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Winkel und Winkelbeziehungen | LerncoachMG 4.4
Winkel und Winkelbeziehungen
Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
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Mathematische Grundlagen8 Schrittlistenonline lernen
Zwei Parallelen und eine schneidende Gerade
Die farbigen Flächen zeigen genau die Winkel, die gerade verglichen werden.
Scheitelwinkel
gegenüber
Gegenüberliegende Winkel an einem Schnittpunkt sind gleich groß.
55° = 55°
Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Winkel und Winkelbeziehungen
Kompetenzcode: MG 4.4
Winkel begegnen dir überall: an Ecken, beim Drehen, in Dreiecken, bei Straßenkreuzungen oder bei parallelen Geraden.
In diesem Kapitel lernst du,
- Winkelarten zu unterscheiden,
- Winkel zu messen,
- Winkel zu zeichnen,
- Nebenwinkel und Scheitelwinkel zu berechnen,
- Winkel an parallelen Geraden zu bestimmen,
- die Winkelsumme im Dreieck und im Viereck anzuwenden.
1. Was ist ein Winkel?
Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen denselben Anfangspunkt haben.
Dieser gemeinsame Punkt heißt .
Die beiden Strahlen heißen Schenkel.
Die Größe eines Winkels wird meist in Grad angegeben:
∘
Zum Beispiel:
MG 4.4 - Winkelarten unterscheiden
Spitze, rechte, stumpfe, gestreckte, überstumpfe Winkel und Vollwinkel anhand ihrer Größe unterscheiden.
- 1
Spitze Winkel erkennen
Winkel zwischen 0° und 90° als spitz einordnen.
- 2
Rechte Winkel erkennen
90° als rechten Winkel erkennen.
- 3
Stumpfe Winkel erkennen
Winkel zwischen 90° und 180° als stumpf einordnen.
- 4
Gestreckte Winkel erkennen
180° als gestreckten Winkel erkennen.
- 5
Überstumpfe Winkel erkennen
Winkel zwischen 180° und 360° als überstumpf einordnen.
- 6
Vollwinkel erkennen
360° als vollständige Drehung deuten.
MG 4.4 - Winkel messen
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
45∘,90∘,120∘.
2. Winkelarten unterscheiden
Winkel werden nach ihrer Größe eingeteilt.
Spitzer Winkel
Ein spitzer Winkel ist kleiner als
0∘<α<90∘ Rechter Winkel
Ein rechter Winkel hat genau
90∘. Er wird in Zeichnungen häufig mit einem kleinen Quadrat markiert.
Stumpfer Winkel
Ein stumpfer Winkel ist größer als 90∘, aber kleiner als 180∘:
90∘<α<180∘ Gestreckter Winkel
Ein gestreckter Winkel hat genau
180∘. Seine beiden Schenkel bilden zusammen eine Gerade.
Überstumpfer Winkel
Ein überstumpfer Winkel ist größer als 180∘, aber kleiner als 360∘:
180∘<α<360∘ Vollwinkel
Eine vollständige Drehung entspricht
360∘.
Merke: Die wichtigsten Grenzwerte sind
90∘,180∘,360∘.
3. Winkel messen
Zum Messen eines Winkels verwendest du ein Geodreieck.
Dabei gehst du immer schrittweise vor.
Schritt 1: Mittelpunkt anlegen
Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks genau auf den Scheitelpunkt des Winkels.
Schritt 2: Grundlinie ausrichten
Lege die Grundlinie des Geodreiecks auf einen Schenkel des Winkels.
Schritt 3: Richtige Skala wählen
Ein Geodreieck besitzt meist zwei Skalen.
Beginne bei der Skala, die auf dem angelegten Schenkel mit
Schritt 4: Winkel ablesen
Lies dort ab, wo der zweite Schenkel die Gradskala schneidet.
Tipp: Prüfe danach, ob dein Ergebnis zur Winkelart passt. Ein spitzer Winkel darf zum Beispiel nicht 130∘ groß sein.
Beispiel
Sieht ein Winkel deutlich kleiner als ein rechter Winkel aus und du liest
ab, ist das Ergebnis plausibel.
ab, hast du wahrscheinlich die falsche Skala verwendet.
4. Winkel zeichnen
Auch beim Zeichnen eines Winkels arbeitest du mit dem Geodreieck.
Wir wollen zum Beispiel einen Winkel von
Schritt 1: Ersten Schenkel zeichnen
Zeichne einen Strahl und markiere seinen Anfangspunkt.
Dieser Punkt wird der Scheitelpunkt.
Schritt 2: Geodreieck anlegen
Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks auf den Scheitelpunkt.
Die Grundlinie liegt auf dem ersten Schenkel.
Schritt 3: Gradzahl markieren
Suche auf der richtigen Skala
und setze dort einen Punkt.
Schritt 4: Zweiten Schenkel zeichnen
Verbinde den Scheitelpunkt mit dem markierten Punkt.
Damit hast du einen Winkel von
5. Nebenwinkel
Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn sie
- einen Schenkel gemeinsam haben und
- die beiden anderen Schenkel zusammen eine Gerade bilden.
Zusammen ergeben Nebenwinkel immer einen gestreckten Winkel.
α+β=180∘ Beispiel
α=125∘. Gesucht ist der Nebenwinkel β.
α+β=180∘ 125∘+ββ=180∘=55∘/−125∘ β=55∘. Probe
125∘+55∘=180∘.
6. Scheitelwinkel
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel.
Jeweils gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel.
Scheitelwinkel sind gleich groß:
α=γ β=δ. Beispiel
α=68∘, dann gilt für den gegenüberliegenden Scheitelwinkel:
γ=68∘. Die beiden angrenzenden Winkel sind Nebenwinkel.
68∘+ββ=180∘=112∘/−68∘ Der gegenüberliegende Winkel δ ist wieder gleich groß:
δ=112∘.
7. Winkel an parallelen Geraden
Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, entstehen mehrere Winkel mit festen Beziehungen.
Dabei sind vor allem drei Beziehungen wichtig.
Stufenwinkel
Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in derselben Lage.
Bei parallelen Geraden sind sie gleich groß:
α=β. Wechselwinkel
Wechselwinkel liegen auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden.
Bei parallelen Geraden sind sie gleich groß:
α=γ. Innenwinkel auf derselben Seite
Innenwinkel auf derselben Seite der schneidenden Geraden ergänzen einander auf
α+δ=180∘.
8. Beispiel zu parallelen Geraden
α=72∘. Ein Stufenwinkel β ist gleich groß:
β=72∘. Ein Wechselwinkel γ ist ebenfalls gleich groß:
γ=72∘. Ein angrenzender Innenwinkel δ ergänzt sich mit α auf 180∘:
72∘+δδ=180∘=108∘/−72∘ δ=108∘.
Tipp: Suche zuerst nach gleich großen Winkeln. Danach kannst du mit Nebenwinkeln oft die restlichen Winkel bestimmen.
9. Winkelsumme im Dreieck
In jedem Dreieck beträgt die Summe der drei Innenwinkel
180∘. Wenn die Winkel α,β,γ heißen, gilt:
α+β+γ=180∘. Beispiel 1
α=50∘,β=65∘. α+β+γ=180∘ 50∘+65∘+γγ=180∘=65∘/−115∘ γ=65∘. Beispiel 2
Ein rechtwinkeliges Dreieck hat
α=90∘ β=35∘. 90∘+35∘+γγ=180∘=55∘/−125∘ γ=55∘.
10. Winkelsumme im Viereck
In jedem Viereck beträgt die Summe der vier Innenwinkel
360∘. Für die Winkel α,β,γ,δ gilt:
α+β+γ+δ=360∘. Warum sind es 360∘?
Du kannst jedes Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke teilen.
Jedes Dreieck besitzt eine Winkelsumme von
180∘+180∘=360∘.
11. Beispiel zur Winkelsumme im Viereck
α=80∘,β=95∘,γ=110∘. α+β+γ+δ=360∘ 80∘+95∘+110∘+δδ=360∘=75∘/−285∘ δ=75∘. Probe
80∘+95∘+110∘+75∘=360∘.
12. Welche Winkelbeziehung brauche ich?
Bei einer Aufgabe solltest du zuerst die Zeichnung untersuchen.
Zwei Winkel bilden gemeinsam eine Gerade
α+β=180∘. Es handelt sich um Nebenwinkel.
Zwei Winkel liegen sich an einer Kreuzung gegenüber
α=γ. Es handelt sich um Scheitelwinkel.
Zwei parallele Geraden werden geschnitten
- Stufenwinkeln,
- Wechselwinkeln,
- Innenwinkeln auf derselben Seite.
Drei Winkel liegen in einem Dreieck
α+β+γ=180∘. Vier Winkel liegen in einem Viereck
α+β+γ+δ=360∘.
13. Mehrere Regeln nacheinander verwenden
Manchmal brauchst du mehr als eine Regel.
Beispiel
Zwei Geraden schneiden sich.
Schritt 1: Scheitelwinkel
Der gegenüberliegende Winkel ist ebenfalls
Schritt 2: Nebenwinkel
Ein angrenzender Winkel ergänzt sich auf 180∘:
47∘+ββ=180∘=133∘/−47∘ Schritt 3: Zweiter Scheitelwinkel
Der gegenüberliegende Winkel ist ebenfalls
Damit sind alle vier Winkel bestimmt:
47∘,133∘,47∘,133∘.
14. Typische Fehler
Fehler 1: Falsche Skala beim Geodreieck
Achte darauf, dass die verwendete Skala beim angelegten Schenkel mit
Fehler 2: Scheitelwinkel mit Nebenwinkeln verwechseln
Scheitelwinkel sind gleich groß:
Nebenwinkel ergeben zusammen:
α+β=180∘. Fehler 3: Winkelbeziehungen an nicht parallelen Geraden verwenden
Stufenwinkel und Wechselwinkel sind nur dann sicher gleich groß, wenn die beiden Geraden parallel sind.
Fehler 4: Falsche Winkelsumme verwenden
Fehler 5: Gradzeichen vergessen
Ein Winkel ist keine reine Zahl.
15. Das Wichtigste auf einen Blick
0∘<α<90∘ α=90∘ 90∘<α<180∘ α=180∘ α=360∘ α+β=180∘ α=γ
- Stufenwinkel sind gleich groß,
- Wechselwinkel sind gleich groß,
- Innenwinkel auf derselben Seite ergeben zusammen 180∘.
180∘ 360∘ Winkel mit dem Geodreieck korrekt anlegen, die passende Skala auswählen und die Gradzahl ablesen.
- 1
Scheitelpunkt anlegen
Den Mittelpunkt des Geodreiecks exakt auf den legen.
- 2
Grundlinie ausrichten
Die Grundlinie auf einen Schenkel des Winkels legen.
- 3
Richtige Skala wählen
Die Skala verwenden, die beim angelegten Schenkel mit 0° beginnt.
- 4
Gradzahl ablesen
Am zweiten Schenkel die Winkelgröße ablesen.
- 5
Ergebnis plausibilisieren
Prüfen, ob die Gradzahl zur sichtbaren Winkelart passt.
MG 4.4 - Winkel zeichnen
Einen Winkel mit vorgegebener Gradzahl mithilfe eines Geodreiecks zeichnen.
- 1
Ersten Schenkel zeichnen
Einen Strahl als ersten Winkelschenkel zeichnen.
- 2
Scheitelpunkt markieren
Den Anfangspunkt des Strahls als festlegen.
- 3
Geodreieck anlegen
Mittelpunkt und Grundlinie korrekt positionieren.
- 4
Gradzahl markieren
Auf der passenden Skala den vorgegebenen Winkel markieren.
- 5
Zweiten Schenkel zeichnen
und Markierung verbinden.
- 6
Zeichnung kontrollieren
Winkelart und ungefähr erwartete Öffnung überprüfen.
MG 4.4 - Nebenwinkel berechnen
Nebenwinkel als Winkelpaar auf einer Geraden erkennen und fehlende Winkel mit der Summe 180° berechnen.
- 1
Nebenwinkel erkennen
Prüfen, ob zwei Winkel einen Schenkel teilen und die anderen Schenkel eine Gerade bilden.
- 2
Winkelsumme notieren
α + β = 180° als Beziehung verwenden.
- 3
Wert einsetzen
Den bekannten Winkel in die einsetzen.
- 4
Fehlenden Winkel berechnen
Mit einer Äquivalenzumformung den gesuchten Winkel bestimmen; /-Operation in der Ausgangszeile.
- 5
Probe durchführen
Beide Winkel addieren und 180° kontrollieren.
MG 4.4 - Scheitelwinkel erkennen und berechnen
Gegenüberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden als Scheitelwinkel erkennen und ihre Gleichheit nutzen.
- 1
Kreuzung erkennen
Zwei sich schneidende Geraden als Ausgangssituation erkennen.
- 2
Gegenüberliegende Winkel finden
Je zwei gegenüberliegende Winkel als Scheitelwinkel zuordnen.
- 3
Gleichheit nutzen
Scheitelwinkel direkt als gleich groß übernehmen.
- 4
Angrenzende Winkel ergänzen
Benachbarte Winkel bei Bedarf mit der Nebenwinkelregel bestimmen.
- 5
Alle Winkel kontrollieren
Die vier Winkel auf zwei gleiche Paare und 180° bei Nachbarwinkeln prüfen.
MG 4.4 - Winkel an parallelen Geraden bestimmen
Stufenwinkel, Wechselwinkel und innenliegende Winkel auf derselben Seite erkennen und zur Winkelberechnung nutzen.
- 1
Parallelität prüfen
Sicherstellen, dass zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden.
- 2
Stufenwinkel erkennen
Winkel in gleicher Lage an beiden Schnittpunkten als gleich groß erkennen.
- 3
Wechselwinkel erkennen
Winkel auf wechselnden Seiten der Transversalen als gleich groß erkennen.
- 4
Innenwinkel derselben Seite erkennen
Innenwinkel auf derselben Seite als Ergänzung auf 180° erkennen.
- 5
Fehlende Winkel berechnen
Gleichheits- und Ergänzungsbeziehungen passend anwenden.
- 6
Ergebnis begründen
Zu jedem berechneten Winkel die verwendete Winkelbeziehung nennen.
MG 4.4 - Winkelsumme im Dreieck anwenden
Fehlende Innenwinkel eines Dreiecks mit der Winkelsumme 180° bestimmen.
- 1
Drei Innenwinkel erkennen
Die Innenwinkel eines Dreiecks korrekt zuordnen.
- 2
Winkelsumme notieren
α + β + γ = 180° verwenden.
- 3
Bekannte Winkel einsetzen
Die gegebenen Winkel in die einsetzen.
- 4
Bekannte Winkel addieren
Die Summe der bekannten Winkel bilden.
- 5
Fehlenden Winkel berechnen
Die bekannte Summe von 180° abziehen; /-Operation in der Ausgangszeile.
- 6
Probe machen
Alle drei Winkel addieren und 180° kontrollieren.
MG 4.4 - Winkelsumme im Viereck anwenden
Fehlende Innenwinkel eines Vierecks mit der Winkelsumme 360° bestimmen und die Summe über zwei Dreiecke erklären.
- 1
Vier Innenwinkel erkennen
Die vier Innenwinkel eines Vierecks korrekt zuordnen.
- 2
360° begründen
Ein Viereck gedanklich in zwei Dreiecke zerlegen und 180° + 180° = 360° verstehen.
- 3
Winkelsumme notieren
α + β + γ + δ = 360° verwenden.
- 4
Bekannte Winkel addieren
Die drei bekannten Winkel zusammenfassen.
- 5
Fehlenden Winkel berechnen
Die bekannte Summe von 360° abziehen; /-Operation in der Ausgangszeile.
- 6
Probe machen
Alle vier Winkel addieren und 360° kontrollieren.
