Verändere die Werte und beobachte, wie Potenzschreibweise, ausführliche Darstellung und Ergebnis zusammenhängen.
Potenz
24
Wiederholte Multiplikation
2 · 2 · 2 · 2
Ergebnis
16
Merke: Ein positiver ganzzahliger Exponent beschreibt wiederholte Multiplikation. Ein negativer Exponent führt zum Kehrwert. Ein rationaler Exponent beschreibt eine Kombination aus Potenz und Wurzel: Der Nenner bestimmt die Wurzel, der Zähler die Potenz.
Potenzen schreiben wiederholte Multiplikationen kurz. führen diese Idee in umgekehrter Richtung weiter.
Bei
3Exponentin
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
MG 1.4 – Potenzschreibweise deuten
Basis und benennen und eine Potenz als wiederholte Multiplikation deuten.
1
Potenz erkennen
Betrachte einen Ausdruck der Form an.
2
Basis benennen
Die Zahl oder der a ist die Basis.
3
Exponent benennen
Die Zahl n ist der und gibt bei natürlichem n an, wie oft die Basis als vorkommt.
4
Als Produkt schreiben
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Die Begründung lautet: Beim Multiplizieren werden alle gleichen Faktoren hintereinander geschrieben; ihre Anzahl ist die Summe der beiden Exponenten.
Rationalen Exponenten als Wurzel deuten
Ein rationaler Exponent ist ein Bruch. Sein Nenner beschreibt den Wurzelgrad, sein Zähler die Potenz:
anm=nam.
Besonders wichtig ist
an1=na.
Beispiel:
1621=Nenner 2⇒ Quadratwurzel16=4.
Und
832=Nenner 3⇒ dritte Wurzel382=364=4.
Im reellen Grundkompetenzbereich müssen die jeweiligen Definitionsbedingungen beachtet werden; bei geradem Wurzelgrad ist der Radikand nichtnegativ.
Bitte was? Bei einer geraden Wurzel – etwa einer Quadratwurzel oder vierten Wurzel – darf unter dem Wurzelzeichen keine negative Zahl stehen. „Definitionsbedingung“ heißt nur: Welche Zahlen darfst du überhaupt einsetzen?
Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben
Die Umformung funktioniert auch in die andere Richtung:
na=an1.
Mit einer zusätzlichen Potenz gilt:
nam=anm.
Beispiel:
3x2=Wurzelgrad 3⇒ Nennerx32.
Bei Quadratwurzeln wird der Wurzelgrad 2 normalerweise nicht angeschrieben:
x=x21.
Potenzgesetze mit rationalen Exponenten anwenden
Für zulässige reelle Ausdrücke gelten die bekannten Potenzgesetze auch mit rationalen Exponenten.
Achtung: Potenzgesetze dürfen nicht auf Summen oder Differenzen übertragen werden. Im reellen Bereich müssen die Definitionsbedingungen der rationalen Potenzen erfüllt sein.
Typische Fehler
an wird fälschlich als a⋅n gelesen.
Bei einer negativen Basis werden notwendige Klammern übersehen.
Beim Multiplizieren oder Dividieren werden Potenzgesetze trotz verschiedener Basen angewendet.
Bei (am)n werden die Exponenten addiert statt multipliziert.
Bei (a+b)n wird der Exponent unzulässig auf die Summe verteilt.
a−n wird als negative Zahl statt als Kehrwert verstanden.
a wird mit ± angegeben, obwohl das Wurzelzeichen die nichtnegative Wurzel bezeichnet.
Bei rationalen Exponenten werden Zähler und Nenner des Exponenten in ihrer Bedeutung vertauscht.
Das Wichtigste auf einen Blick
Potenzen sind Kurzschreibweisen für wiederholte Multiplikation.
Klammern entscheiden, ob ein Minuszeichen zur Basis gehört.
Quadrat und Quadratwurzel sind Umkehroperationen, wobei x2=∣x∣ gilt.
Gleiche Basis: beim Produkt Exponenten addieren, beim Quotienten subtrahieren.
Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.
Potenzen von Produkten und Quotienten können auf die einzelnen Faktoren beziehungsweise auf Zähler und Nenner verteilt werden.
Für a=0 gilt a0=1 und .
Rationale Exponenten und Wurzeln sind zwei Schreibweisen derselben Idee: am/n=nam.
Zum Beispiel bedeutet a4=a·a·a·a.
5
Nicht mit Multiplikation verwechseln
a4 bedeutet nicht a·4.
6
Bedeutung prüfen
Kontrolliere, ob Zahl der und übereinstimmen.
MG 1.4 – Potenzen berechnen
Potenzen mit natürlichen numerisch berechnen.
1
Basis und Exponent bestimmen
Lies aus der Potenz an die Basis a und den natürlichen n ab.
2
Wiederholte Multiplikation denken
Schreibe die Basis gedanklich n-mal als .
3
Schrittweise multiplizieren
Berechne das Produkt der nacheinander.
4
Vorzeichen beachten
Bei negativer Basis in Klammern entscheidet die Anzahl der negativen über das Vorzeichen.
5
Sonderfall Exponent 1 beachten
Es gilt a1=a.
6
Ergebnis prüfen
Vergleiche die Größenordnung mit der Basis und dem .
MG 1.4 – Klammern bei negativen Basen
Klammern bei negativen Basen in einer festen Reihenfolge bearbeiten. Jeder Rechen- oder Entscheidungsschritt wird sichtbar notiert und am Ende kontrolliert.
1
Minuszeichen lokalisieren
Es wird geprüft, ob das Minus innerhalb einer Klammer zur Basis oder außerhalb der Potenz steht.
2
Klammerumfang bestimmen
Nur Zeichen innerhalb der Klammer werden potenziert.
3
Exponent gerade oder ungerade prüfen
Bei negativer Basis entscheidet die Gerade- oder Ungerade-Eigenschaft über das Vorzeichen des Ergebnisses.
4
Vorzeichen vorhersagen
Das Vorzeichen wird vor der Betragsrechnung bestimmt und anschließend kontrolliert.
5
Potenz berechnen
Die Potenz wird bei Bedarf als Produkt ausgeschrieben und vollständig berechnet.
6
Mit Variante ohne Klammer vergleichen
(−a)n und −an werden getrennt berechnet; die Klammerwirkung wird sichtbar gemacht.
7
Regel erklären
Die Entscheidung wird mit Klammerumfang und geradem oder ungeradem begründet.
MG 1.4 – Zehnerpotenzen verwenden
Zehnerpotenzen mit positiven und negativen berechnen und deuten.
1
Exponent ablesen
Bestimme den ganzzahligen der Zehnerpotenz 10n.
2
Positiven Exponenten deuten
Für n>0 entsteht eine 1 mit n Nullen dahinter.
3
Exponent 0 beachten
Es gilt 100=1.
4
Negativen Exponenten deuten
Für n<0 gilt 10n=1/10^|n|.
5
Dezimaldarstellung schreiben
Verschiebe das Dezimalkomma passend zur Zehnerpotenz.
6
Darstellungen vergleichen
Kontrolliere, ob Potenz-, Bruch- und Dezimaldarstellung denselben Wert besitzen.
MG 1.4 – Quadratzahlen erkennen
Quadratzahlen erkennen und zuordnen.
1
Zahl betrachten
Prüfe, ob die gegebene natürliche Zahl als Quadrat einer ganzen Zahl geschrieben werden kann.
2
Bekannte Quadrate abrufen
Nutze zum Beispiel 1², 2², 3², 4² und weitere bekannte Quadratzahlen.
3
Passende Zahl suchen
Finde eine ganze Zahl n mit n² gleich der gegebenen Zahl.
4
Quadratzahl zuordnen
Existiert ein solches n, ist die Zahl eine Quadratzahl.
5
Zwischenwerte erkennen
Liegt die Zahl zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen, ist sie keine Quadratzahl.
6
Zuordnung prüfen
Multipliziere n·n und vergleiche mit der Ausgangszahl.
MG 1.4 – Quadratwurzeln bestimmen
Quadratwurzeln bestimmen in einer festen Reihenfolge bearbeiten. Jeder Rechen- oder Entscheidungsschritt wird sichtbar notiert und am Ende kontrolliert.
1
Radikand prüfen
Die Zahl unter der Quadratwurzel wird erkannt; bei reellen Zahlen darf sie nicht negativ sein.
2
Benachbarte Quadratzahlen suchen
Es werden die größten und kleinsten bekannten Quadratzahlen unterhalb und oberhalb des Radikanden gesucht.
3
Exakte Wurzel erkennen
Ist der Radikand eine Quadratzahl, wird die nichtnegative Zahl angegeben, deren Quadrat den Radikanden ergibt.
4
Oder Intervall angeben
Liegt keine Quadratzahl vor, wird die zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen eingeordnet.
5
Ergebnis quadrieren
Das Wurzelergebnis wird quadriert; bei einer exakten muss wieder der Radikand entstehen.
6
Nichtnegatives Ergebnis beachten
Das Wurzelzeichen steht für die nichtnegative Quadratwurzel.
7
Aussage notieren
Das Ergebnis wird als exakte oder als begründete Intervallaussage notiert.
MG 1.4 – Potenz und Wurzel als Umkehroperationen deuten
Quadrat und Quadratwurzel als zueinander inverse Operationen verwenden.
1
Operation erkennen
Unterscheide Quadrieren und Quadratwurzelziehen.
2
Quadrieren deuten
Beim Quadrieren wird eine Zahl mit sich selbst multipliziert.
3
Wurzelziehen deuten
Die Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat den Radikanden ergibt.
4
Umkehrung vorwärts nutzen
Für x≥0 gilt (√x)²=x.
5
Umkehrung rückwärts vorsichtig nutzen
Für reelles x gilt √(x²)=|x|; bei x≥0 ist das einfach x.
6
Ergebnis prüfen
Quadriere einen erhaltenen Wurzelwert, um den ursprünglichen Radikanden zu kontrollieren.
MG 1.4 – Potenzregeln anwenden
Potenzregeln anwenden in einer festen Reihenfolge bearbeiten. Jeder Rechen- oder Entscheidungsschritt wird sichtbar notiert und am Ende kontrolliert.
1
Gleiche Basis prüfen
Vor einer Potenzregel wird kontrolliert, ob die Basen tatsächlich gleich sind.
2
Passende Regel wählen
Produkt: addieren; Quotient: subtrahieren; Potenz von Potenz: multiplizieren.
3
Exponenten verrechnen
Nur die werden nach der gewählten Regel berechnet.
4
Basis beibehalten
Die gemeinsame Basis wird unverändert übernommen.
5
Potenz vereinfachen
Das Ergebnis wird zunächst als eine einzelne Potenz geschrieben.
6
Zahlenwert berechnen
Falls verlangt, wird die vereinfachte Potenz anschließend vollständig ausgewertet.
7
Durch Ausschreiben prüfen
Beide Seiten werden als Produkte gleicher ausgeschrieben und verglichen.
MG 1.4 – Potenz eines Produktes umformen
Eine Potenz eines Produktes auf die verteilen bzw. zurückführen.
1
Potenz eines Produktes erkennen
Prüfe, ob ein Produkt vollständig in einer Potenz steht, etwa (a⋅b)n.
2
Regel anwenden
Verteile den auf beide : (a⋅b)n=an·bn.
3
Einzelpotenzen berechnen
Berechne oder vereinfache an und bn getrennt.
4
Produkte wieder zusammenführen
Umgekehrt darf bei gleichem an·bn=(a⋅b geschrieben werden.
5
Klammern beachten
Der muss sich ursprünglich auf das gesamte Produkt beziehen.
6
Umformung prüfen
Teste die Regel bei Bedarf mit einfachen Zahlenwerten.
MG 1.4 – Potenz eines Quotienten umformen
Eine Potenz eines Quotienten auf Zähler und Nenner verteilen bzw. zurückführen.
1
Potenz eines Quotienten erkennen
Prüfe, ob ein ganzer Quotient potenziert wird, etwa (a/b)n.
2
Nennerbedingung beachten
Der Nenner b darf nicht 0 sein.
3
Regel anwenden
Verteile den : (a/b)n=an/bn.
4
Zähler und Nenner getrennt bearbeiten
Berechne oder vereinfache beide Potenzen.
5
Rückrichtung erkennen
Bei gleichem darf an/bn=(a/b) zusammengefasst werden.
6
Umformung prüfen
Kontrolliere mit einem einfachen Zahlenbeispiel, ob beide Darstellungen denselben Wert ergeben.
MG 1.4 – Nullten Exponenten verwenden
Für eine von null verschiedene Basis die Regel a0 = 1 anwenden.
1
Basis prüfen
Stelle sicher, dass die Basis a nicht 0 ist.
2
Exponent 0 erkennen
Liegt a0 vor, greift die Nullte--Regel.
3
Regel anwenden
Für a≠0 gilt a0=1.
4
Klammern beachten
Bei einer zusammengesetzten Basis muss die gesamte Basis von 0 verschieden sein.
5
Nicht mit 0 verwechseln
Der 0 macht eine zulässige Basis nicht zu 0, sondern liefert 1.
6
Ergebnis prüfen
Kontrolliere die Basisbedingung und notiere anschließend den Wert 1.
