Integralmittelwerte

Kompetenzcode: AN 4.6

Bereich: Analysis

Der Integralmittelwert beantwortet eine einfache Frage:

Welcher konstante Funktionswert beschreibt die Funktion über das ganze Intervall im Durchschnitt?

In der Formelsammlung heißt dieser Wert auch linearer Mittelwert. Auf dieser Seite verwenden wir dafür den anschaulicheren Namen Integralmittelwert.

1. Warum reicht ein einzelner Funktionswert nicht?

Eine Funktion kann sich im Intervall $[a;b]$ stark verändern. Der Anfangswert $f(a)$, der Endwert $f(b)$ oder ein beliebiger Wert dazwischen beschreibt dann nicht das gesamte Intervall.

Der Integralmittelwert berücksichtigt alle Funktionswerte zwischen $a$ und $b$. Das bestimmte Integral sammelt ihre Beiträge. Anschließend wird durch die Intervallbreite geteilt.

Das ist dieselbe Grundidee wie bei

$$\text{Durchschnitt} = \frac{\text{gesamte Menge}}{\text{gesamte Breite oder Dauer}}.$$

2. Die Formel

Für $a<b$ lautet der Integralmittelwert von $f$ auf $[a;b]$:

$$\boxed{ \overset{\text{Integralmittelwert}}{\bar f} = \frac{ \overbrace{\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx}^{\text{gesammelter Funktionsbeitrag}} }{ \underbrace{b-a}_{\text{Intervallbreite}} } }$$

Man schreibt auch

$$m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Beide Schreibweisen bedeuten dasselbe.

Die Bestandteile der Formel

3. Die Rechteckidee

Der Integralmittelwert kann als Höhe eines Rechtecks verstanden werden.

Das Rechteck

• beginnt bei $a$,
• endet bei $b$,
• hat die Breite $b-a$,
• hat die Höhe $\bar f$.

Sein vorzeichenbehafteter Flächeninhalt ist

$$A_{\mathrm R}=(b-a)\cdot\bar f.$$

Dieser Wert soll gleich dem bestimmten Integral sein:

$$\underbrace{(b-a)\cdot\bar f}_{\text{Rechteck}} = \underbrace{\int_a^b f(x)\,dx}_{\text{Funktion}}.$$

Teilt man beide Seiten durch $b-a$, erhält man die Mittelwertformel.

Der Explorer auf dieser Seite zeigt genau diese Idee: Das violette Rechteck und der Bereich zur Funktion besitzen denselben vorzeichenbehafteten Flächeninhalt.

4. Ein Integralmittelwert wird in vier Schritten berechnet

1. Grenzen $a$ und $b$ bestimmen.
2. Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ berechnen.
3. Die Intervallbreite berechnen.

Als Formelablauf:

$$f(x) \longrightarrow \int_a^b f(x)\,dx \longrightarrow \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a} \longrightarrow \bar f.$$

5. Grundbeispiel

Bestimme den Integralmittelwert von

$$f(x)=x^2+1$$

auf dem Intervall ([0;3]).

Schritt 1: Grenzen und Intervallbreite

$$a=0,\qquad b=3,\qquad b-a=3.$$

Schritt 2: Bestimmtes Integral

Eine Stammfunktion ist

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+x.$$

Damit gilt

$$\begin{aligned} \int_0^3(x^2+1)\,dx &=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^3\\ &=\left(\frac{27}{3}+3\right)-0\\ &=12. \end{aligned}$$

Schritt 3: Durch die Intervallbreite teilen

$$\begin{aligned} \bar f &=\frac{1}{3-0}\int_0^3(x^2+1)\,dx\\ &=\frac{12}{3}\\ &=4. \end{aligned}$$

Antwort

$$\boxed{\bar f=4}$$

Der durchschnittliche Funktionswert von $f(x)=x^2+1$ auf $[0;3]$ ist $4$.

6. Nicht mit dem Mittel der Randwerte verwechseln

Ein häufiger Fehler ist

$$\frac{f(a)+f(b)}{2}.$$

Im Grundbeispiel wäre das

$$\frac{f(0)+f(3)}{2} = \frac{1+10}{2} =5{,}5.$$

Der richtige Integralmittelwert ist aber (4).

Der Grund ist einfach: Das Mittel der Randwerte verwendet nur zwei Funktionswerte. Der Integralmittelwert berücksichtigt das gesamte Intervall.

Sonderfall: lineare Funktion

Bei einer linearen Funktion stimmen beide Werte überein. Zum Beispiel ist für

$$f(x)=2x+1$$

auf ([1;5]):

$$\bar f=7$$

und auch

$$\frac{f(1)+f(5)}{2} = \frac{3+11}{2} =7.$$

Das ist eine besondere Eigenschaft linearer Funktionen und keine allgemeine Regel.

7. Nicht mit einem diskreten Mittelwert verwechseln

Für endlich viele Zahlen (y_1,y_2,\dots,y_n) verwendet man das arithmetische Mittel

$$\bar y=\frac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}.$$

Das ist ein diskreter Mittelwert: Es gibt einzelne Werte.

Der Integralmittelwert gehört zu einer kontinuierlichen Funktion. Statt einer Summe verwendet man ein Integral, und statt durch die Anzahl $n$ teilt man durch die Intervallbreite $b-a$:

$$\underbrace{\frac{y_1+\dots+y_n}{n}}_{\text{einzelne Werte}} \qquad\longleftrightarrow\qquad \underbrace{\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx}_{\text{kontinuierliche Funktion}}.$$

8. Vorzeichenbehaftete Fläche beachten

Das bestimmte Integral ist eine vorzeichenbehaftete Fläche:

• Bereiche oberhalb der $x$-Achse zählen positiv.
• Bereiche unterhalb der $x$-Achse zählen negativ.

Deshalb kann der Integralmittelwert negativ sein oder null ergeben.

Beispiel mit negativem Mittelwert

Für

$$f(x)=x$$

auf ([-2;1]) gilt

$$\begin{aligned} \bar f &=\frac{1}{1-(-2)}\int_{-2}^{1}x\,dx\\ &=\frac13\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1}\\ &=\frac13\left(\frac12-2\right)\\ &=-\frac12. \end{aligned}$$

Obwohl ein Teil des Graphen oberhalb der $x$-Achse liegt, überwiegt der negative Beitrag.

Beispiel mit Mittelwert null

Für $f(x)=\sin(x)$ über eine ganze Periode $[0;2\pi]$ heben sich positive und negative Beiträge auf:

$$\bar f = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin(x)\,dx =0.$$

Das bedeutet nicht, dass die Funktion überall null ist. Es bedeutet nur, dass ihr durchschnittlicher Funktionswert über die ganze Periode null ist.

9. Einheiten richtig deuten

Der Integralmittelwert hat dieselbe Einheit wie die Funktion $f$.

Warum? Das Integral hat die Einheit

$$[f]\cdot[x].$$

Durch die Division durch die Intervallbreite mit der Einheit $[x]$ bleibt

$$\frac{[f]\cdot[x]}{[x]}=[f].$$

Beispiel: Geschwindigkeit

Ist $v(t)$ eine Geschwindigkeit in $\mathrm{km/h}$ und $t$ die Zeit in Stunden, dann ist

$$\int_a^b v(t)\,dt$$

die zurückgelegte Strecke in Kilometern, sofern die Geschwindigkeit nicht negativ ist.

Die mittlere Geschwindigkeit ist

$$\bar v = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt.$$

Ihre Einheit ist wieder $\mathrm{km/h}$.

In Worten:

mittlere Geschwindigkeit = gesamte Strecke geteilt durch gesamte Zeit.

Beispiel: Leistung und Energie

Ist $P(t)$ eine Leistung in Kilowatt und $t$ die Zeit in Stunden, dann beschreibt

$$\int_a^b P(t)\,dt$$

die Energie in Kilowattstunden. Durch Division durch $b-a$ erhält man die mittlere Leistung in Kilowatt.

10. Den Wert im Kontext formulieren

Eine vollständige Antwort besteht nicht nur aus einer Zahl.

Statt

Das Ergebnis ist $18$.

schreibt man zum Beispiel:

Die Temperatur beträgt im Zeitraum von 8 Uhr bis 14 Uhr im Mittel $18\,{}^\circ\mathrm C$.

Eine gute Interpretation enthält:

1. die betrachtete Größe,
2. das betrachtete Intervall,
3. den Mittelwert,
4. die passende Einheit.

11. Plausibilitätskontrollen

Kontrolle 1: Wert zwischen Minimum und Maximum

Ist $f$ auf $[a;b]$ stetig, dann gilt

$$\min_{x\in[a;b]}f(x) \leq \bar f \leq \max_{x\in[a;b]}f(x).$$

Liegt der berechnete Mittelwert außerhalb dieses Bereichs, ist die Rechnung falsch.

Kontrolle 2: Konstante Funktion

Für $f(x)=k$ muss der Mittelwert wieder $k$ sein:

$$\frac{1}{b-a}\int_a^b k\,dx = \frac{k(b-a)}{b-a} =k.$$

Kontrolle 3: Flächengleichheit

Multipliziert man den Mittelwert wieder mit der Intervallbreite, muss der Integralwert entstehen:

$$(b-a)\cdot\bar f \overset{?}{=} \int_a^b f(x)\,dx.$$

Kontrolle 4: Einheit

Die Einheit von $\bar f$ muss zur Einheit von $f$ passen.

12. Berechnung mit Technologie

Ein elektronisches Hilfsmittel kann das bestimmte Integral direkt berechnen. Der Lösungsweg bleibt trotzdem erkennbar:

1. Funktion und Intervall eingeben.
2. Das bestimmte Integral berechnen.
3. Durch $b-a$ teilen.
4. Ergebnis mit Graph, Größenordnung und Einheit prüfen.

Die Technologie liefert den Integralwert. Die Bedeutung des Ergebnisses muss selbst erklärt werden.

13. Typische Fehler

Fehler 1: Division durch die Intervallbreite vergessen

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

ist der Gesamtbeitrag, noch nicht der durchschnittliche Funktionswert.

Fehler 2: Durch $b$ statt durch $b-a$ teilen

Die Breite des Intervalls ist immer

$$b-a.$$

Nur wenn $a=0$ ist, gilt zufällig $b-a=b$.

Fehler 3: Randwertmittel verwenden

$$\bar f\neq\frac{f(a)+f(b)}{2}$$

gilt im Allgemeinen.

Fehler 4: Geometrische statt vorzeichenbehaftete Fläche verwenden

Für den Integralmittelwert werden negative Beiträge nicht positiv gemacht.

Fehler 5: Grenzen vertauschen

Für die Mittelwertformel wird das Intervall mit $a<b$ notiert.

Fehler 6: Einheit weglassen

In einer Sachaufgabe ist die Zahl ohne Bedeutung und Einheit unvollständig.

14. Allgemeiner Arbeitsplan

1. Funktion $f$ und Intervall $[a;b]$ notieren.
2. Prüfen, dass $a<b$ gilt.
3. Das bestimmte Integral berechnen.
4. Die Intervallbreite $b-a$ bestimmen.

Merksätze

• Der Integralmittelwert berücksichtigt die ganze Funktion auf dem Intervall.
• Es gilt $\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.