Maßstab und maßstäbliche Darstellungen

Ein Maßstab vergleicht eine Länge in einer Zeichnung mit der entsprechenden Länge in der Wirklichkeit.

Der Maßstab

$$1:100$$

bedeutet:

$$1\text{ Längeneinheit in der Zeichnung} = 100\text{ gleiche Längeneinheiten in der Wirklichkeit}.$$

Beispielsweise entsprechen $1\,\mathrm{cm}$ im Plan genau $100\,\mathrm{cm}=1\,\mathrm{m}$ in der Wirklichkeit.

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1. Maßstab richtig lesen

Bei einem Maßstab $1:n$ gilt:

• links: Zeichnung oder Modell,
• rechts: Wirklichkeit,
• $n>1$: Verkleinerung.

Ein Vergrößerungsmaßstab kann beispielsweise $5:1$ lauten. Dann ist die Zeichnung fünfmal so groß wie der Gegenstand.

Merksatz: Maßstabszahlen vergleichen Längen nur dann direkt, wenn dieselbe Einheit verwendet wird.

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2. Von der Zeichnung zur Wirklichkeit

Aufgabe: Auf einer Karte im Maßstab $1:50\,000$ ist eine Strecke $3{,}6\,\mathrm{cm}$ lang. Wie lang ist sie in Wirklichkeit?

Schritt 1: Planlänge mit der Maßstabszahl multiplizieren.

$$\begin{aligned} 3{,}6\,\mathrm{cm}\cdot50\,000 &=180\,000\,\mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Schritt 2: In eine sinnvolle Einheit umrechnen.

$$\begin{aligned} 180\,000\,\mathrm{cm} &=1800\,\mathrm{m} \\ &=1{,}8\,\mathrm{km}. \end{aligned}$$

Antwort: Die wirkliche Strecke ist $1{,}8\,\mathrm{km}$ lang.

Kontrolle: Eine kleine Kartenstrecke darf bei diesem stark verkleinernden Maßstab einer deutlich größeren Wirklichkeitsstrecke entsprechen.

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3. Von der Wirklichkeit zur Zeichnung

Aufgabe: Eine Wand ist $7{,}5\,\mathrm{m}$ lang. Wie lang wird sie in einem Plan im Maßstab $1:50$ gezeichnet?

Schritt 1: Wirklichkeitslänge in Zentimeter umrechnen.

$$7{,}5\,\mathrm{m}=750\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 2: Durch die Maßstabszahl dividieren.

$$\begin{aligned} 750\,\mathrm{cm}:50 &=15\,\mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Antwort: Im Plan ist die Wand $15\,\mathrm{cm}$ lang.

Rückrechnung:

$$15\,\mathrm{cm}\cdot50=750\,\mathrm{cm}=7{,}5\,\mathrm{m}.$$

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4. Einen Maßstab bestimmen

Aufgabe: Eine $12\,\mathrm{m}$ lange Strecke wird als $8\,\mathrm{cm}$ lange Strecke gezeichnet. Welcher Maßstab liegt vor?

Schritt 1: Einheiten vereinheitlichen.

$$12\,\mathrm{m}=1200\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 2: Verhältnis Zeichnung zu Wirklichkeit bilden.

$$8:1200.$$

Schritt 3: Beide Verhältnisglieder durch $8$ dividieren.

$$\begin{aligned} 8:1200 &=(8:8):(1200:8) \\ &=1:150. \end{aligned}$$

Antwort: Der Maßstab lautet $1:150$.

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5. Maßstab und Fläche

Ein Maßstab $1:10$ verkleinert jede Länge auf ein Zehntel. Eine Fläche wird dadurch nicht auf ein Zehntel, sondern auf

$$\left(\frac{1}{10}\right)^2=\frac{1}{100}$$

verkleinert.

Beispiel: Ein Quadrat mit wirklicher Seitenlänge $2\,\mathrm{m}$ wird im Maßstab $1:10$ gezeichnet.

Zeichnungsseite:

$$2\,\mathrm{m}:10=0{,}2\,\mathrm{m}=20\,\mathrm{cm}.$$

Wirkliche Fläche:

$$2\,\mathrm{m}\cdot2\,\mathrm{m}=4\,\mathrm{m}^2.$$

Zeichnungsfläche:

$$0{,}2\,\mathrm{m}\cdot0{,}2\,\mathrm{m}=0{,}04\,\mathrm{m}^2.$$

Die Fläche ist also um den Faktor $100$ kleiner.

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6. Typische Fehler

• Zeichnungs- und Wirklichkeitsseite werden vertauscht.
• Unterschiedliche Einheiten werden direkt in ein Verhältnis gesetzt.
• Von der Zeichnung zur Wirklichkeit wird dividiert statt multipliziert.
• Das Ergebnis wird nicht in eine sinnvolle Einheit umgerechnet.
• Bei Flächen wird nur mit der einfachen Maßstabszahl gerechnet.
• Ein Vergrößerungsmaßstab wird wie ein Verkleinerungsmaßstab behandelt.

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7. Zusammenfassung

Für den Verkleinerungsmaßstab $1:n$ gilt:

$$\text{Wirklichkeitslänge} = \text{Zeichnungslänge}\cdot n,$$ $$\text{Zeichnungslänge} = \text{Wirklichkeitslänge}:n.$$

Vor jeder Rechnung werden Einheiten vereinheitlicht. Danach werden Ergebnis, Richtung und Größenordnung geprüft.