Formeln nach einer Variablen umstellen

Eine Formel beschreibt einen Zusammenhang zwischen mehreren Größen. Beim Umstellen wird eine ausgewählte Variable allein auf eine Seite gebracht.

Die Regeln sind dieselben wie bei Gleichungen: Nach einem Schrägstrich wird eine Operation notiert, die auf beiden Seiten ausgeführt wird.

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1. Zielvariable markieren

Gegeben ist

$$A=a\cdot b.$$

Gesucht ist $b$.

Die Variable $b$ wird mit $a$ multipliziert. Die Gegenoperation ist die Division durch $a$:

$$\begin{aligned} A&=a\cdot b && /\,:a \\ \frac{A}{a}&=b \\ b&=\frac{A}{a}. \end{aligned}$$

Voraussetzung:

$$a\neq0.$$

Die letzte Zeile wird mit der Zielvariable links notiert.

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2. Eine Formel mit Addition umstellen

Gegeben ist

$$y=kx+d.$$

Gesucht ist $d$.

$d$ wird zu $kx$ addiert. Deshalb wird $kx$ auf beiden Seiten subtrahiert:

$$\begin{aligned} y&=kx+d && /\,-kx \\ y-kx&=d \\ d&=y-kx. \end{aligned}$$

Andere Variablen werden beim Umstellen wie bekannte Zahlen behandelt.

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3. Eine Formel in mehreren Schritten umstellen

Gegeben ist wieder

$$y=kx+d,$$

nun gesucht ist $x$.

Schritt 1: Den Summanden $d$ entfernen.

$$\begin{aligned} y&=kx+d && /\,-d \\ y-d&=kx. \end{aligned}$$

Schritt 2: Den Faktor $k$ entfernen.

$$\begin{aligned} y-d&=kx && /\,:k \\ \frac{y-d}{k}&=x. \end{aligned}$$

Schritt 3: Zielvariable links notieren.

$$x=\frac{y-d}{k}.$$

Voraussetzung:

$$k\neq0.$$

Die Klammerwirkung im Zähler ist wichtig: Der gesamte Ausdruck $y-d$ wird durch $k$ dividiert.

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4. Rechteckumfang nach einer Seite umstellen

Gegeben ist

$$U=2a+2b.$$

Gesucht ist $a$.

$$\begin{aligned} U&=2a+2b && /\,-2b \\ U-2b&=2a && /\,:2 \\ \frac{U-2b}{2}&=a \\ a&=\frac{U-2b}{2}. \end{aligned}$$

Nicht richtig wäre

$$a=U-\frac{2b}{2},$$

weil beim Dividieren durch $2$ die gesamte linke Seite geteilt werden muss.

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5. Formeln mit einem Quotienten

Gegeben ist

$$v=\frac{s}{t}.$$

Nach $s$ umstellen

$s$ steht im Zähler. Zuerst wird der Nenner $t$ beseitigt:

$$\begin{aligned} v&=\frac{s}{t} && /\,\cdot t \\ v\cdot t&=s \\ s&=v\cdot t. \end{aligned}$$

Voraussetzung der Ausgangsformel:

$$t\neq0.$$

Nach $t$ umstellen

$$\begin{aligned} v&=\frac{s}{t} && /\,\cdot t \\ v\cdot t&=s && /\,:v \\ t&=\frac{s}{v}. \end{aligned}$$

Zusätzlich muss hier

$$v\neq0$$

gelten, weil durch $v$ dividiert wird.

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6. Eine Formel mit einer Summe im Zähler

Gegeben ist

$$z=\frac{x+4}{3}.$$

Gesucht ist $x$.

$$\begin{aligned} z&=\frac{x+4}{3} && /\,\cdot3 \\ 3z&=x+4 && /\,-4 \\ 3z-4&=x \\ x&=3z-4. \end{aligned}$$

Zuerst wird der Nenner entfernt. Erst danach wird der Summand $4$ beseitigt.

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7. Kontrolle durch Rückeinsetzen

Aus

$$A=a\cdot b$$

wurde

$$b=\frac{A}{a}$$

gewonnen. Nun wird dieser Ausdruck für $b$ in die Ausgangsformel eingesetzt:

$$\begin{aligned} a\cdot b &=a\cdot\frac{A}{a} \\ &=A \qquad (a\neq0). \end{aligned}$$

Damit entsteht wieder die linke Seite $A$. Die Umstellung ist bestätigt.

Eine zusätzliche Kontrolle ist die Einheit. Aus

$$A=a\cdot b$$

folgt beispielsweise

$$\mathrm{cm}=\frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{cm}},$$

was zur Einheit einer Seitenlänge passt.

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8. Typische Fehler

• Die Zielvariable wird vor Beginn nicht eindeutig festgelegt.
• Eine Operation wird nur auf einer Seite ausgeführt.
• Nach dem Schrägstrich werden mehrere Operationen gleichzeitig notiert.
• Beim Dividieren wird nur ein Teil einer Summe geteilt.
• Der Nenner wird nicht zuerst beseitigt.
• Eine notwendige Voraussetzung wie $k\neq0$ fehlt.
• Die Zielvariable steht am Ende nicht allein.

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9. Zusammenfassung

1. Zielvariable markieren.
2. Äußerste störende Rechenoperation erkennen.
3. Gegenoperation nach dem Schrägstrich notieren.
4. Operation auf beiden Seiten ausführen.
5. Vollständig vereinfachen.
6. Wiederholen, bis die Zielvariable allein steht.
7. Zielvariable links notieren.
8. Durch Rückeinsetzen und Einheiten kontrollieren.