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Normalapproximation der Binomialverteilung | Lerncoach
WS 3.4
Normalapproximation der Binomialverteilung Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
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Wahrscheinlichkeit und Statistik 24 Schrittlisten PDF verfügbar
Das solltest du können
Die Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können.
Interaktive Visualisierung
Von einzelnen Balken zur Glockenkurve Verändere n . Die Balken zeigen die exakte Binomialverteilung, die orange Linie ihre Normalapproximation.
σ = 2,24 < 3
P(X = 0) = 0,0000 P(X = 1) = 0,0000 P(X = 2) = 0,0002 P(X = 3) = 0,0011 P(X = 4) = 0,0046 P(X = 5) = 0,0148 P(X = 6) = 0,0370 P(X = 7) = 0,0739 P(X = 8) = 0,1201 P(X = 9) = 0,1602 P(X = 10) = 0,1762 P(X = 11) = 0,1602 P(X = 12) = 0,1201 P(X = 13) = 0,0739 P(X = 14) = 0,0370 P(X = 15) = 0,0148 P(X = 16) = 0,0046 P(X = 17) = 0,0011 P(X = 18) = 0,0002 P(X = 19) = 0,0000 P(X = 20) = 0,0000 μ = 10,0 0 4 8 12 16 20 Trefferzahl k μ = np = 10,0
σ = √(np(1 − p)) = 2,24
Noch nicht ausreichend: Die Balken folgen bereits einer Glockenform. Erhöhe n weiter und beobachte, wie die Lücken optisch kleiner werden.
Normalapproximation der Binomialverteilung
Kompetenzcode: WS 3.4Bereich: Wahrscheinlichkeit und Statistik
Die Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können.
Leitidee: Eine Binomialverteilung besteht aus einzelnen Balken bei ganzzahligen Trefferzahlen. Sind die Balken hinreichend gleichmäßig und glockenförmig verteilt, kann ihre Gesamtform durch eine Normalverteilung angenähert werden.
1. Worum es in WS 3.4 geht Ausgangspunkt ist eine bereits bekannte Binomialverteilung
X ∼ B ( n , p ) . X\sim B(n,p). X ∼ B ( n , p ) . In WS 3.4 wird nicht mehr geprüft, ob überhaupt ein Binomialmodell vorliegt. Das gehört zu WS 3.3 . Auch die exakte Berechnung mit der Binomialverteilung gehört zu WS 3.2 .
WS 3.4 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1 Aufgabenart erkennen Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2 Gegebene Größen markieren Notiere Werte, Variablen
3 Begriffe erklären Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4 Voraussetzungen prüfen Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5 Zielgröße festlegen Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6 Passende Darstellung wählen Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, Gleichung
GeoGebra-Übersicht: WS 3.4 – Normalapproximation der Binomialverteilung
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Hier wird untersucht, ob die diskrete Zufallsvariable X X X Y Y Y
Y ∼ N ( μ ; σ 2 ) . Y\sim N(\mu;\sigma^2). Y ∼ N ( μ ; σ 2 ) . Dabei übernimmt die Normalverteilung dieselbe Lage und dieselbe Streuung wie die Binomialverteilung:
μ = n p und σ = n p ( 1 − p ) . \mu=np
\qquad\text{und}\qquad
\sigma=\sqrt{np(1-p)}. μ = n p und σ = n p ( 1 − p ) .
2. Wann ist die Approximation zulässig? Die Normalapproximation funktioniert gut, wenn die Binomialverteilung nicht zu stark schief ist und genügend breit streut.
Im Lerncoach verwenden wir die Faustregel
σ = n p ( 1 − p ) , \sigma=\sqrt{np(1-p)}, σ = n p ( 1 − p ) , ist das gleichbedeutend mit
n p ( 1 − p ) ≥ 9. np(1-p)\geq 9. n p ( 1 − p ) ≥ 9.
Beispiel X ∼ B ( 200 ; 0,4 ) X\sim B(200;0{,}4) X ∼ B ( 200 ; 0 , 4 ) n p ( 1 − p ) = 200 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 48. np(1-p)=200\cdot0{,}4\cdot0{,}6=48. n p ( 1 − p ) = 200 ⋅ 0 , 4 ⋅ 0 , 6 = 48. Damit ist die Faustregel erfüllt. Die Normalapproximation ist gut anwendbar.
Wichtig: Die Faustregel garantiert keine vollkommen exakte Übereinstimmung. Sie zeigt, dass eine brauchbare Näherung zu erwarten ist.
3. Die passende Normalverteilung bestimmen X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X ∼ B ( n , p ) wird die Näherungsverteilung
Y ∼ N ( n p ; n p ( 1 − p ) ) Y\sim N\!\left(np;\,np(1-p)\right) Y ∼ N ( n p ; n p ( 1 − p ) )
μ = n p \mu=np μ = n p σ 2 = n p ( 1 − p ) \sigma^2=np(1-p) σ 2 = n p ( 1 − p ) σ = n p ( 1 − p ) \sigma=\sqrt{np(1-p)} σ = n p ( 1 − p )
Beispiel X ∼ B ( 200 ; 0,4 ) X\sim B(200;0{,}4) X ∼ B ( 200 ; 0 , 4 ) μ = 200 ⋅ 0,4 = 80 , \mu=200\cdot0{,}4=80, μ = 200 ⋅ 0 , 4 = 80 , σ = 200 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 48 ≈ 6,93. \sigma=\sqrt{200\cdot0{,}4\cdot0{,}6}
=\sqrt{48}
\approx 6{,}93. σ = 200 ⋅ 0 , 4 ⋅ 0 , 6 = 48 ≈ 6 , 93. Die Näherungsverteilung lautet daher:
Y ∼ N ( 80 ; 48 ) . Y\sim N(80;48). Y ∼ N ( 80 ; 48 ) .
4. Warum braucht man die Stetigkeitskorrektur? Die Binomialverteilung ist diskret : X X X
Die Normalverteilung ist stetig : Y Y Y
Der einzelne Binomialwert X = k X=k X = k Intervall 1 1 1
X = k ⟷ k − 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5. X=k
\quad\longleftrightarrow\quad
k-0{,}5\leq Y\leq k+0{,}5. X = k ⟷ k − 0 , 5 ≤ Y ≤ k + 0 , 5. Diese Verschiebung der Grenzen um 0,5 0{,}5 0 , 5 Stetigkeitskorrektur .
5. Die wichtigsten Übersetzungen
Merksatz: Eine eingeschlossene ganze Zahl erhält nach außen eine halbe Einheit Platz.
6. Vollständiges Beispiel: höchstens X ∼ B ( 200 ; 0,4 ) . X\sim B(200;0{,}4). X ∼ B ( 200 ; 0 , 4 ) . P ( X ≤ 90 ) . P(X\leq 90). P ( X ≤ 90 ) .
Schritt 1: Faustregel prüfen n p ( 1 − p ) = 48 ≥ 9. np(1-p)=48\geq 9. n p ( 1 − p ) = 48 ≥ 9. Die Normalapproximation ist geeignet.
Schritt 2: Parameter μ = 80 , σ = 48 ≈ 6,93. \mu=80,
\qquad
\sigma=\sqrt{48}\approx6{,}93. μ = 80 , σ = 48 ≈ 6 , 93.
Schritt 3: Stetigkeitskorrektur „Höchstens 90 90 90
P ( X ≤ 90 ) ≈ P ( Y ≤ 90,5 ) . P(X\leq90)
\approx
P(Y\leq90{,}5). P ( X ≤ 90 ) ≈ P ( Y ≤ 90 , 5 ) .
Schritt 4: Standardisieren z = 90,5 − 80 48 ≈ 1,52. z=
\frac{90{,}5-80}{\sqrt{48}}
\approx1{,}52. z = 48 90 , 5 − 80 ≈ 1 , 52. P ( X ≤ 90 ) ≈ P ( Z ≤ 1,52 ) ≈ 0,935. P(X\leq90)
\approx
P(Z\leq1{,}52)
\approx0{,}935. P ( X ≤ 90 ) ≈ P ( Z ≤ 1 , 52 ) ≈ 0 , 935.
Deutung Mit der Normalapproximation beträgt die Wahrscheinlichkeit für höchstens 90 90 90
Das Zeichen ≈ \approx ≈
7. Taschenrechner sinnvoll verwenden Zuerst werden immer Modell, Faustregel, Parameter und korrigierte Grenze notiert.
Für das vorherige Beispiel kann ein Taschenrechnerbefehl etwa so aussehen:
normalcdf(-1E99, 90.5, 80, sqrt(48))
Je nach Gerät kann der Befehl anders heißen. Entscheidend bleiben die mathematischen Eingaben:
untere Grenze: praktisch − ∞ -\infty − ∞
obere Grenze: 90,5 90{,}5 90 , 5
Mittelwert: 80 80 80
Standardabweichung: 48 \sqrt{48} 48
Der Taschenrechner ersetzt nicht die Stetigkeitskorrektur. Eine falsche Grenze liefert auch mit korrekter Bedienung ein falsches Modell.
8. Weitere Ereignisse sicher behandeln P ( X = k ) ≈ P ( k − 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5 ) . P(X=k)
\approx
P(k-0{,}5\leq Y\leq k+0{,}5). P ( X = k ) ≈ P ( k − 0 , 5 ≤ Y ≤ k + 0 , 5 ) . P ( X ≥ k ) ≈ P ( Y ≥ k − 0,5 ) . P(X\geq k)
\approx
P(Y\geq k-0{,}5). P ( X ≥ k ) ≈ P ( Y ≥ k − 0 , 5 ) . Zwischen a a a b b b P ( a ≤ X ≤ b ) ≈ P ( a − 0,5 ≤ Y ≤ b + 0,5 ) . P(a\leq X\leq b)
\approx
P(a-0{,}5\leq Y\leq b+0{,}5). P ( a ≤ X ≤ b ) ≈ P ( a − 0 , 5 ≤ Y ≤ b + 0 , 5 ) . Bei einem Intervall werden also beide Außengrenzen jeweils um 0,5 0{,}5 0 , 5
9. Typische Fehler
Fehler 1: Faustregel nicht prüfen Eine Normalverteilung wird verwendet, obwohl die Binomialverteilung stark schief oder sehr schmal ist.
Abhilfe: Immer zuerst n p ( 1 − p ) ≥ 9 np(1-p)\geq9 n p ( 1 − p ) ≥ 9
Fehler 2: Standardabweichung und Varianz verwechseln In die Normalverteilungsfunktion wird häufig σ \sigma σ σ 2 \sigma^2 σ 2
σ 2 = n p ( 1 − p ) \sigma^2=np(1-p) σ 2 = n p ( 1 − p ) σ = n p ( 1 − p ) \sigma=\sqrt{np(1-p)} σ = n p ( 1 − p )
Fehler 3: Stetigkeitskorrektur vergessen Für P ( X ≤ 90 ) P(X\leq90) P ( X ≤ 90 ) 90 90 90 90,5 90{,}5 90 , 5
Abhilfe: Das Ereignis zuerst sprachlich lesen und danach die Grenze korrigieren.
Fehler 4: Strenge und nicht strenge Ungleichungen verwechseln X < k X<k X < k X ≤ k X\leq k X ≤ k
Fehler 5: Näherung als exaktes Ergebnis ausgeben Abhilfe: Das Zeichen ≈ \approx ≈
10. Sichere Vorgehensweise
Binomialverteilung X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X ∼ B ( n , p )
Faustregel n p ( 1 − p ) ≥ 9 np(1-p)\geq9 n p ( 1 − p ) ≥ 9
μ = n p \mu=np μ = n p σ = n p ( 1 − p ) \sigma=\sqrt{np(1-p)} σ = n p ( 1 − p ) Gesuchtes Binomialereignis symbolisch notieren.
Grenzen mit der Stetigkeitskorrektur anpassen.
Normalwahrscheinlichkeit berechnen.
Ergebnis als Näherung im Kontext deuten.
Kern der Kompetenz: Nicht nur eine Normalverteilung verwenden, sondern begründen, warum sie passt und welche Grenzen verwendet werden müssen.
11. Das Wichtigste auf einen Blick X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X ∼ B ( n , p ) gilt bei erfüllter Faustregel
n p ( 1 − p ) ≥ 9 : np(1-p)\geq9: n p ( 1 − p ) ≥ 9 : X wird angen a ¨ hert durch Y ∼ N ( n p ; n p ( 1 − p ) ) . X
\quad\text{wird angenähert durch}\quad
Y\sim N\!\left(np;\,np(1-p)\right). X wird angen a ¨ hert durch Y ∼ N ( n p ; n p ( 1 − p ) ) . Dabei werden die Grenzen wegen des Übergangs von diskret zu stetig um 0,5 0{,}5 0 , 5
Faustregel → μ , σ → Stetigkeitskorrektur → Normalwahrscheinlichkeit → Deutung . \text{Faustregel}
\rightarrow
\mu,\sigma
\rightarrow
\text{Stetigkeitskorrektur}
\rightarrow
\text{Normalwahrscheinlichkeit}
\rightarrow
\text{Deutung}. Faustregel → μ , σ → Stetigkeitskorrektur → Normalwahrscheinlichkeit → Deutung . 7
Start kontrollieren Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
WS 3.4 – Darstellungen lesen und wechseln Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
1 Ausgangsdarstellung lesen Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
2 Größen zuordnen Ordne Achsen, Spalten, Variablen
3 Kennwerte entnehmen Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
4 Zielform festlegen Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
5 Darstellung erzeugen Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
6 Zusammenhang erklären Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
7 Rückkontrolle Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
WS 3.4 – Mathematisches Verfahren anwenden Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
1 Modell oder Formel wählen Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Voraussetzungen der Approximation prüfen“ passt.
2 Werte einsetzen Setze Zahlen und Variablen
3 Schrittweise umformen Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
4 Technische Rechnung ausführen Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
5 Zwischenergebnis prüfen Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
6 Ergebnis darstellen Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
7 Rechenweg rückprüfen Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
WS 3.4 – Ergebnis im Kontext deuten Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
1 Ergebnis identifizieren Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
2 Einheit ergänzen Ordne die sachlich passende Einheit zu.
3 Bezug nennen Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
4 Vorzeichen deuten Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
5 Gültigkeitsbereich beachten Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
6 Antwortsatz schreiben Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
7 Plausibilität bewerten Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
WS 3.4 – Lösung kontrollieren und Fehler vermeiden Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
1 Formale Probe Kontrolliere Gleichungen Funktionswerte
2 Darstellungsprobe Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
3 Einheitenprobe Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
4 Definitionsprobe Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
5 Grenzfall prüfen Teste einen einfachen oder extremen Fall.
6 Typischen Fehler suchen Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
7 Endfassung erstellen Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
WS 3.4 – Normalverteilung erkennen Eine glockenförmige symmetrische stetige Verteilung als Normalverteilung erkennen.
1 Graphform betrachten Prüfe, ob eine glatte, glockenförmige Kurve dargestellt ist.
2 Symmetrie prüfen Eine Normalverteilung ist um ihr Zentrum symmetrisch.
3 Ein Maximum erkennen Der Dichtegraph besitzt im Zentrum einen einzigen höchsten Punkt.
4 Randverhalten beachten Die Kurve nähert sich nach links und rechts der waagrechten Achse an.
5 Stetigkeit erkennen Der Graph verläuft ohne Sprünge über einem kontinuierlichen Wertebereich.
6 Normalverteilung zuordnen Ordne die Darstellung bei diesen typischen Merkmalen als Normalverteilung ein.
WS 3.4 – Normalverteilte Zufallsvariable angeben Eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und Standardabweichung beschreiben.
1 Verteilungsart festlegen Kläre, dass die Zufallsvariable normalverteilt modelliert wird.
2 Erwartungswert bestimmen Notiere den Parameter
3 Standardabweichung bestimmen Notiere σ als Maß für die Streuung; es muss σ>0 gelten.
4 Zufallsvariable benennen Bezeichne die betrachtete Zufallsvariable beispielsweise mit X.
5 Parameterdarstellung schreiben Gib X als normalverteilte Zufallsvariable mit μ und σ an.
6 Kontext prüfen Ordne μ und σ der richtigen Größe und Einheit der Zufallsvariablen zu.
WS 3.4 – Dichtefunktion erkennen Den Graphen einer Normalverteilung als Dichtefunktion erkennen.
1 Graph betrachten Prüfe, ob ein glatter Graph über einer stetigen Zufallsvariablen dargestellt ist.
2 Nichtnegative Höhe prüfen Eine Dichtefunktion verläuft nicht unterhalb der x-Achse.
3 Glockenform erkennen Bei einer Normalverteilung besitzt die Dichte die typische symmetrische Glockenform.
4 Flächenbedeutung beachten Wahrscheinlichkeiten werden durch Flächen unter dem Graphen beschrieben.
5 Punktwerte nicht als Wahrscheinlichkeiten deuten Die Höhe des Graphen an einer Stelle ist keine Punktwahrscheinlichkeit.
6 Dichtefunktion benennen Ordne den Graphen als Dichtefunktion der Normalverteilung ein.
WS 3.4 – Gesamtfläche unter Dichtegraph deuten Die gesamte Fläche unter dem Graphen einer Dichtefunktion als Wahrscheinlichkeit eins deuten.
1 Gesamten Wertebereich betrachten Beziehe die Fläche unter dem vollständigen Dichtegraphen ein.
2 Wahrscheinlichkeitsbedeutung erinnern Alle möglichen Werte der Zufallsvariablen zusammen bilden das sichere Ereignis.
3 Gesamtwahrscheinlichkeit festhalten Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1.
4 Fläche zuordnen Daher besitzt die gesamte Fläche unter der Dichtekurve den Wert 1.
5 Prozentdeutung ergänzen Dies entspricht 100 % der gesamten Wahrscheinlichkeit.
6 Aussage prüfen Keine Teilfläche darf größer als die gesamte Fläche sein.
WS 3.4 – Wahrscheinlichkeit als Fläche deuten Eine Wahrscheinlichkeit als Flächeninhalt unter dem Dichtegraphen über einem Intervall
1 Intervall bestimmen Lies die untere und obere Grenze des betrachteten Wertebereichs ab.
2 Bereich auf der x-Achse markieren Kennzeichne das Intervall
3 Fläche unter der Kurve betrachten Die zugehörige Wahrscheinlichkeit wird durch die Fläche unter der Dichtekurve über diesem Intervall
4 Randpunkte bei Stetigkeit einordnen Einzelne Randpunkte verändern die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Verteilung nicht.
5 Wahrscheinlichkeit zuordnen Verbinde die markierte Fläche mit dem entsprechenden Ereignis.
6 Deutung formulieren Beschreibe die Fläche als Wahrscheinlichkeit dafür, dass X im betrachteten Intervall
WS 3.4 – Punktwahrscheinlichkeit stetiger Verteilung deuten Erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen exakten Werts bei einer stetigen Verteilung null ist.
1 Einzelnen Wert festlegen Betrachte das Ereignis X=a für einen exakten Wert a.
2 Stetigkeit beachten Bei einer stetigen Zufallsvariablen gibt es unendlich viele mögliche Werte in Intervallen
3 Flächenidee nutzen Ein einzelner Punkt besitzt unter dem Dichtegraphen keine Breite und damit keine positive Fläche.
4 Punktwahrscheinlichkeit folgern 5 Intervallwahrscheinlichkeit unterscheiden Positive Wahrscheinlichkeiten entstehen über Intervalle
6 Aussage prüfen Verwechsle den positiven Funktionswert
WS 3.4 – Symmetrieachse bestimmen Den Erwartungswert als Symmetrieachse des Normalverteilungsgraphen bestimmen.
1 Glockenkurve betrachten Suche das Zentrum des symmetrischen Dichtegraphen.
2 Spiegelachse bestimmen Finde die senkrechte Linie, an der linke und rechte Graphhälfte spiegelbildlich sind.
3 Erwartungswert zuordnen Bei einer Normalverteilung liegt diese Symmetrieachse bei x=μ.
4 Maximum kontrollieren Der höchste Punkt des Dichtegraphen liegt ebenfalls über μ.
5 Achsenwert ablesen Lies den x-Wert der Symmetrieachse ab.
6 Ergebnis notieren Gib diesen Wert als Erwartungswert μ an.
WS 3.4 – Erwartungswert aus Graph ablesen Den Erwartungswert einer Normalverteilung aus dem Zentrum des Dichtegraphen ablesen.
1 Zentrum des Graphen suchen Bestimme die Mitte der symmetrischen Glockenkurve.
2 Höchsten Punkt finden Der Dichtegraph erreicht sein Maximum im Zentrum.
3 x-Koordinate ablesen Lies den x-Wert unter diesem Mittelpunkt ab.
4 μ zuordnen Dieser x-Wert ist der Erwartungswert μ.
5 Skalierung beachten Berücksichtige die Teilstriche der x-Achse sorgfältig.
6 Ablesung prüfen Kontrolliere die Symmetrie links und rechts des gefundenen Werts.
WS 3.4 – Lagewirkung des Erwartungswerts beschreiben Beschreiben, wie eine Änderung des Erwartungswerts den Dichtegraphen horizontal verschiebt.
1 Ausgangsverteilung betrachten Halte die Standardabweichung zunächst gedanklich konstant.
2 Erwartungswert verändern Vergleiche eine Verteilung mit einem kleineren beziehungsweise größeren μ.
3 Zentrum verfolgen Der Mittelpunkt und höchste Punkt liegen jeweils bei x=μ.
4 Horizontale Verschiebung erkennen Ein größeres μ verschiebt die gesamte Glockenkurve nach rechts, ein kleineres nach links.
5 Form unverändert lassen Bei gleichem σ bleiben Breite und Form gleich.
6 Wirkung formulieren Beschreibe μ als Lageparameter der Normalverteilung.
WS 3.4 – Streuungswirkung der Standardabweichung beschreiben Beschreiben, wie die Standardabweichung Breite und Höhe des Dichtegraphen beeinflusst.
1 Erwartungswert festhalten Vergleiche Normalverteilungen mit gleichem μ.
2 Standardabweichung verändern Betrachte unterschiedliche positive Werte von σ.
3 Breite vergleichen Ein größeres σ führt zu einer breiteren Verteilung.
4 Höhe vergleichen Da die Gesamtfläche 1 bleiben muss, wird die Glocke bei größerem σ flacher.
5 Kleineres σ deuten Ein kleineres σ führt zu einer schmaleren und höheren Glocke.
6 Wirkung formulieren Beschreibe σ als Streuungsparameter der Normalverteilung.
WS 3.4 – Standardabweichungen aus Graph vergleichen Normalverteilungen anhand der Breite ihrer Dichtegraphen hinsichtlich der Standardabweichung vergleichen.
1 Zentren vergleichen Prüfe zunächst, ob die verglichenen Graphen denselben Erwartungswert besitzen.
2 Breite beurteilen Vergleiche, wie weit sich die Glockenkurven horizontal ausdehnen.
3 Breiteren Graphen zuordnen Die breitere und flachere Kurve besitzt die größere Standardabweichung.
4 Schmaleren Graphen zuordnen Die schmalere und höhere Kurve besitzt die kleinere Standardabweichung.
5 Fläche als konstant beachten Alle Normaldichten besitzen Gesamtfläche 1.
6 Vergleich begründen Nenne Breite und Höhe als sichtbare Hinweise auf die relative Größe von σ.
WS 3.4 – Normalverteilungen anhand ihrer Parameter vergleichen Zwei Normalverteilungen hinsichtlich Lage und Streuung vergleichen.
1 Erwartungswerte vergleichen Bestimme beziehungsweise vergleiche μ der beiden Verteilungen.
2 Lage beschreiben Die Verteilung mit größerem μ liegt weiter rechts.
3 Standardabweichungen vergleichen Bestimme beziehungsweise vergleiche σ.
4 Streuung beschreiben Die Verteilung mit größerem σ ist breiter und flacher.
5 Beide Parameter getrennt deuten Lageunterschiede werden durch μ, Streuungsunterschiede durch σ beschrieben.
6 Gesamtvergleich formulieren Vergleiche die beiden Normalverteilungen anhand von Zentrum und Breite.
WS 3.4 – Intervallwahrscheinlichkeit grafisch markieren Die zu einer Intervallwahrscheinlichkeit gehörende Fläche unter dem Dichtegraphen kennzeichnen.
1 Intervallgrenzen ablesen Bestimme die beiden Grenzen a und b.
2 Grenzen auf der x-Achse markieren Kennzeichne a und b an den richtigen Stellen.
3 Senkrechte Hilfslinien denken Begrenze den relevanten Bereich durch die beiden x-Werte.
4 Fläche auswählen Markiere nur die Fläche unter dem Dichtegraphen zwischen a und b.
5 Außenbereiche frei lassen Flächen links von a und rechts von b gehören nicht zum Ereignis.
6 Markierung prüfen Die schattierte Fläche muss genau P(a≤X≤b) entsprechen.
WS 3.4 – Linksseitige Wahrscheinlichkeit erkennen Eine Wahrscheinlichkeit der Form P(X ≤ a) als linksseitige Fläche erkennen.
1 Grenzwert a bestimmen Markiere a auf der x-Achse.
2 Ungleichung lesen X≤a umfasst alle Werte links von a einschließlich des Randpunkts.
3 Linken Bereich auswählen Betrachte die Fläche unter der Dichtekurve von ganz links bis a.
4 Randpunkt einordnen Bei einer stetigen Verteilung verändert die Einbeziehung des einzelnen Punkts a die Wahrscheinlichkeit nicht.
5 Fläche markieren Kennzeichne die vollständige linksseitige Fläche.
6 Zuordnung prüfen Verbinde die markierte Fläche mit P(X≤a).
WS 3.4 – Rechtsseitige Wahrscheinlichkeit erkennen Eine Wahrscheinlichkeit der Form P(X ≥ a) als rechtsseitige Fläche erkennen.
1 Grenzwert a bestimmen Markiere a auf der x-Achse.
2 Ungleichung lesen X≥a umfasst alle Werte rechts von a einschließlich des Randpunkts.
3 Rechten Bereich auswählen Betrachte die Fläche unter der Dichtekurve von a nach rechts.
4 Randpunkt einordnen Bei einer stetigen Verteilung ist der einzelne Punkt a für die Flächengröße unerheblich.
5 Fläche markieren Kennzeichne die vollständige rechtsseitige Fläche.
6 Zuordnung prüfen Verbinde die markierte Fläche mit P(X≥a).
WS 3.4 – Zweiseitige Wahrscheinlichkeit erkennen Eine Wahrscheinlichkeit der Form P(a ≤ X ≤ b) als Fläche zwischen zwei Grenzen erkennen.
1 Grenzen bestimmen Markiere a und b auf der x-Achse mit a≤b.
2 Doppelte Ungleichung lesen a≤X≤b beschreibt Werte zwischen den beiden Grenzen.
3 Zwischenbereich auswählen Betrachte die Fläche unter der Dichtekurve nur zwischen a und b.
4 Randpunkte einordnen Bei stetigen Verteilungen ändern einzelne Randpunkte die Wahrscheinlichkeit nicht.
5 Fläche markieren Kennzeichne den mittleren Bereich.
6 Zuordnung prüfen Verbinde die markierte Fläche mit P(a≤X≤b).
WS 3.4 – Gegenwahrscheinlichkeit grafisch verwenden Eine Normalverteilungswahrscheinlichkeit mithilfe der verbleibenden Gesamtfläche bestimmen.
1 Gesuchte Fläche bestimmen Markiere zunächst die Wahrscheinlichkeit, die eigentlich gesucht ist.
2 Gesamtfläche nutzen Die gesamte Fläche unter der Dichtekurve entspricht 1.
3 Einfachere Gegenfläche erkennen Prüfe, ob die verbleibende Fläche leichter bestimmt werden kann.
4 Gegenwahrscheinlichkeit berechnen Bestimme die Wahrscheinlichkeit der Gegenfläche.
5 Von 1 abziehen Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit als 1 minus die Gegenwahrscheinlichkeit.
6 Flächenaufteilung prüfen Gesuchte Fläche und Gegenfläche müssen gemeinsam die gesamte Dichtefläche bilden.
WS 3.4 – Normalverteilung im Kontext deuten Erwartungswert, Standardabweichung und Flächenwahrscheinlichkeit im Sachkontext interpretieren.
1 Zufallsvariable benennen Kläre, welche reale Größe durch X beschrieben wird.
2 Erwartungswert deuten μ beschreibt das Zentrum beziehungsweise den typischen langfristigen Lagewert der modellierten Größe.
3 Standardabweichung deuten σ beschreibt, wie stark die Werte typischerweise um μ streuen.
4 Intervall bestimmen Kläre, welcher Wertebereich in der Wahrscheinlichkeit betrachtet wird.
5 Fläche als Anteil interpretieren Die zugehörige Dichtefläche beschreibt den modellierten Anteil beziehungsweise die Wahrscheinlichkeit für Werte in diesem Bereich.
6 Kontextsatz formulieren Verbinde μ, σ oder die Intervallwahrscheinlichkeit mit Einheit und Bedeutung der realen Größe.
WS 3.4 – Dichtegraph einer Normalverteilung skizzieren Für gegebene Parameter
1 Erwartungswert markieren Trage μ an der richtigen Stelle auf der x-Achse ein.
2 Symmetrieachse zeichnen Denke beziehungsweise zeichne eine senkrechte Symmetrieachse durch x=μ.
3 Standardabweichung beachten Nutze σ als Hinweis auf die Breite der Glockenkurve.
4 Glockenform skizzieren Zeichne eine glatte Kurve mit einem Maximum bei μ und symmetrischem Verlauf.
5 Randverhalten darstellen Lass die Kurve nach links und rechts gegen die x-Achse auslaufen, ohne sie abrupt abzuschneiden.
6 Skizze prüfen Kontrolliere Zentrum, Symmetrie und eine zur Größe von σ passende Breite.
kumulative Verteilung erzeugen
Normal Normal(μ,σ,x) Normalverteilungswert/-wahrscheinlichkeit Normal(80,sqrt(48),90.5) CAS/Wahrscheinlichkeitsrechner μ, σ und Grenze
Mittelwert Mittelwert(Liste) simulierte Werte mitteln Mittelwert({2,3,4,2,1}) Algebra Zahlenliste
Standardabweichung Standardabweichung(Liste) simulierte Streuung Standardabweichung({2,3,4,2,1}) Algebra Zahlenliste
2. Befehle als unveränderte Codeblöcke
Binomial Verwendung: Binomialwahrscheinlichkeit berechnen
Benötigte Ansicht: CAS/Wahrscheinlichkeitsrechner
Mathematische Voraussetzung: n, p und k
Binomial Verwendung: kumulative Verteilung erzeugen
Mathematische Voraussetzung: n und p
Normal Verwendung: Normalverteilungswert/-wahrscheinlichkeit
Benötigte Ansicht: CAS/Wahrscheinlichkeitsrechner
Mathematische Voraussetzung: μ, σ und Grenze
Mittelwert Verwendung: simulierte Werte mitteln
Benötigte Ansicht: Algebra
Mathematische Voraussetzung: Zahlenliste
Standardabweichung Standardabweichung({2,3,4,2,1})
Verwendung: simulierte Streuung
Benötigte Ansicht: Algebra
Mathematische Voraussetzung: Zahlenliste
3. Sinnvolle Arbeitsweise
Mathematische Größen und Voraussetzungen zuerst händisch bestimmen.
Eingabe exakt mit Klammern, Dezimaltrennzeichen und Variablen
Darstellung und berechnete Werte mit dem eigenen Ergebnis vergleichen.
Abweichungen als Anlass für eine Fehleranalyse verwenden.
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.
−
0 , 5 ≤
Y ≤
b +
0 , 5
