Algebra und Geometrie14 SchrittlistenPDF verfügbar
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Zahlenmengen erkunden
Klicke auf eine Zahlenmenge. Die Darstellung zeigt, wie die Zahlenmengen ineinander liegen und welche Beziehungen zwischen ihnen bestehen.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
𝕀 = ℝ ∖ ℚ
Zahlenmenge
ℕ
Natürliche Zahlen
Die natürlichen Zahlen werden zum Zählen verwendet. Hier gehört die 0 zu ℕ.
Merke
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
Beispiele
0112
Direkt auswählen
Zahlenmengen helfen uns, Zahlen nach ihren Eigenschaften zu ordnen.
Verbindlicher Kern von AG 1.1: Die Bezeichnungen der Zahlenmengen kennen, ihre Teilmengenbeziehungen beschreiben, Zahlen und vereinfachte Ausdrücke zuordnen sowie die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle verstehen. Außerdem soll bekannt sein, dass es Zahlenbereiche über R hinaus gibt.
Dabei gilt:
N⊆Z⊆Q⊆
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AG 1.1 – Rational oder irrational entscheiden
Ausdrücke vereinfachen und anhand von Bruch- und Dezimaldarstellungen rational oder irrational einordnen.
1
1. Ausdruck vereinfachen
Vereinfache , Brüche, Potenzen und Vorzeichen, bevor du die Darstellung untersuchst.
2
2. Bruchdarstellung prüfen
Ist die Zahl als Quotient ganzer Zahlen mit Nenner ungleich null darstellbar, so ist sie rational.
3
3. Endliche Dezimaldarstellung erkennen
Jede endliche Dezimalzahl ist rational und kann als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner geschrieben werden.
4
4. Periodische Dezimaldarstellung erkennen
Jede unendlich periodische Dezimalzahl ist rational.
5
5. Irrationale Darstellung erkennen
Eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung ist irrational. Auch bekannte Werte wie √2 oder π sind irrational.
6
6. Entscheidung begründen
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger. Der Nachfolger von 7 ist 8.
Jede natürliche Zahl außer 0 besitzt in N einen Vorgänger. Der Vorgänger von 7 ist 6.
Die Zahl 0 besitzt in N keinen Vorgänger.
Anmerkung: In manchen Schulbüchern beginnt N erst bei 1. Dann wird die Menge mit der Zahl 0 häufig als N0 bezeichnet. Im Lerncoach gehört 0 zu N.
Ganze Zahlen Z
Zu den ganzen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, ihre Gegenzahlen und die Zahl 0:
Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}.
Gegenzahl
Die Gegenzahl liegt auf der Zahlengeraden gleich weit von 0 entfernt, aber auf der anderen Seite.
Die Gegenzahl von 5 ist −5.
Die Gegenzahl von −8 ist 8.
Die Gegenzahl von 0 ist 0.
Betrag
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0. Ein Abstand ist nie negativ.
∣5∣=5,∣−5∣=5,∣0∣=0.
Merke: Gegenzahl und Betrag sind nicht dasselbe.
Die Gegenzahl von −5 ist 5. Der Betrag von −5 ist ebenfalls 5 – bei einer positiven Zahl unterscheiden sich die beiden Begriffe aber: Die Gegenzahl von 5 ist −5, während ∣5∣=5 gilt.
Rationale Zahlen Q
Eine rationale Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden:
Q={qpp,q∈Z,q=0}.
Dazu gehören:
ganze Zahlen, zum Beispiel −4=1−4,
Brüche, zum Beispiel 73,
endliche Dezimalzahlen, zum Beispiel 0,25=41,
periodische Dezimalzahlen, zum Beispiel 0,3=31.
Irrationale Zahlen I
Irrationale Zahlen können nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.
Beispiele:
2,π,e.
Dabei gilt:
I=R∖Q.
Reelle Zahlen R
Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen:
R=Q∪I.
Alle Zahlen, die auf der Zahlengeraden liegen, sind reelle Zahlen.
Reelle Zahlen bilden die Grundlage für kontinuierliche Modelle. Bei Größen wie Länge, Zeit, Masse oder Temperatur sind grundsätzlich auch Zwischenwerte möglich.
Beispiel:
Eine Länge kann 2m, 2,1m, 2,01m oder einen irrationalen Wert wie 5m besitzen. Das Modell verwendet deshalb nicht nur ganze oder rationale Zahlen, sondern den gesamten reellen Zahlenbereich.
Zahlen der kleinsten passenden Menge zuordnen
Vor der Zuordnung wird ein Ausdruck vollständig vereinfacht.
Beispiele:
49=7∈N,
−312=−4∈Z,
0,125=81∈Q,
2∈I,
3+2i∈C∖R.
Gefragt ist meist die kleinste passende Zahlenmenge. Für 7 wäre die Angabe 7∈R zwar richtig, aber nicht die kleinste mögliche Zuordnung. Die präziseste Antwort lautet
7∈N.
Ein sinnvoller Entscheidungsweg ist:
Ausdruck vereinfachen.
Prüfen, ob das Ergebnis natürlich oder ganz ist.
Prüfen, ob es als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist.
Bei reellen, nicht rationalen Zahlen irrational zuordnen.
Bei einem nicht verschwindenden i-Anteil komplex und nicht reell zuordnen.
Lerncoach-Erweiterung: Zahlen vergleichen und
Zahlen vergleichen
Auf der Zahlengeraden gilt:
Die weiter rechts liegende Zahl ist größer.
Beispiele:
−8<−3,
denn −8 liegt weiter links als −3.
Brüche und Dezimalzahlen lassen sich leichter vergleichen, wenn sie zuerst in dieselbe Darstellung umgewandelt werden.
Beispiel 1
Vergleiche −43 und −0,7.
−43=−0,75.
Damit gilt:
−0,75<−0,7.
Also:
−43<−0,7.
Beispiel 2
Vergleiche 2 und 1,4.
2≈1,414.
Daher:
2>1,4.
Intervalle lesen
Ein Intervall beschreibt einen zusammenhängenden Bereich auf der Zahlengeraden.
Geschlossene Grenze: Der Randwert gehört dazu.
Offene Grenze: Der Randwert gehört nicht dazu.
Zwei gleichwertige Schreibweisen
Eine offene eckige Klammer bedeutet dasselbe wie eine runde Klammer:
]a;b[=(a;b),
[a;b[=[a;b),
]a;b]=(a;b].
Beispiele
x∈[−2;4]⟺−2≤x≤4.
Beide Randwerte gehören dazu.
x∈]−2;4[⟺−2<x<4.
Keiner der Randwerte gehört dazu.
x∈]−2;4]⟺−2<x≤4.
−2 gehört nicht dazu, 4 gehört dazu.
Zahlenbereiche über R: komplexe Zahlen C
Für den Kern von AG 1.1 genügt es, zu wissen, dass es Zahlenbereiche über den reellen Zahlen gibt und dass komplexe Zahlen die Form
z=a+bi
besitzen. Ausführliche Rechenregeln mit komplexen Zahlen sind Zusatzwissen und werden nur bearbeitet, wenn eine Aufgabe dies ausdrücklich verlangt.
In den reellen Zahlen besitzt die
x2=−1
keine Lösung. Das Quadrat einer reellen Zahl ist nämlich nie negativ. Vereinfacht gesagt: Innerhalb der reellen Zahlen kann man keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.
Deshalb wird die imaginäre Einheit i eingeführt:
i2=−1.
Eine komplexe Zahl hat die Form
z=a+bi.
Dabei ist:
Re(z)=a
der Realteil und
Im(z)=b
der Imaginärteil.
Beispiel:
z=4−3i
hat den Realteil
Re(z)=4
und den Imaginärteil
Im(z)=−3.
Optionales Zusatzwissen: Rechnen mit komplexen Zahlen
Seien
z1=a+biundz2=c+di.
Addition
Man addiert Realteile und Imaginärteile getrennt:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
Beispiel:
(2+3i)+(−5+4i)
=(2−5)+(3+4)i
=−3+7i.
Subtraktion
Man subtrahiert Realteile und Imaginärteile getrennt:
(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.
Beispiel:
(6−2i)−(1+5i)
=(6−1)+(−2−5)i
=5−7i.
Multiplikation
Man multipliziert wie bei Klammerausdrücken und verwendet anschließend i2=−1:
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.
Beispiel:
(2+3i)(4−i)
=8−2i+12i−3i2
=8+10i−3(−1)
=11+10i.
Division
Im Nenner soll kein i stehen. Deshalb erweitert man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners:
Die Vereinigung enthält alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen liegen.
Wir schreiben zuerst alle Elemente aus A auf und ergänzen danach die noch fehlenden Elemente aus B:
A∪B={2,3,4,5,6,7,8,10}.
Jedes Element wird nur einmal angeschrieben.
Schnitt A∩B
Der Schnitt enthält nur Elemente, die gleichzeitig in A und in B liegen.
Die Zahl 2 kommt in beiden Mengen vor. Alle anderen Elemente liegen nur in einer der beiden Mengen.
A∩B={2}.
Differenz A∖B
A∖B bedeutet:
Nimm alle Elemente aus A und streiche jene, die auch in B liegen.
Aus
A={2,4,6,8,10}
wird die gemeinsame Zahl 2 gestrichen. Daher:
A∖B={4,6,8,10}.
Die Reihenfolge ist wichtig:
B∖A={3,5,7}.
Im Allgemeinen gilt also:
A∖B=B∖A.
Komplement U∖A
Das Komplement von A enthält alle Elemente der Grundmenge U, die nicht in A liegen.
Wir beginnen mit
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
und streichen die Elemente aus A:
2,4,6,8,10.
Übrig bleiben:
U∖A={1,3,5,7,9}.
Hinweis: Das Komplement von A wird manchmal auch als Ac geschrieben. Im Lerncoach verwenden wir bevorzugt U∖A, weil dabei die Grundmenge sichtbar ist.
Zusammengesetztes Beispiel
Bestimme
(A∪B)∖A.
Zuerst berechnen wir die Vereinigung:
A∪B={2,3,4,5,6,7,8,10}.
Nun entfernen wir alle Elemente aus A:
2,4,6,8,10.
Es bleiben:
(A∪B)∖A={3,5,7}.
Das sind genau jene Elemente, die in B, aber nicht in A liegen.
Typische Fehler
Obermenge statt kleinster Zahlenmenge
Die Aussage 5∈R ist richtig, bei einer Zuordnungsaufgabe aber meist zu ungenau. Die kleinste passende Menge ist N.
Ausdruck vor der Zuordnung nicht vereinfacht
25 wird nicht als irrational eingeordnet. Zuerst gilt
25=5.
Danach folgt
5∈N.
Rationale und irrationale Dezimaldarstellungen verwechselt
Endliche und periodische Dezimalzahlen sind rational. Unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen sind irrational.
Element und Teilmenge verwechselt
Für eine Zahl wird ∈ verwendet:
3∈N.
Für eine Beziehung zwischen Mengen wird ⊆ verwendet:
N⊆Z.
Reelle und komplexe Zahlen als getrennte Mengen behandeln
Jede reelle Zahl ist auch komplex:
R⊆C.
Nicht jede komplexe Zahl ist reell. Beispielsweise gilt
2+i∈C∖R.
Eine vertiefende Zusatzaufgabe mit dem AG-1.1-Kern verwechseln
Komplexe Grundrechenarten, Abgeschlossenheit und ausführliche Mengenoperationen sind im Lerncoach als Zusatzwissen gekennzeichnet. Sie werden nicht vorausgesetzt, wenn lediglich die Grundkompetenz AG 1.1 geprüft wird.
Abschlussübersicht
Nach AG 1.1 solltest du sicher können:
N,Z,Q,I,R,C beschreiben,
die Teilmengenbeziehung
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
erklären,
Zahlen und vereinfachte Ausdrücke der kleinsten passenden Menge zuordnen,
endliche und periodische Dezimalzahlen als rational erkennen,
irrationale Zahlen von rationalen Zahlen unterscheiden,
reelle Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle deuten,
wissen, dass komplexe Zahlen über R hinausgehen.
Die Abschnitte zu Zahlenvergleich und Intervallen sind eine Lerncoach-Erweiterung. Komplexe Arithmetik und ausführliche Mengenoperationen sind optionales Zusatzwissen.
Nenne die entscheidende Eigenschaft: Bruchdarstellung, endliche oder periodische Dezimaldarstellung beziehungsweise Irrationalität.
7
7. Zahlenmenge präzise angeben
Ordne rationale Zahlen ℚ und irrationale Zahlen ℝ\ℚ zu und beachte gegebenenfalls eine noch kleinere passende Menge.
AG 1.1 – Kleinste passende Zahlenmenge bestimmen
Eine Zahl systematisch von ℕ bis ℂ prüfen und die kleinste passende Menge begründet angeben.
1
1. Zahl oder Ausdruck vereinfachen
Berechne mögliche , Brüche, Potenzen und Vorzeichen zuerst vollständig.
2
2. Natürliche Zahl prüfen
Ist das Ergebnis eine nichtnegative ganze Zahl, gehört es im Lerncoach zu ℕ.
3
3. Ganze Zahl prüfen
Ist die Zahl ganzzahlig, aber negativ, ist ℤ die kleinste passende Menge.
4
4. Rationale Zahl prüfen
Prüfe eine Bruchdarstellung sowie endliche oder periodische Dezimaldarstellungen.
5
5. Irrationale reelle Zahl prüfen
Ist die Zahl reell, aber nicht rational, gehört sie zu ℝ\ℚ.
6
6. Nichtreelle komplexe Zahl prüfen
Enthält die vereinfachte Zahl einen nicht verschwindenden i-Anteil, gehört sie zu ℂ\ℝ.
7
7. Kleinste Menge und Begründung angeben
Nenne die kleinste passende Zahlenmenge und begründe sie mit einer entscheidenden Eigenschaft.
AG 1.1 – Zahlenmengen benennen
Die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ mit ihren gebräuchlichen Symbolen benennen.
1
Zahlenmengen auflisten
Nenne die fünf grundlegenden Zahlenmengen natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen.
2
Symbol ℕ zuordnen
Ordne den natürlichen Zahlen das Symbol ℕ zu.
3
Symbol ℤ zuordnen
Ordne den ganzen Zahlen das Symbol ℤ zu.
4
Symbole ℚ und ℝ zuordnen
Ordne rationalen Zahlen ℚ und reellen Zahlen ℝ zu.
5
Symbol ℂ zuordnen
Ordne den komplexen Zahlen das Symbol ℂ zu.
6
Bezeichnung kontrollieren
Prüfe, dass Name und Symbol jeder Zahlenmenge eindeutig zusammenpassen.
AG 1.1 – Elementbeziehung angeben
Mit ∈ oder ∉ angeben, ob eine Zahl Element einer Zahlenmenge ist.
1
Zahl und Menge erkennen
Bestimme die gegebene Zahl und die angegebene Zahlenmenge.
2
Zugehörigkeit prüfen
Entscheide, ob die Zahl die definierenden Eigenschaften der Menge erfüllt.
3
Elementsymbol wählen
Verwende ∈, wenn die Zahl zur Menge gehört, sonst ∉.
4
Aussage vollständig schreiben
Notiere die Zahl links und die Zahlenmenge rechts vom Elementsymbol.
5
Plausibilität prüfen
Kontrolliere die Entscheidung bei Bedarf über die Einordnung in die kleinste passende Zahlenmenge.
AG 1.1 – Teilmengenbeziehungen angeben
Die grundlegenden Teilmengenbeziehungen zwischen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ angeben.
1
Grundmengen ordnen
Ordne ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ nach ihrer zunehmenden Erweiterung.
2
ℕ und ℤ vergleichen
Jede natürliche Zahl ist ganz; daher gilt ℕ ⊆ ℤ.
3
ℤ und ℚ vergleichen
Jede ganze Zahl kann als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden; daher gilt ℤ ⊆ ℚ.
4
ℚ und ℝ vergleichen
Jede rationale Zahl ist reell; daher gilt ℚ ⊆ ℝ.
5
ℝ und ℂ vergleichen
Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil 0; daher gilt ℝ ⊆ ℂ.
6
Kette angeben
Fasse die Beziehungen als ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ zusammen.
AG 1.1 – Natürliche Zahlen charakterisieren
Natürliche Zahlen anhand typischer Beispiele und Eigenschaften erkennen.
1
Ganzzahligkeit prüfen
Eine natürliche Zahl besitzt keinen Bruch- oder Dezimalanteil.
2
Vorzeichen prüfen
Im Lerncoach werden natürliche Zahlen als nichtnegative ganze Zahlen verwendet.
3
Typische Beispiele zuordnen
Erkenne 0, 1, 2, 3 und weitere nichtnegative ganze Zahlen als natürliche Zahlen.
4
Gegenbeispiele ausschließen
Negative ganze Zahlen, echte Brüche und irrationale Zahlen sind nicht natürlich.
5
Urteil begründen
Nenne als Begründung die Nichtnegativität und Ganzzahligkeit.
AG 1.1 – Ganze Zahlen charakterisieren
Ganze Zahlen anhand typischer Beispiele und Eigenschaften erkennen.
1
Ganzzahligkeit prüfen
Prüfe, ob die Zahl ohne Bruch- oder Dezimalanteil ganzzahlig ist.
2
Vorzeichen zulassen
Ganze Zahlen dürfen negativ, null oder positiv sein.
3
Typische Beispiele erkennen
Ordne Werte wie −4, 0 oder 17 den ganzen Zahlen zu.
4
Nichtganze Werte ausschließen
Echte Brüche, nichtganzzahlige Dezimalzahlen und irrationale Werte sind keine ganzen Zahlen.
5
Urteil begründen
Begründe die Einordnung mit der Ganzzahligkeit.
AG 1.1 – Reelle Zahlen im Modellkontext deuten
Begründen, warum kontinuierliche Größen typischerweise mit reellen Zahlen modelliert werden.
1
Größe im Kontext bestimmen
Erkenne, welche messbare Größe beschrieben werden soll.
2
Kontinuierlichkeit prüfen
Beurteile, ob zwischen zwei möglichen Messwerten grundsätzlich weitere Werte auftreten können.
3
Reelle Zahlen zuordnen
Für kontinuierliche Größen sind reelle Zahlen als Modellbereich geeignet.
4
Einheit berücksichtigen
Verbinde den Zahlenwert mit der passenden Einheit der Messgröße.
5
Modellbegründung formulieren
Erkläre, dass reelle Zahlen Zwischenwerte und damit kontinuierliche Messwerte abbilden können.
AG 1.1 – Komplexe Zahlen als Erweiterung einordnen
Erkennen und erklären, dass es Zahlenbereiche gibt, die über ℝ hinausgehen.
1
Reellen Zahlenbereich erinnern
Erkenne ℝ als Zahlenbereich aller reellen Zahlen.
2
Nichtreellen Bedarf erkennen
Beachte Aufgaben, in denen reelle Zahlen als Lösungen nicht ausreichen.
3
Imaginäre Einheit verwenden
Nutze i mit i² = −1 als neue Zahleneinheit.
4
Komplexe Form erkennen
Schreibe komplexe Zahlen grundsätzlich als a + bi mit reellen a und b.
5
Erweiterung einordnen
Ordne ℝ als Teilmenge von ℂ ein.
6
Bedeutung erklären
Formuliere, dass ℂ den reellen Zahlenbereich erweitert und zusätzliche Gleichungslösungen ermöglicht.
AG 1.1 – Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ benennen
Die vier im ersten HTL-Jahrgang relevanten Zahlenmengen mit ihren Symbolen benennen.
1
ℕ benennen
Ordne den natürlichen Zahlen das Symbol ℕ zu.
2
ℤ benennen
Ordne den ganzen Zahlen das Symbol ℤ zu.
3
ℚ benennen
Ordne den rationalen Zahlen das Symbol ℚ zu.
4
ℝ benennen
Ordne den reellen Zahlen das Symbol ℝ zu.
5
Vier Zuordnungen kontrollieren
Prüfe, dass keine komplexe Zahlenmenge verlangt ist und alle vier reellen Zahlenbereiche korrekt benannt sind.
AG 1.1 – Teilmengenkette ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ angeben
Die grundlegenden Teilmengenbeziehungen der reellen Zahlenbereiche korrekt angeben.
1
ℕ in ℤ einordnen
Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.
2
ℤ in ℚ einordnen
Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit Nenner 1 schreiben.
3
ℚ in ℝ einordnen
Jede rationale Zahl ist reell.
4
Teilmengensymbole setzen
Verwende zwischen den Mengen jeweils ⊆.
5
Kette vollständig angeben
Notiere ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.
AG 1.1 – Erweiterung ℕ → ℤ argumentieren
Begründen, warum für Subtraktionen natürlicher Zahlen die ganzen Zahlen benötigt werden.
1
Operation betrachten
Untersuche die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen.
2
Gegenbeispiel wählen
Wähle einen Fall, in dem die zweite natürliche Zahl größer als die erste ist.
3
Ergebnis bestimmen
Die Differenz ist dann negativ und daher nicht mehr natürlich.
4
Erweiterung benennen
Negative ganze Zahlen liegen in ℤ.
5
Argument formulieren
Begründe damit, warum ℕ für alle Subtraktionen nicht abgeschlossen ist und zu ℤ erweitert wird.
AG 1.1 – Erweiterung ℤ → ℚ argumentieren
Begründen, warum für Divisionen ganzer Zahlen die rationalen Zahlen benötigt werden.
1
Operation betrachten
Untersuche die Division zweier ganzer Zahlen mit Divisor ungleich null.
2
Gegenbeispiel wählen
Wähle zwei ganze Zahlen, deren Quotient nicht ganzzahlig ist.
3
Bruch erkennen
Der entstehende Quotient lässt sich als Verhältnis ganzer Zahlen schreiben.
4
Erweiterung benennen
Solche Brüche gehören zu ℚ.
5
Argument formulieren
Begründe damit, warum ℤ für Divisionen nicht ausreicht und zu ℚ erweitert wird.
AG 1.1 – Erweiterung ℚ → ℝ argumentieren
Begründen, warum irrationale Zahlen eine Erweiterung der rationalen Zahlen erforderlich machen.
1
Rationale Zahlen erinnern
Rationale Zahlen lassen sich als Quotient ganzer Zahlen darstellen.
2
Irrationales Beispiel wählen
Nutze etwa √2 oder π als reelle Zahl, die nicht rational ist.
3
Nichtzugehörigkeit begründen
Erkläre, dass eine solche Zahl nicht als Quotient ganzer Zahlen darstellbar ist.
4
Erweiterung benennen
Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden ℝ.
5
Argument formulieren
Begründe damit, warum ℚ zur Beschreibung aller reellen Größen zu ℝ erweitert wird.
