Normalverteilung anwenden: Wahrscheinlichkeit, Quantil und Intervall

Du kennst die Glockenkurve, den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ bereits. Jetzt geht es um die eigentliche Entscheidung in einer Aufgabe:

Welche Größe ist gegeben - und welche wird gesucht?

Nach dieser Seite kannst du

• Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Technologie bestimmen und im Kontext deuten,
• Quantilfragen sicher aus Formulierungen wie „nur 5 % liegen darüber“ übersetzen,
• symmetrische Intervalle um $\mu$ berechnen und interpretieren,
• die $\sigma$-Regeln passend anwenden und
• Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.

Vorwissen

Du brauchst aus WS 3.4 nur diese drei Ideen: $\mu$ liegt in der Mitte, $\sigma$ beschreibt die Streuung und eine Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fläche unter der Dichtekurve. Die Entstehung und Form der Glockenkurve wird hier nicht erneut hergeleitet.

Die drei Fragetypen auf einen Blick

Überlebensstrategie

Schreibe vor jeder Eingabe in die Technologie zuerst das gesuchte Ereignis mit $P(\ldots)$ auf. Dadurch erkennst du, welche Fläche beziehungsweise welcher Wert gemeint ist.

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1. Wahrscheinlichkeit: Ein Wert wird zu einer Fläche

Bei einer Wahrscheinlichkeitsfrage kennst du den Wert oder die Grenzen. Gesucht ist der Anteil der Verteilung in diesem Bereich.

Wir verwenden durchgehend das Modell

$$X\sim N(70;8^2).$$

Damit gilt:

$$\mu=70 \qquad\text{und}\qquad \sigma=8.$$

Achtung bei der Eingabe

In der Formelsammlung wird die Normalverteilung als $N(\mu;\sigma^2)$ notiert. Viele Technologie-Befehle verlangen trotzdem $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$, nicht die Varianz ${\sigma }^2$. Lies die Eingabefelder genau.

Beispiel 1: Höchstens 80 Punkte

Die Punktezahl einer Prüfung sei normalverteilt mit $\mu=70$ und $\sigma=8$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 80 Punkte zu erreichen?

Schritt 1: Zufallsvariable und Modell festhalten

$$X=\text{erreichte Punktezahl}$$ $$X\sim N(70;8^2)$$

Schritt 2: Signalwort übersetzen

„Höchstens 80“ bedeutet: 80 ist noch dabei, gesucht ist die Fläche links von 80.

$$P(X\leq 80)$$

Schritt 3: Technologie verwenden

Eingaben:

• untere Grenze: $-\infty$
• obere Grenze: $80$
• Erwartungswert: $70$
• Standardabweichung: $8$

Die Technologie liefert

$$P(X\leq 80)\approx 0{,}8944.$$

Schritt 4: In Prozent umrechnen

$$0{,}8944=89{,}44\,\%.$$

Schritt 5: Im Kontext antworten

Rund $89{,}4\,\%$ der Schüler:innen erreichen höchstens 80 Punkte.

Plausibilitätscheck

Die Grenze 80 liegt über dem Erwartungswert 70. Deshalb muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit größer als $50\,\%$ sein. $89{,}4\,\%$ ist plausibel.

Merke: Signalwörter

• höchstens, maximal, nicht mehr als $\Rightarrow P(X\leq b)$
• mindestens, wenigstens, nicht weniger als $\Rightarrow P(X\geq a)$
• zwischen $$ und

Beispiel 2: Zwischen 60 und 80 Punkten

Gesucht ist nun der Anteil zwischen zwei Grenzen.

Schritt 1: Ereignis notieren

$$P(60\leq X\leq 80)$$

Schritt 2: Technologie verwenden

Eingaben:

• untere Grenze: $60$
• obere Grenze: $80$
• Erwartungswert: $70$
• Standardabweichung: $8$

Schritt 3: Ergebnis ablesen

$$P(60\leq X\leq 80)\approx 0{,}7887.$$

Schritt 4: Ergebnis deuten

Rund $78{,}9\,\%$ der Schüler:innen erreichen zwischen 60 und 80 Punkte.

Warum ist das Ergebnis symmetrisch?

Die Grenzen haben denselben Abstand zu $\mu=70$:

$$70-60=10 \qquad\text{und}\qquad 80-70=10.$$

Deshalb liegt der markierte Bereich symmetrisch um den Erwartungswert.

Tipp: Rechte Fläche

Falls deine Technologie nur die linke Fläche $P(X\leq a)$ ausgibt, gilt

$$P(X\geq a)=1-P(X\leq a).$$

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2. Quantil: Eine Fläche wird zu einem Wert

Bei einer Quantilfrage ist die Denkbewegung umgekehrt:

$$\text{Wahrscheinlichkeit gegeben} \quad\longrightarrow\quad \text{Grenzwert gesucht}.$$

Ein $p$-Quantil $q_p$ erfüllt

$$P(X\leq q_p)=p.$$

Beispiel 3: Welche Grenze überschreiten nur 5 %?

Welche Punktezahl wird nur von $5\,\%$ der Schüler:innen überschritten?

Schritt 1: Die Seite der Fläche klären

Rechts vom gesuchten Wert liegen $5\,\%$. Links davon liegen daher

$$100\,\%-5\,\%=95\,\%.$$

Schritt 2: Quantilgleichung notieren

$$P(X\leq q)=0{,}95.$$

Gesucht ist also das $0{,}95$-Quantil.

Schritt 3: Quantil mit Technologie bestimmen

Eingaben:

• linke Fläche: $0{,}95$
• Erwartungswert: $70$
• Standardabweichung: $8$

Die Technologie liefert direkt

$$q\approx 83{,}16.$$

Schritt 4: Ergebnis im Kontext deuten

Nur rund $5\,\%$ der Schüler:innen erreichen mehr als $83{,}16$ Punkte. Bei ganzzahligen Punktezahlen beginnt diese obere Gruppe daher bei 84 Punkten.

Derselbe Weg mit Standardisierung

Dieser Rechenweg zeigt, warum das Ergebnis entsteht. Für die linke Fläche $0{,}95$ gilt bei der Standardnormalverteilung

$$z_{0{,}95}\approx 1{,}645.$$

Mit

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$

folgt schrittweise:

$$1{,}645=\frac{x-70}{8}$$ $$/\cdot 8$$ $$13{,}16=x-70$$ $$/+70$$ $$83{,}16=x.$$

Damit erhältst du dasselbe Quantil wie bei der direkten Technologie-Eingabe.

Merke: Quantilübersetzung

„Die besten $r\,\%$“ oder „nur $r\,\%$ liegen darüber“ beschreibt eine rechte Fläche. Für ein übliches Linksquantil musst du zuerst $1-r$ berechnen.

Typischer Fehler

$5\,\%$ rechts bedeutet nicht $P(X\leq q)=0{,}05$, sondern

$$P(X\leq q)=0{,}95.$$

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3. Symmetrisches Intervall: Eine mittlere Fläche wird zu zwei Grenzen

Ein um $\mu$ symmetrisches Intervall hat die Form

$$[\mu-d;\mu+d].$$

Links und rechts bleibt gleich viel Fläche übrig.

Beispiel 4: Mittlere 90 %

Bestimme das um $\mu=70$ symmetrische Intervall, in dem die mittleren $90\,\%$ der Punkte liegen.

Schritt 1: Gesamte Randfläche berechnen

Außerhalb des Intervalls liegen

$$100\,\%-90\,\%=10\,\%.$$

Schritt 2: Randfläche halbieren

Wegen der Symmetrie liegen auf jeder Seite

$$\frac{10\,\%}{2}=5\,\%.$$

Schritt 3: Linke Fläche bis zur oberen Grenze bestimmen

Links von der oberen Grenze liegen

$$100\,\%-5\,\%=95\,\%.$$

Also benötigen wir wieder

$$z_{0{,}95}\approx 1{,}645.$$

Schritt 4: Abstand vom Erwartungswert berechnen

$$d=z\cdot\sigma$$ $$d=1{,}645\cdot 8$$ $$d=13{,}16.$$

Schritt 5: Beide Grenzen bestimmen

Untere Grenze:

$$a=\mu-d$$ $$a=70-13{,}16$$ $$a=56{,}84.$$

Obere Grenze:

$$b=\mu+d$$ $$b=70+13{,}16$$ $$b=83{,}16.$$

Schritt 6: Intervall und Bedeutung angeben

$$[56{,}84;83{,}16]$$

Die mittleren $90\,\%$ der Punkte liegen ungefähr zwischen $56{,}84$ und $83{,}16$. Unterhalb und oberhalb dieses Intervalls liegen jeweils $5\,\%$.

Überlebensstrategie: Symmetrisches Intervall

1. Mittlere Fläche von $100\,\%$ abziehen.
2. Rest durch 2 teilen.
3. Obere Linksfläche bestimmen.
4. Passendes Quantil berechnen.
5. Grenzen als $\mu-z\sigma$ und $\mu+z\sigma$ angeben.

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4. Die drei $\sigma$-Regeln

Für normalverteilte Zufallsvariablen gelten die folgenden Näherungen:

$$P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}683$$ $$P(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)\approx 0{,}954$$ $$P(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma)\approx 0{,}997.$$

Merke

Die $\sigma$-Regeln liefern schnelle Näherungen für ganz bestimmte symmetrische Intervalle. Für andere Prozentwerte - etwa $90\,\%$ oder $99\,\%$ - brauchst du das passende Quantil.

Beispiel 5: Abfüllgewicht

Das Abfüllgewicht einer Packung sei normalverteilt:

$$X\sim N(500;4^2).$$

In welchem Bereich liegen nach der $2\sigma$-Regel ungefähr $95{,}4\,\%$ der Packungen?

Schritt 1: Passendes Intervall notieren

$$[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]$$

Schritt 2: Untere Grenze berechnen

$$500-2\cdot4=492$$

Schritt 3: Obere Grenze berechnen

$$500+2\cdot4=508$$

Schritt 4: Im Kontext antworten

Ungefähr $95{,}4\,\%$ der Packungen wiegen zwischen $492\,\text{g}$ und $508\,\text{g}$.

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Typische Fehler sicher vermeiden

Fehler 1: Varianz und Standardabweichung verwechseln

Bei

$$X\sim N(70;64)$$

ist die Varianz $64$, aber die Standardabweichung

$$\sigma=\sqrt{64}=8.$$

Fehler 2: Die falsche Fläche eingeben

„Nur $5\,\%$ liegen darüber“ beschreibt $5\,\%$ rechts, aber $95\,\%$ links.

Fehler 3: Das Ergebnis ohne Kontext stehen lassen

$$0{,}8944$$

ist nur ein Rechenergebnis. Eine vollständige Antwort nennt Anteil, Bezugsgröße und Grenze.

Fehler 4: Ein beliebiges Intervall als symmetrisch behandeln

Ein Intervall $[a;b]$ ist genau dann symmetrisch um $\mu$, wenn

$$\mu-a=b-\mu.$$

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Schritteliste für WS 3.5

1. Gegebenes Modell lesen

Bestimme $\mu$ und $\sigma$. Prüfe, ob in der Notation die Varianz $\sigma^2$ steht.

2. Gesuchte Größe erkennen

Entscheide: Suchst du eine Wahrscheinlichkeit, ein Quantil oder zwei symmetrische Grenzen?

3. Ereignis mathematisch notieren

Schreibe die Situation als $P(X\leq b)$, $P(X\geq a)$, $P(a\leq X\leq b)$ oder .

4. Technologie passend verwenden

Gib Grenzen beziehungsweise Fläche sowie $\mu$ und $\sigma$ ein. Verwende bei symmetrischen Intervallen auf beiden Seiten gleich große Randflächen.

5. Ergebnis prüfen und deuten

Vergleiche mit $50\,\%$, Symmetrie oder einer $\sigma$-Regel und formuliere einen vollständigen Antwortsatz im Kontext.

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Matura-Check

• Ich erkenne an der Fragestellung, ob eine Wahrscheinlichkeit oder ein Wert gesucht ist.
• Ich übersetze „höchstens“, „mindestens“, „zwischen“ und „nur … % darüber“ korrekt.
• Ich unterscheide $\sigma$ von $\sigma^2$.
• Ich bestimme ein Quantil mit Technologie und kann seinen Wert deuten.
• Ich teile bei einem symmetrischen Intervall die Restwahrscheinlichkeit gleich auf beide Seiten auf.
• Ich kenne die Anteile $68{,}3\,\%$, und .

Für die SRP

WS 3.5 ist laut Grundkompetenzkatalog ab dem Haupttermin 2026/27 (Mai 2027) gültig.

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Jetzt selbst untersuchen

Nutze den Explorer unterhalb der Theorie. Beginne mit $\mu=70$ und $\sigma=8$ und teste nacheinander:

1. Warum wächst $P(X\leq x)$, wenn du $x$ nach rechts verschiebst?
2. Wo liegt das Quantil, wenn nur $10\,\%$ der Werte darüber liegen?
3. Wie verändern sich die Grenzen eines mittleren $95\,\%$-Intervalls, wenn größer wird?