Prozentrechnen mit Tabelle

„Prozent“ bedeutet „von hundert“.

$$1\%=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

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1. Die drei Prozentgrößen

Beispiel

In einer Klasse mit $25$ Schülerinnen und Schülern tragen $10$ eine Brille.

• Grundwert: $G=25$
• Prozentwert: $W=10$
• Prozentsatz: noch gesucht

Merksatz: Der Grundwert ist jene Größe, die im jeweiligen Zusammenhang $100\%$ entspricht.

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2. Prozentwert berechnen

Aufgabe: Wie viel sind $18\%$ von $250\,€$?

Der Grundwert ist $250\,€$. Gesucht ist der Prozentwert.

Rechnung zur Einerzeile:

$$\begin{aligned} 250\,€:100 &=2{,}50\,€. \end{aligned}$$

Rechnung zum Zielwert:

$$\begin{aligned} 2{,}50\,€\cdot18 &=45\,€. \end{aligned}$$

Antwort: $18\%$ von $250\,€$ sind $45\,€$.

Kontrolle: $18\%$ sind weniger als ein Fünftel. Ein Fünftel von $250\,€$ wären $50\,€$. $45\,€$ ist daher plausibel.

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3. Grundwert berechnen

Aufgabe: $24\,\mathrm{kg}$ entsprechen $30\%$. Wie groß ist der Grundwert?

$$\begin{aligned} 24\,\mathrm{kg}:30 &=0{,}8\,\mathrm{kg}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 0{,}8\,\mathrm{kg}\cdot100 &=80\,\mathrm{kg}. \end{aligned}$$

Antwort: Der Grundwert beträgt $80\,\mathrm{kg}$.

Rückrechnung:

$$80\,\mathrm{kg}\cdot0{,}30=24\,\mathrm{kg}.$$

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4. Prozentsatz berechnen

Aufgabe: Von $40$ Aufgaben wurden $34$ richtig gelöst. Wie viel Prozent sind das?

$$\begin{aligned} 100\%:40 &=2{,}5\%, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 2{,}5\%\cdot34 &=85\%. \end{aligned}$$

Antwort: $85\%$ der Aufgaben wurden richtig gelöst.

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5. Prozentuale Erhöhung

Ein Pullover kostet ursprünglich $80\,€$. Der Preis wird um $15\%$ erhöht.

Zuerst wird der Änderungsbetrag berechnet:

Dann wird erhöht:

$$\begin{aligned} 80\,€+12\,€ &=92\,€. \end{aligned}$$

Antwort: Der neue Preis beträgt $92\,€$.

Der Prozentwert $12\,€$ ist nur die Erhöhung. Er darf nicht mit dem Endwert $92\,€$ verwechselt werden.

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6. Prozentuale Verminderung

Ein Fahrrad kostet $600\,€$. Es wird um $20\%$ verbilligt.

Änderungsbetrag:

$$\begin{aligned} 600\,€:100 &=6\,€, \\ 6\,€\cdot20 &=120\,€. \end{aligned}$$

Endwert:

$$\begin{aligned} 600\,€-120\,€ &=480\,€. \end{aligned}$$

Antwort: Nach der Verbilligung kostet das Fahrrad $480\,€$.

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7. Prozent und Prozentpunkte

Steigt ein Anteil von $40\%$ auf $50\%$, so beträgt die Änderung

$$50\%-40\%=10$$

Prozentpunkte.

Die relative Erhöhung bezogen auf den alten Wert beträgt dagegen:

$$\begin{aligned} \frac{50-40}{40} &=\frac{10}{40} \\ &=0{,}25 \\ &=25\%. \end{aligned}$$

$10$ Prozentpunkte und $25\%$ relative Erhöhung sind verschiedene Aussagen.

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8. Typische Fehler

• Der Endwert wird fälschlich als Prozentwert bezeichnet.
• Eine falsche Größe wird als $100\%$ gewählt.
• Beim Dreisatz wird die Einerzeile übersprungen.
• Zu- und Abnahme werden vertauscht.
• Prozent und Prozentpunkte werden gleichgesetzt.
• Ein Ergebnis über $100\%$ wird automatisch als unmöglich angesehen, obwohl es in manchen Vergleichen sinnvoll sein kann.

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9. Zusammenfassung

1. Grundwert als $100\%$ bestimmen.
2. Gegebene und gesuchte Größe benennen.
3. Prozenttabelle anlegen.
4. Auf $1\%$ oder eine andere günstige Zwischenzeile rechnen.
5. Zum Zielwert weiterrechnen.
6. Bei Änderungen den Prozentwert addieren oder subtrahieren.
7. Ergebnis durch Rückrechnung und Größenordnung prüfen.