Potenzen und Quadratwurzeln

Potenzen verkürzen wiederholte Multiplikationen. Quadratwurzeln beantworten die umgekehrte Frage: Welche nichtnegative Zahl wurde mit sich selbst multipliziert?

1. Basis und Exponent

• $a$ heißt Basis.
• $n$ heißt Exponent.
• Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.

Beispiel

Die Potenz $3^4$ bedeutet nicht $3\cdot4$.

2. Besondere Exponenten

Für jede Zahl $a$ gilt:

Für $a\neq0$ gilt außerdem:

Beispiele:

Der Ausdruck $0^0$ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

3. Negative Basis und Klammern

Klammern entscheiden darüber, ob das Minuszeichen zur Basis gehört.

Negative Basis in Klammern

Minuszeichen außerhalb der Potenz

Daher gilt:

Gerader und ungerader Exponent

Bei einer negativen Basis gilt:

• gerader Exponent $\Rightarrow$ positives Ergebnis,
• ungerader Exponent $\Rightarrow$ negatives Ergebnis.

4. Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

Ausführliches Beispiel

In verkürzter Form:

5. Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Bei gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Die Basis darf dabei nicht null sein.

Beispiel

6. Eine Potenz potenzieren

Wird eine Potenz nochmals potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Beispiel

Die Exponenten werden hier multipliziert, nicht addiert.

7. Eine zusammengesetzte Potenzrechnung

Alle Potenzen haben dieselbe Basis $-2$.

Kontrolle durch Ausschreiben:

8. Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel aus $a$ ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt.

Merksatz: Das Wurzelzeichen $\sqrt{\phantom{x}}$ bezeichnet bei reellen Zahlen die nichtnegative Quadratwurzel.

Deshalb gilt:

und nicht $\pm5$. Die Gleichung $x^2=25$ besitzt dagegen zwei Lösungen: $x=5$ und $x=-5$.

9. Quadratwurzeln bestimmen oder abschätzen

Exakte Wurzel

Wurzel zwischen zwei ganzen Zahlen

Da

folgt:

$50$ liegt nur wenig über $49$. Daher liegt $\sqrt{50}$ nur wenig über $7$.

10. Regeln, die nicht gelten

Im Allgemeinen gilt nicht:

Gegenbeispiel:

aber

Ebenso gilt im Allgemeinen nicht:

11. Typische Fehler

• Die Potenz wird als Multiplikation von Basis und Exponent gelesen.
• Klammern bei negativen Basen werden übersehen.
• Exponenten werden bei einer Potenz von einer Potenz addiert statt multipliziert.
• Potenzregeln werden bei verschiedenen Basen angewendet.
• Die Quadratwurzel wird mit zwei Vorzeichen angegeben.
• Wurzeln werden unzulässig über Summen verteilt.

12. Zusammenfassung

• Der Exponent gibt die Anzahl gleicher Faktoren an.
• Bei einer negativen Basis gehören die Klammern zur Schreibweise.
• Gleiche Basis beim Multiplizieren: Exponenten addieren.
• Gleiche Basis beim Dividieren: Exponenten subtrahieren.
• Potenz von einer Potenz: Exponenten multiplizieren.
• Quadratwurzeln werden durch Quadrieren kontrolliert.