wendepunkt von $K$. Das Betriebsoptimum ist ein Minimum von $\overline K$.

Gewinn- und Erlösmaximum gleichsetzen

Das Erlösmaximum berücksichtigt die Kosten nicht. Deshalb liegen beide Maxima im Allgemeinen bei verschiedenen Mengen.

Cournot-Punkt auf dem Gewinngraphen suchen

Der Cournot-Punkt liegt auf $p_N$ und verwendet die gewinnmaximierende Menge.

Ableitung als exakte Mehrkosten eines Stücks ausgeben

$K'(x)$ ist eine lokale Näherung. Die exakte Änderung lautet $K(x+1)-K(x)$.

Merksätze

• Nachfrage und Angebot liefern Preise zu Mengen.
• Im Marktgleichgewicht gilt $p_N(x)=p_A(x)$.
• Elastizität vergleicht relative Mengen- und Preisänderungen.
• Fixkosten sind $K(0)$, variable Kosten sind .