Du brauchst aus WS 3.4 nur diese drei Ideen: μ liegt in der Mitte, σ beschreibt die Streuung und eine Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fläche unter der Dichtekurve. Die Entstehung und Form der Glockenkurve wird hier nicht erneut hergeleitet.
Die drei Fragetypen auf einen Blick
Gegeben
Gesucht
Aufgabentyp
ein Wert oder zwei Grenzen
ein Anteil
Wahrscheinlichkeit
ein Anteil links oder rechts
ein Grenzwert
Quantil
ein mittlerer Anteil und Symmetrie um μ
zwei Grenzen
symmetrisches Intervall
Überlebensstrategie
Schreibe vor jeder Eingabe in die Technologie zuerst das gesuchte Ereignis mit P(…) auf. Dadurch erkennst du, welche Fläche beziehungsweise welcher Wert gemeint ist.
1. Wahrscheinlichkeit: Ein Wert wird zu einer Fläche
Bei einer Wahrscheinlichkeitsfrage kennst du den Wert oder die Grenzen. Gesucht ist der Anteil der Verteilung in diesem Bereich.
Wir verwenden durchgehend das Modell
X∼N(70;82).
Damit gilt:
μ=70undσ=8.
Achtung bei der Eingabe
In der Formelsammlung wird die Normalverteilung als N(μ;σ2) notiert. Viele Technologie-Befehle verlangen trotzdem μ und die Standardabweichungσ, nicht die Varianz σ2. Lies die Eingabefelder genau.
Beispiel 1: Höchstens 80 Punkte
Die Punktezahl einer Prüfung sei normalverteilt mit μ=70 und σ=8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 80 Punkte zu erreichen?
Schritt 1: Zufallsvariable und Modell festhalten
X=erreichte Punktezahl
X∼N(70;82)
Schritt 2: Signalwort übersetzen
„Höchstens 80“ bedeutet: 80 ist noch dabei, gesucht ist die Fläche links von 80.
P(X≤80)
Schritt 3: Technologie verwenden
Eingaben:
untere Grenze: −∞
obere Grenze: 80
Erwartungswert: 70
Standardabweichung: 8
Die Technologie liefert
P(X≤80)≈0,8944.
Schritt 4: In Prozent umrechnen
0,8944=89,44%.
Schritt 5: Im Kontext antworten
Rund 89,4% der Schüler:innen erreichen höchstens 80 Punkte.
Plausibilitätscheck
Die Grenze 80 liegt über dem Erwartungswert 70. Deshalb muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit größer als 50% sein. 89,4% ist plausibel.
Merke: Signalwörter
höchstens, maximal, nicht mehr als ⇒P(X≤b)
mindestens, wenigstens, nicht weniger als ⇒P(X≥a)
zwischen a und b⇒P(a≤X≤b)
Beispiel 2: Zwischen 60 und 80 Punkten
Gesucht ist nun der Anteil zwischen zwei Grenzen.
Schritt 1: Ereignis notieren
P(60≤X≤80)
Schritt 2: Technologie verwenden
Eingaben:
untere Grenze: 60
obere Grenze: 80
Erwartungswert: 70
Standardabweichung: 8
Schritt 3: Ergebnis ablesen
P(60≤X≤80)≈0,7887.
Schritt 4: Ergebnis deuten
Rund 78,9% der Schüler:innen erreichen zwischen 60 und 80 Punkte.
Warum ist das Ergebnis symmetrisch?
Die Grenzen haben denselben Abstand zu μ=70:
70−60=10und80−70=10.
Deshalb liegt der markierte Bereich symmetrisch um den Erwartungswert.
Tipp: Rechte Fläche
Falls deine Technologie nur die linke Fläche P(X≤a) ausgibt, gilt
P(X≥a)=1−P(X≤a).
Skizziere die gesuchte Seite kurz. So vermeidest du, eine linke mit einer rechten Wahrscheinlichkeit zu verwechseln.
2. Quantil: Eine Fläche wird zu einem Wert
Bei einer Quantilfrage ist die Denkbewegung umgekehrt:
Wahrscheinlichkeit gegeben⟶Grenzwert gesucht.
Ein p-Quantil qp erfüllt
P(X≤qp)=p.
Beispiel 3: Welche Grenze überschreiten nur 5 %?
Welche Punktezahl wird nur von 5% der Schüler:innen überschritten?
Schritt 1: Die Seite der Fläche klären
Rechts vom gesuchten Wert liegen 5%. Links davon liegen daher
100%−5%=95%.
Schritt 2: Quantilgleichung notieren
P(X≤q)=0,95.
Gesucht ist also das 0,95-Quantil.
Schritt 3: Quantil mit Technologie bestimmen
Eingaben:
linke Fläche: 0,95
Erwartungswert: 70
Standardabweichung: 8
Die Technologie liefert direkt
q≈83,16.
Schritt 4: Ergebnis im Kontext deuten
Nur rund 5% der Schüler:innen erreichen mehr als 83,16 Punkte. Bei ganzzahligen Punktezahlen beginnt diese obere Gruppe daher bei 84 Punkten.
Derselbe Weg mit Standardisierung
Dieser Rechenweg zeigt, warum das Ergebnis entsteht. Für die linke Fläche 0,95 gilt bei der Standardnormalverteilung
z0,95≈1,645.
Mit
z=σx−μ
folgt schrittweise:
1,645=8x−70
/⋅8
13,16=x−70
/+70
83,16=x.
Damit erhältst du dasselbe Quantil wie bei der direkten Technologie-Eingabe.
Merke: Quantilübersetzung
„Die besten r%“ oder „nur r% liegen darüber“ beschreibt eine rechte Fläche. Für ein übliches Linksquantil musst du zuerst 1−r berechnen.
Typischer Fehler
5% rechts bedeutet nicht P(X≤q)=0,05, sondern
P(X≤q)=0,95.
3. Symmetrisches Intervall: Eine mittlere Fläche wird zu zwei Grenzen
Ein um μ symmetrisches Intervall hat die Form
[μ−d;μ+d].
Links und rechts bleibt gleich viel Fläche übrig.
Beispiel 4: Mittlere 90 %
Bestimme das um μ=70 symmetrische Intervall, in dem die mittleren 90% der Punkte liegen.
Schritt 1: Gesamte Randfläche berechnen
Außerhalb des Intervalls liegen
100%−90%=10%.
Schritt 2: Randfläche halbieren
Wegen der Symmetrie liegen auf jeder Seite
210%=5%.
Schritt 3: Linke Fläche bis zur oberen Grenze bestimmen
Links von der oberen Grenze liegen
100%−5%=95%.
Also benötigen wir wieder
z0,95≈1,645.
Schritt 4: Abstand vom Erwartungswert berechnen
d=z⋅σ
d=1,645⋅8
d=13,16.
Schritt 5: Beide Grenzen bestimmen
Untere Grenze:
a=μ−d
a=70−13,16
a=56,84.
Obere Grenze:
b=μ+d
b=70+13,16
b=83,16.
Schritt 6: Intervall und Bedeutung angeben
[56,84;83,16]
Die mittleren 90% der Punkte liegen ungefähr zwischen 56,84 und 83,16. Unterhalb und oberhalb dieses Intervalls liegen jeweils 5%.
Überlebensstrategie: Symmetrisches Intervall
Mittlere Fläche von 100% abziehen.
Rest durch 2 teilen.
Obere Linksfläche bestimmen.
Passendes Quantil berechnen.
Grenzen als μ−zσ und μ+zσ angeben.
4. Die drei σ-Regeln
Für normalverteilte Zufallsvariablen gelten die folgenden Näherungen:
P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,683
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954
P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997.
Bereich
Anteil im Bereich
Anteil außerhalb
μ±σ
ca. 68,3%
ca. 31,7%
μ±2σ
ca. 95,4%
ca. 4,6%
μ±3σ
ca. 99,7%
ca. 0,3%
Merke
Die σ-Regeln liefern schnelle Näherungen für ganz bestimmte symmetrische Intervalle. Für andere Prozentwerte - etwa 90% oder 99% - brauchst du das passende Quantil.
Beispiel 5: Abfüllgewicht
Das Abfüllgewicht einer Packung sei normalverteilt:
X∼N(500;42).
In welchem Bereich liegen nach der 2σ-Regel ungefähr 95,4% der Packungen?
Schritt 1: Passendes Intervall notieren
[μ−2σ;μ+2σ]
Schritt 2: Untere Grenze berechnen
500−2⋅4=492
Schritt 3: Obere Grenze berechnen
500+2⋅4=508
Schritt 4: Im Kontext antworten
Ungefähr 95,4% der Packungen wiegen zwischen 492g und 508g.
Typische Fehler sicher vermeiden
Fehler 1: Varianz und Standardabweichung verwechseln
Bei
X∼N(70;64)
ist die Varianz 64, aber die Standardabweichung
σ=64=8.
Fehler 2: Die falsche Fläche eingeben
„Nur 5% liegen darüber“ beschreibt 5% rechts, aber 95% links.
Fehler 3: Das Ergebnis ohne Kontext stehen lassen
0,8944
ist nur ein Rechenergebnis. Eine vollständige Antwort nennt Anteil, Bezugsgröße und Grenze.
Fehler 4: Ein beliebiges Intervall als symmetrisch behandeln
Ein Intervall [a;b] ist genau dann symmetrisch um μ, wenn
μ−a=b−μ.
Schritteliste für WS 3.5
1. Gegebenes Modell lesen
Bestimme μ und σ. Prüfe, ob in der Notation die Varianz σ2 steht.
2. Gesuchte Größe erkennen
Entscheide: Suchst du eine Wahrscheinlichkeit, ein Quantil oder zwei symmetrische Grenzen?
3. Ereignis mathematisch notieren
Schreibe die Situation als P(X≤b), P(X≥a), P(a≤X≤b) oder P(X≤q)=p.
4. Technologie passend verwenden
Gib Grenzen beziehungsweise Fläche sowie μ und σ ein. Verwende bei symmetrischen Intervallen auf beiden Seiten gleich große Randflächen.
5. Ergebnis prüfen und deuten
Vergleiche mit 50%, Symmetrie oder einer σ-Regel und formuliere einen vollständigen Antwortsatz im Kontext.
Matura-Check
Ich erkenne an der Fragestellung, ob eine Wahrscheinlichkeit oder ein Wert gesucht ist.
Ich übersetze „höchstens“, „mindestens“, „zwischen“ und „nur … % darüber“ korrekt.
Ich unterscheide σ von σ2.
Ich bestimme ein Quantil mit Technologie und kann seinen Wert deuten.
Ich teile bei einem symmetrischen Intervall die Restwahrscheinlichkeit gleich auf beide Seiten auf.
Ich kenne die Anteile 68,3%, 95,4% und 99,7%.
Ich prüfe mein Ergebnis und schreibe einen Antwortsatz mit Einheit und Kontext.
Für die SRP
WS 3.5 ist laut Grundkompetenzkatalog ab dem Haupttermin 2026/27 (Mai 2027) gültig.
Jetzt selbst untersuchen
Nutze den Explorer unterhalb der Theorie. Beginne mit μ=70 und σ=8 und teste nacheinander:
Warum wächst P(X≤x), wenn du x nach rechts verschiebst?
Wo liegt das Quantil, wenn nur 10% der Werte darüber liegen?
Wie verändern sich die Grenzen eines mittleren 95%-Intervalls, wenn σ größer wird?
Welche σ-Regel liegt am nächsten bei 95%?
Prüfe, ob μ, σ und alle Grenzen dieselbe Einheit besitzen.
