Ein Maßstab vergleicht eine Länge in einer Zeichnung mit der entsprechenden Länge in der Wirklichkeit.
Der Maßstab
1:100
bedeutet:
1 La¨
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
MG 3.4 – Maßstab lesen
Diese Schrittliste führt beim Thema Maßstab und maßstäbliche Darstellungen durch „Maßstab lesen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Verhältnis ablesen
Verhältnis ablesen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Maßstab lesen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
2
Zeichnungsseite erkennen
Zeichnungsseite erkennen: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Maßstab lesen“.
3
Wirklichkeitsseite erkennen
Wirklichkeitsseite erkennen: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Maßstab lesen“.
4
Einheit festlegen
Einheit festlegen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
5
Bedeutung von 1:n formulieren
Formuliere in einem Satz: Eine Längeneinheit in der Zeichnung entspricht n gleichen Längeneinheiten in der Wirklichkeit.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Beispielsweise entsprechen 1cm im Plan genau 100cm=1m in der Wirklichkeit.
1. Maßstab richtig lesen
Bei einem Maßstab 1:n gilt:
links: Zeichnung oder Modell,
rechts: Wirklichkeit,
n>1: Verkleinerung.
Ein Vergrößerungsmaßstab kann beispielsweise 5:1 lauten. Dann ist die Zeichnung fünfmal so groß wie der Gegenstand.
Merksatz: Maßstabszahlen vergleichen Längen nur dann direkt, wenn dieselbe Einheit verwendet wird.
2. Von der Zeichnung zur Wirklichkeit
Aufgabe: Auf einer Karte im Maßstab 1:50000 ist eine Strecke 3,6cm lang. Wie lang ist sie in Wirklichkeit?
Schritt 1: Planlänge mit der Maßstabszahl multiplizieren.
3,6cm⋅50000=180000cm.
Schritt 2: In eine sinnvolle Einheit umrechnen.
180000cm=1800m=1,8km.
Antwort: Die wirkliche Strecke ist 1,8km lang.
Kontrolle: Eine kleine Kartenstrecke darf bei diesem stark verkleinernden Maßstab einer deutlich größeren Wirklichkeitsstrecke entsprechen.
3. Von der Wirklichkeit zur Zeichnung
Aufgabe: Eine Wand ist 7,5m lang. Wie lang wird sie in einem Plan im Maßstab 1:50 gezeichnet?
Schritt 1: Wirklichkeitslänge in Zentimeter umrechnen.
7,5m=750cm.
Schritt 2: Durch die Maßstabszahl dividieren.
750cm:50=15cm.
Antwort: Im Plan ist die Wand 15cm lang.
Rückrechnung:
15cm⋅50=750cm=7,5m.
4. Einen Maßstab bestimmen
Aufgabe: Eine 12m lange Strecke wird als 8cm lange Strecke gezeichnet. Welcher Maßstab liegt vor?
Schritt 1: Einheiten vereinheitlichen.
12m=1200cm.
Schritt 2: Verhältnis Zeichnung zu Wirklichkeit bilden.
8:1200.
Schritt 3: Beide Verhältnisglieder durch 8 dividieren.
8:1200=(8:8):(1200:8)=1:150.
Antwort: Der Maßstab lautet 1:150.
5. Maßstab und Fläche
Ein Maßstab 1:10 verkleinert jede Länge auf ein Zehntel. Eine Fläche wird dadurch nicht auf ein Zehntel, sondern auf
(101)2=1001
verkleinert.
Beispiel: Ein Quadrat mit wirklicher Seitenlänge 2m wird im Maßstab 1:10 gezeichnet.
Zeichnungsseite:
2m:10=0,2m=20cm.
Wirkliche Fläche:
2m⋅2m=4m2.
Zeichnungsfläche:
0,2m⋅0,2m=0,04m2.
Die Fläche ist also um den 100 kleiner.
Tipp: Beim Maßstab gilt die Zahl n direkt nur für Längen. Bei Flächen rechnest du mit n2, weil Länge und Breite verkleinert werden.
6. Typische Fehler
Zeichnungs- und Wirklichkeitsseite werden vertauscht.
Unterschiedliche Einheiten werden direkt in ein Verhältnis gesetzt.
Von der Zeichnung zur Wirklichkeit wird dividiert statt multipliziert.
Das Ergebnis wird nicht in eine sinnvolle Einheit umgerechnet.
Bei Flächen wird nur mit der einfachen Maßstabszahl gerechnet.
Ein Vergrößerungsmaßstab wird wie ein Verkleinerungsmaßstab behandelt.
7. Zusammenfassung
Für den Verkleinerungsmaßstab 1:n gilt:
Wirklichkeitsla¨nge=Zeichnungsla¨nge⋅n,
Zeichnungsla¨nge=Wirklichkeitsla¨nge:n.
Vor jeder Rechnung werden Einheiten vereinheitlicht. Danach werden Ergebnis, Richtung und Größenordnung geprüft.
6
Vergrößerung oder Verkleinerung bestimmen
Vergrößerung oder Verkleinerung bestimmen: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Maßstab lesen“.
7
Beispielwert zuordnen
Beispielwert zuordnen: Triff die Auswahl anhand der gegebenen Struktur und halte sie sichtbar fest, bevor gerechnet wird. Prüfe, ob sie zum weiteren Vorgehen passt.
MG 3.4 – Wirklichkeitslänge berechnen
Diese Schrittliste führt beim Thema Maßstab und maßstäbliche Darstellungen durch „Wirklichkeitslänge berechnen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Planlänge notieren
Planlänge notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
2
Maßstabszahl notieren
Maßstabszahl notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
3
Einheiten prüfen
Einheiten prüfen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
4
Mit Maßstabszahl multiplizieren
Multipliziere die Zeichnungslänge mit der Maßstabszahl, um die Wirklichkeitslänge in derselben Einheit zu erhalten.
5
Zwischenergebnis notieren
Zwischenergebnis notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
6
Sinnvoll umrechnen
Sinnvoll umrechnen: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
7
Antwortsatz bilden
Antwortsatz bilden: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Wirklichkeitslänge berechnen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
MG 3.4 – Zeichnungslänge berechnen
Diese Schrittliste führt beim Thema Maßstab und maßstäbliche Darstellungen durch „Zeichnungslänge berechnen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Wirklichkeitslänge notieren
Wirklichkeitslänge notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
2
In passende Einheit umrechnen
In passende Einheit umrechnen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
3
Durch Maßstabszahl dividieren
Dividiere die Wirklichkeitslänge durch die Maßstabszahl, um die Zeichnungslänge zu erhalten.
4
Zeichnungslänge bestimmen
Zeichnungslänge bestimmen: Kennzeichne den gesuchten Bestandteil direkt in der Aufgabe und begründe die Zuordnung mit einem mathematischen Merkmal aus dem Thema „Zeichnungslänge berechnen“.
5
Einheit prüfen
Einheit prüfen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
6
Größenordnung kontrollieren
Größenordnung kontrollieren: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
7
Antwortsatz bilden
Antwortsatz bilden: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Zeichnungslänge berechnen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
MG 3.4 – Maßstab bestimmen
Diese Schrittliste führt beim Thema Maßstab und maßstäbliche Darstellungen durch „Maßstab bestimmen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Beide Längen notieren
Beide Längen notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
2
Einheiten vereinheitlichen
Einheiten vereinheitlichen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
3
Verhältnis Zeichnung:Wirklichkeit bilden
Verhältnis Zeichnung:Wirklichkeit bilden: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Maßstab bestimmen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
4
Beide Seiten durch Zeichnungslänge dividieren
Beide Seiten durch Zeichnungslänge dividieren: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
5
Form 1:n herstellen
Form 1:n herstellen: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Maßstab bestimmen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
6
Maßstab notieren
Maßstab notieren: Schreibe diesen Bestandteil vollständig und in der vereinbarten mathematischen Form auf. Vorzeichen, Klammern und Einheiten dürfen nicht verloren gehen.
7
Durch Rückrechnung prüfen
Durch Rückrechnung prüfen: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
MG 3.4 – Maßstabsfehler prüfen
Diese Schrittliste führt beim Thema Maßstab und maßstäbliche Darstellungen durch „Maßstabsfehler prüfen“. Jeder Schritt wird einzeln ausgeführt, vollständig notiert und vor dem Weiterrechnen geprüft.
1
Zuordnung der Seiten prüfen
Zuordnung der Seiten prüfen: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
2
Einheiten vergleichen
Einheiten vergleichen: Notiere Zahl und Einheit gemeinsam, vereinheitliche nötigenfalls die Einheiten und prüfe, ob die Ergebniseinheit zur gesuchten Größe passt.
3
Rechenrichtung kontrollieren
Rechenrichtung kontrollieren: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
4
Längen- und Flächenfaktor unterscheiden
Längen- und Flächenfaktor unterscheiden: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Maßstabsfehler prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
5
Rechnung korrigieren
Rechnung korrigieren: Bearbeite diesen Schritt einzeln im Verfahren „Maßstabsfehler prüfen“. Das Zwischenergebnis wird sichtbar notiert und vor dem nächsten Schritt auf Vorzeichen, Einheit und Rechenrichtung geprüft.
6
Ergebnis umrechnen
Ergebnis umrechnen: Führe genau diese Rechenoperation in einer eigenen Zeile aus, notiere das Zwischenergebnis vollständig und vereinfache erst danach weiter.
7
Plausibilität erklären
Plausibilität erklären: Vergleiche den Schritt mit Ausgangsangabe, Größenordnung und Rechenrichtung. Formuliere kurz, warum das Ergebnis möglich oder fehlerhaft ist.
MG 3.4 – Maßstab deuten
Einen Maßstab der Form 1 : n sprachlich und rechnerisch deuten.
1
Maßstab lesen
Bei 1:n steht die 1 für eine Längeneinheit in der Darstellung.
2
Reale Zuordnung erkennen
Die Zahl n gibt an, wie viele gleiche Längeneinheiten dieser Strecke in der Wirklichkeit entsprechen.
3
Gleiche Einheiten voraussetzen
Beide Seiten des Maßstabs beziehen sich zunächst auf dieselbe Längeneinheit.
4
Verkleinerung deuten
Bei n>1 ist die Darstellung gegenüber der Wirklichkeit verkleinert.
5
Beispiel formulieren
Bei 1:100 entsprechen 1 cm im Plan 100 cm in Wirklichkeit.
6
Bedeutung prüfen
Formuliere die Maßstabsangabe vollständig in Worten.
MG 3.4 – Reale Länge aus Planlänge bestimmen
Aus einer Länge in einer maßstäblichen Darstellung die reale Länge berechnen.
1
Maßstab notieren
Schreibe den gegebenen Maßstab 1:n auf.
2
Planlänge bestimmen
Notiere die gemessene oder gegebene Länge in der Darstellung.
3
Mit n multiplizieren
Die reale Länge erhältst du durch Planlänge·n.
4
Einheit zunächst beibehalten
Das Ergebnis steht zunächst in derselben Längeneinheit wie die Planlänge.
5
In sinnvolle Einheit umrechnen
Wandle das Resultat bei Bedarf etwa von cm in m oder km um.
6
Plausibilität prüfen
Bei einem verkleinernden Maßstab muss die reale Länge größer als die Planlänge sein.
MG 3.4 – Planlänge aus realer Länge bestimmen
Aus einer realen Länge die entsprechende Länge in einer maßstäblichen Darstellung berechnen.
1
Maßstab notieren
Schreibe den gegebenen Maßstab 1:n auf.
2
Reale Länge bestimmen
Notiere die wirkliche Länge.
3
Einheiten passend machen
Wandle die reale Länge gegebenenfalls in eine für den Plan sinnvolle Einheit um.
4
Durch n teilen
Die Planlänge erhältst du durch reale Länge/n.
5
Zieleinheit notieren
Schreibe das Ergebnis mit der Einheit der Darstellung.
6
Plausibilität prüfen
Bei einem verkleinernden Maßstab muss die Planlänge kleiner als die reale Länge sein.
MG 3.4 – Maßstab berechnen
Aus Planlänge und realer Länge den Maßstab bestimmen.
1
Plan- und Reallänge notieren
Schreibe beide Längen übersichtlich auf.
2
Einheiten vereinheitlichen
Wandle beide Längen in dieselbe Einheit um.
3
Verhältnis bilden
Bilde Planlänge:Reallänge.
4
Auf 1 kürzen
Teile beide Verhältniswerte durch die Planlänge.
5
Maßstabszahl bestimmen
Erhalte die Form 1:n.
6
Ergebnis prüfen
Kontrolliere, ob n zur Größenordnung von Darstellung und Wirklichkeit passt.
MG 3.4 – Einheiten beim Maßstab vereinheitlichen
Vor einer Maßstabsrechnung unterschiedliche Längeneinheiten korrekt vereinheitlichen.
1
Beide Längen mit Einheit notieren
Schreibe Planlänge und reale Länge vollständig auf.
2
Gemeinsame Einheit wählen
Entscheide dich für eine Einheit, in der beide Werte gut vergleichbar sind.
3
Ersten Wert umrechnen
Wandle den ersten Längenwert in die gewählte Einheit um.
4
Zweiten Wert umrechnen
Wandle auch den zweiten Längenwert in dieselbe Einheit um.
5
Einheiten kontrollieren
Erst jetzt dürfen Verhältnis oder Maßstab gebildet werden.
6
Rechnung fortsetzen
Verwende die einheitlichen Längen für die eigentliche Maßstabsrechnung.
MG 3.4 – Flächen bei Maßstabsänderung vergleichen
Die quadratische Wirkung eines Längenmaßstabs auf Flächeninhalte berücksichtigen.
1
Längenmaßstab bestimmen
Notiere den linearen Maßstabsfaktor zwischen zwei Darstellungen.
2
Flächenwirkung erkennen
Flächen verändern sich in zwei unabhängigen Längenrichtungen.
3
Maßstabsfaktor quadrieren
Ein Längenfaktor k führt daher zu einem Flächenfaktor k².
4
Richtung beachten
Bei Verkleinerung wird auch die Fläche um den quadrierten kleiner.
5
Flächen vergleichen
Multipliziere oder dividiere den Flächeninhalt mit k².
6
Ergebnis prüfen
Kontrolliere, dass nicht nur der einfache Längenfaktor verwendet wurde.
MG 3.4 – Maßstäbliche Darstellung beurteilen
Prüfen, ob eine Darstellung zu einem angegebenen Maßstab passt.
1
Angegebenen Maßstab notieren
Bestimme den Maßstab, zu dem die Darstellung passen soll.
2
Geeignete Strecke wählen
Wähle eine Planstrecke und ihre bekannte reale Entsprechung.
3
Einheiten vereinheitlichen
Bringe beide Längen in dieselbe Einheit.
4
Tatsächlichen Maßstab berechnen
Bilde und kürze Planlänge:Reallänge auf die Form 1:n.
5
Mit Vorgabe vergleichen
Vergleiche das berechnete n mit dem angegebenen Maßstab.
6
Urteil formulieren
Entscheide, ob die Darstellung maßstäblich passt, und begründe mit dem Vergleich.
