Bewege die beiden Regler. Beobachte, wie sich die Gerade von f(x) = k · x + d verändert. Ändere zunächst nur einen Parameter und halte den anderen fest.
Aktuelle Funktion
f(x) = 1,5 · x + 1
Ändere nur k: Die Gerade dreht sich um den festen Punkt (0 | 1).
Ändere nur d: Die Gerade wird parallel nach oben oder unten verschoben.
Wirkung von k
Die Gerade steigt und verläuft steil. Bei Δx = 1 gilt Δy = 1,5.
Wirkung von d
Die Gerade schneidet die y-Achse bei (0 | 1). Beim Verändern von d bleibt die Steigung unverändert.
Wirkung der k und d
Kompetenzcode: FA 2.3 Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Bei der linearen
f(x)=kx+d
bestimmen und gemeinsam den Verlauf der Geraden.
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
FA 2.3 – Parameterrollen sicher unterscheiden
k als und d als y-Achsenabschnitt verstehen und Sonderfälle erkennen.
1
Form kx+d lesen
k und d identifizieren.
2
k deuten
Vorzeichen und Betrag getrennt beschreiben.
3
d deuten
f(0) und y-Achsenabschnitt erklären.
4
Sonderfall k=0
Waagrechte Gerade erkennen.
5
Sonderfall d=0
Ursprungsgerade erkennen.
FA 2.3 – Wirkung von k experimentell untersuchen
Bei festem d nur k verändern und veränderte sowie feste Eigenschaften beschreiben.
1
d festhalten
Digitales Werkzeug
GeoGebra
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra-Hinweise zu FA 2.3
Das integrierte interaktive Element ist die primäre Visualisierung. GeoGebra kann ergänzend zur Kontrolle eingesetzt werden.
Sinnvolle Einsätze
Schieberegler k und d anlegen.
f(x)=k*x+d darstellen.
Bei festem d mehrere Werte von k vergleichen.
Bei festem mehrere Werte von vergleichen.
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Experimentiere zuerst mit der interaktiven Darstellung: Verändere nur einen Regler und halte den anderen fest. Beschreibe anschließend, was sich verändert und was gleich bleibt.
1. Zwei Parameter – zwei Wirkungen
f(x)=kSteigung⋅x+dy-Achsenabschnitt.
Parameter
Wirkung
k
bestimmt Richtung und Steilheit
d
bestimmt den Schnittpunkt mit der y-Achse
k verändern
die Gerade dreht sich um (0∣d)
d verändern
die Gerade wird parallel verschoben
Grundregel: Beim Untersuchen einer Parameterwirkung wird immer nur ein Parameter verändert. Der andere bleibt fest.
2. Die Wirkung von k
Wir betrachten
fk(x)=kx+2.
Der Parameter d=2 bleibt fest:
fk(0)=k⋅0+2=2.
Alle Geraden verlaufen durch (0∣2). Wird k verändert, dreht sich die Gerade um diesen festen Punkt.
Vorzeichen von k
k>0: Die Gerade steigt.
k<0: Die Gerade fällt.
k=0: Die Gerade ist waagrecht.
Betrag von k
großes ∣k∣: steile Gerade
kleines ∣k∣: flache Gerade
∣k∣=1: Änderung um genau 1 pro x-Einheit
kSteigung=ΔxΔyA¨nderung pro x-Einheit.
Vergleiche
f(x)=x+2,g(x)=3x+2,h(x)=−2x+2.
Alle drei Funktionen haben d=2. f steigt flacher, g steigt steiler und h fällt.
Merksatz:k verändert Richtung und Steilheit, aber nicht den Punkt (0∣d).
3. Die Wirkung von d
Nun betrachten wir
fd(x)=2x+d.
Der Parameter k=2 bleibt fest. Vergleiche:
f(x)=2x−3,g(x)=2x,h(x)=2x+4.
Alle Geraden haben dieselbe und sind parallel.
d=−3: y-Achsenabschnitt (0∣−3)
d=0: Schnittpunkt im Ursprung
d=4: y-Achsenabschnitt (0∣4)
Wird d um 3 erhöht, steigen alle Funktionswerte um 3:
g(x)h(x)=2x+d,=2x+(d+3)=g(x)+3.
Merksatz:d verschiebt die Gerade parallel nach oben oder unten. Richtung und Steilheit bleiben gleich.
4. Was bleibt jeweils gleich?
Nur k wird verändert
Bei festem d bleibt
f(0)=d
unverändert. Alle Geraden verlaufen durch (0∣d).
Nur d wird verändert
Bei festem k bleibt
x2−x1f(x2)−f(x1)=k
unverändert. Alle verschiedenen Geraden sind parallel.
5. Parameterwirkung in Tabellen
Nur k verändert sich
x
0
1
2
f(x)=x+1
1
2
3
g(x)=3x+1
1
4
7
Beide Funktionen besitzen denselben Startwert. Die Änderungen pro x-Einheit sind 1 beziehungsweise 3.
Nur d verändert sich
x
0
1
2
p(x)=2x−1
−1
1
3
q(x)=2x+3
3
5
7
Die Funktionswerte unterscheiden sich immer um 4. Die Änderung pro x-Einheit bleibt 2.
6. Besondere Parameterwerte
k=0
f(x)=d.
Der Graph ist waagrecht.
d=0
f(x)=kx.
Der Graph verläuft durch den Ursprung. Für k=0 liegt direkte Proportionalität vor.
k=0 und d=0
f(x)=0.
Der Graph ist die x-Achse.
7. Parameterbedingungen
gewünschte Eigenschaft
Bedingung
steigend
k>0
fallend
k<0
waagrecht
k=0
durch den Ursprung
d=0
durch (0∣5)
d=5
parallele verschiedene Geraden
k1=k2, d
8. Parameter im Kontext deuten
Taxikosten
K(x)=2,4x+5.
k=2,4€/km: Preis pro Kilometer
d=5€: Grundgebühr
Wird k erhöht, wird jede zusätzliche Strecke teurer. Wird d erhöht, steigen alle Fahrtpreise um denselben Betrag.
Wassertank
W(t)=500−20t.
k=−20l/min: Abnahme pro Minute
d=500l: Anfangsinhalt
Ein stärker negatives k bedeutet schnelleres Entleeren. Ein größeres d bedeutet mehr Wasser zu Beginn.
Einheiten:k besitzt die Einheit „Ausgabe-Einheit pro Eingabe-Einheit“. d besitzt die Einheit der Ausgabegröße.
9. Zwei Parameter gleichzeitig vergleichen
Vergleiche
f(x)=2x+1undg(x)=−3x+4.
Hier verändern sich beide Parameter:
kf=2,df=1,kg=−3,dg=4.
Eine vollständige Beschreibung nennt beide Wirkungen:
g fällt statt zu steigen.
g ist steiler, weil ∣−3∣>∣2∣.
g schneidet die y-Achse weiter oben.
10. Typische Fehler
k und d vertauschen.
Nur das Vorzeichen von k betrachten und die Steilheit vergessen.
„Größeres k“ mit „steiler“ gleichsetzen, ohne ∣k∣ zu vergleichen.
Bei verändertem k eine Parallelverschiebung behaupten.
Bei verändertem d eine Drehung behaupten.
d als Schnittpunkt mit der x-Achse bezeichnen.
Mehrere Parameter gleichzeitig verändern und ihre Wirkungen vermischen.
Direkte Proportionalität behaupten, obwohl d=0.
11. Arbeitsplan
Beide Funktionen in die Form f(x)=kx+d bringen.
k-Werte und d-Werte getrennt vergleichen.
Wirkung von k beschreiben:
steigend, fallend oder waagrecht,
steiler oder flacher.
Wirkung von d beschreiben:
y-Achsenabschnitt,
Verschiebung nach oben oder unten.
Festhalten, was unverändert bleibt.
Im Kontext Einheiten und Bedeutung angeben.
Mit Tabelle, Graph oder Einsetzen kontrollieren.
Kontrollfrage: Habe ich die Wirkungen von k und d getrennt beschrieben?
Nur k verändern.
2
Richtung bestimmen
k>0, k<0 und k=0 unterscheiden.
3
Steilheit vergleichen
|k| verwenden.
4
Festen Punkt erkennen
(0|d) begründen.
5
Vermutung prüfen
f(0)=d einsetzen.
FA 2.3 – Wirkung von d experimentell untersuchen
Bei festem k nur d verändern und Parallelverschiebungen erklären.
1
k festhalten
Nur d verändern.
2
Achsenschnitt verfolgen
(0|d) beobachten.
3
Parallelität erkennen
Gleiche begründen.
4
Verschiebung quantifizieren
Änderung aller deuten.
5
Vermutung prüfen
Tabelle oder Differenzenquotient vergleichen.
FA 2.3 – Parameter in Kontexten deuten
Änderungen von k und d mit Einheiten in realen Situationen beschreiben.
1
Größen klären
Eingabe und Ausgabe benennen.
2
k deuten
Ausgabe-Einheit pro Eingabe-Einheit.
3
d deuten
Ausgabewert bei Eingabe 0.
4
Änderung beschreiben
Folge einer Parameteränderung formulieren.
5
Plausibilität prüfen
Sinnvollen Bereich beachten.
FA 2.3 – Vergleichen, begründen und Fehler vermeiden
Zwei systematisch vergleichen und typische Fehlschlüsse korrigieren.
1
Gleichungen ordnen
Beide als kx+d schreiben.
2
k-Werte vergleichen
Richtung und Steilheit beurteilen.
3
d-Werte vergleichen
Achsenschnitt und Verschiebung beschreiben.
4
Bedingungen formulieren
k>0, k=0 oder d=0 verwenden.
5
Fehler kontrollieren
Parameterwirkungen nicht vermischen.
FA 2.3 – Positive Steigung deuten
Die Wirkung eines positiven Parameters k auf den Graphen beschreiben.
1
Parameter k betrachten
Prüfe das Vorzeichen des Steigungsparameters.
2
Positiven Fall erkennen
Für k>0 ist die positiv.
3
Graphverlauf ableiten
Die Gerade steigt von links nach rechts.
4
Funktionswerte vergleichen
Bei größerem x werden auch die größer.
5
Steilheit getrennt betrachten
Der Betrag von k bestimmt, wie steil die Gerade steigt.
6
Wirkung formulieren
Beschreibe k>0 als steigenden linearen Zusammenhang.
FA 2.3 – Negative Steigung deuten
Die Wirkung eines negativen Parameters k auf den Graphen beschreiben.
1
Parameter k betrachten
Prüfe das Vorzeichen des Steigungsparameters.
2
Negativen Fall erkennen
Für k<0 ist die negativ.
3
Graphverlauf ableiten
Die Gerade fällt von links nach rechts.
4
Funktionswerte vergleichen
Bei größerem x werden die kleiner.
5
Steilheit getrennt betrachten
Der Betrag von k bestimmt, wie steil die Gerade fällt.
6
Wirkung formulieren
Beschreibe k<0 als fallenden linearen Zusammenhang.
FA 2.3 – Steigung null deuten
Die Wirkung von k = 0 auf den Graphen beschreiben.
1
Parameter k prüfen
Setze k=0 in die lineare Form f(x)=k·x+d ein.
2
x-Term vereinfachen
Der 0·x verschwindet.
3
Konstante Funktion erkennen
Es bleibt f(x)=d.
4
Graphform deuten
Der Graph ist eine waagrechte Gerade.
5
Änderung beschreiben
Der bleibt für alle zulässigen x gleich.
6
Wirkung formulieren
Erkläre k=0 als linearen Sonderfall ohne Zu- oder Abnahme.
FA 2.3 – Änderung von k grafisch beschreiben
Beschreiben, wie eine Veränderung von k den Graphen beeinflusst.
1
Ausgangswert von k festhalten
Bestimme die ursprüngliche .
2
Neuen Wert von k vergleichen
Prüfe Vorzeichen und Betrag des veränderten Parameters.
3
Vorzeichenwirkung deuten
Ein Vorzeichenwechsel von k kehrt Steigen und Fallen um.
4
Betragswirkung deuten
Ein größerer Betrag von k macht die Gerade steiler, ein kleinerer Betrag flacher.
5
d konstant halten
Bei unverändertem d bleibt der y-Achsenabschnitt gleich.
6
Grafische Änderung formulieren
Beschreibe die Drehung beziehungsweise Steilheitsänderung der Geraden um den festen y-Achsenabschnitt.
FA 2.3 – Änderung von d grafisch beschreiben
Beschreiben, wie eine Veränderung von d den Graphen vertikal verschiebt.
1
Ausgangswert von d festhalten
Bestimme den ursprünglichen y-Achsenabschnitt.
2
Neuen Wert von d vergleichen
Berechne oder erkenne die Änderung von d.
3
k konstant halten
Bei unverändertem k bleibt die gleich.
4
Vertikale Verschiebung erkennen
Ein größeres d verschiebt die Gerade nach oben, ein kleineres d nach unten.
5
Parallelität folgern
Geraden mit gleichem k und verschiedenem d sind parallel.
6
Grafische Änderung formulieren
Beschreibe die Verschiebung um genau die Änderung des Parameters d.
FA 2.3 – Parameteränderung im Kontext deuten
Eine Veränderung von k oder d im Sachkontext interpretieren.
1
Parameter im Modell identifizieren
Ordne k und d den Größen der linearen zu.
2
k als Änderungsrate deuten
k beschreibt die Änderung der Ausgangsgröße pro einer Einheit der Eingangsgröße.
3
d als Anfangswert deuten
d beschreibt den Modellwert bei x=0.
4
Geänderten Parameter bestimmen
Prüfe, ob k oder d verändert wurde.
5
Sachwirkung ableiten
Eine Änderung von k verändert die Rate, eine Änderung von d den Ausgangswert.
6
Kontextsatz formulieren
Beschreibe die Parameteränderung mit Betrag und passenden Einheiten im Sachkontext.
FA 2.3 – Graph aus Parametern skizzieren
Aus gegebenen Werten für k und d den Graphen einer linearen skizzieren.
1
Parameter ablesen
Bestimme k und d aus der gegebenen linearen .
2
y-Achsenabschnitt eintragen
Markiere den Punkt (0|d).
3
Steigung als Schritt lesen
Interpretiere k als Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung.
4
Zweiten Punkt konstruieren
Gehe vom y-Achsenabschnitt entsprechend dem Steigungsdreieck zu einem weiteren Punkt.
5
Gerade zeichnen
Ziehe die Gerade durch die beiden Punkte.
6
Skizze prüfen
Kontrolliere Steigen oder Fallen sowie den korrekten y-Achsenabschnitt.
k
d
Den Punkt (0,d) markieren.
Parallele Geraden mit gleichem k kontrollieren.
Versuchsanordnung
k = Slider(-4, 4, 0.5)
d = Slider(-4, 4, 0.5)
f(x) = k*x + d
A = (0, d)
Nicht ausreichend
Nur Regler bewegen, ohne die Wirkung sprachlich zu beschreiben.
k und d gleichzeitig verändern und Wirkungen vermischen.
Parallelität oder Drehung nur nach Augenmaß behaupten.
Kontextparameter ohne Einheit deuten.
Tutorregel
Zuerst nur einen verändern, eine Vermutung formulieren und diese anschließend mathematisch begründen.
