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Einfache Regeln des Integrierens | Lerncoach
AN 4.2
Einfache Regeln des Integrierens Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
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Analysis 17 Schrittlisten PDF verfügbar
Das solltest du können
Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für konstante Faktoren
Interaktive Visualisierung
Regeln des Integrierens Wähle eine Regel und verfolge, wie aus der Funktion eine Stammfunktion entsteht.
xⁿ Potenzregel Σ Summe & Faktor kx f(kx) ∫ₐᵇ Hauptsatz
Ausgangsfunktion
f ( x ) = 3 x 2 f(x)=3x^2 f ( x ) = 3 x 2
→
Exponent erhöhen
3 ⋅ x 3 3 3\cdot\frac{x^3}{3} 3 ⋅ 3 x 3
→
Stammfunktion
F ( x ) = x 3 + C F(x)=x^3+C F ( x ) = x 3 + C
Allgemeine Potenzregel
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ∫ x n d x = n + 1 x n + 1 + C
für n ≠ −1
Probe durch Ableiten
F ′ ( x ) = 3 x 2 F'(x)=3x^2 F ′ ( x ) = 3 x 2
✓ ursprüngliche Funktion
Kontrolle: Eine gefundene Stammfunktion ist richtig, wenn beim Ableiten wieder die ursprüngliche Funktion entsteht.
Einfache Regeln des Integrierens
Kompetenzcode: AN 4.2Bereich: Analysis
Leitidee: Integrieren kann man als die andere Richtung zum Ableiten denken. Beim Ableiten geht man von einer Funktion F F F Ableitung f f f f f f F F F
AN 4.2 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1 Aufgabenart erkennen Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2 Gegebene Größen markieren Notiere Werte, Variablen
3 Begriffe erklären Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4 Voraussetzungen prüfen Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5 Zielgröße festlegen Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6 Passende Darstellung wählen Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, Gleichung
GeoGebra-Übersicht: AN 4.2 – Einfache Regeln des Integrierens
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
f f f
1. Ableiten und Integrieren gehören zusammen Eine Funktion F F F f f f
F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) für alle Stellen des betrachteten Intervalls gilt.
Beim Ableiten wird die Konstante C C C 0 0 0 f f f
Merke: Beim unbestimmten Integral gehört deshalb immer + C +C + C
2. Die Potenzregel des Integrierens aus der Ableitungsregel herleiten Die Potenzregel des Ableitens lautet:
[ x m ] ′ = m ⋅ x m − 1 . \left[x^m\right]'=m\cdot x^{m-1}. [ x m ] ′ = m ⋅ x m − 1 . Wir möchten rückwärts eine Stammfunktion zu x n x^n x n Exponent n n n 1 1 1
Setzen wir das in die Ableitungsregel ein, erhalten wir:
[ x n + 1 ] ′ = ( n + 1 ) ⋅ x n . \left[x^{n+1}\right]'=(n+1)\cdot x^n. [ x n + 1 ] ′ = ( n + 1 ) ⋅ x n . Noch ist der Faktor n + 1 n+1 n + 1 n + 1 n+1 n + 1
[ x n + 1 n + 1 ] ′ = x n . \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]'=x^n. [ n + 1 x n + 1 ] ′ = x n . Damit folgt die Potenzregel des Integrierens:
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1. \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
\qquad n\neq -1. ∫ x n d x = n + 1 x n + 1 + C , n = − 1.
Schülerregel
Den Exponenten um 1 1 1
Durch den neuen Exponenten dividieren.
+ C +C + C Das Ergebnis durch Ableiten prüfen.
Beispiel Der neue Exponent ist 5 5 5
∫ x 4 d x = x 5 5 + C . \int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}+C. ∫ x 4 d x = 5 x 5 + C . [ x 5 5 + C ] ′ = x 4 . \left[\frac{x^5}{5}+C\right]'=x^4. [ 5 x 5 + C ] ′ = x 4 .
3. Faktoren verändern die Grundidee nicht ∫ 6 x 5 d x \int 6x^5\,dx ∫ 6 x 5 d x bleibt der Faktor 6 6 6
∫ 6 x 5 d x = 6 ⋅ x 6 6 + C = x 6 + C . \int 6x^5\,dx
=
6\cdot\frac{x^6}{6}+C
=
x^6+C. ∫ 6 x 5 d x = 6 ⋅ 6 x 6 + C = x 6 + C . Allgemein gilt für eine Konstante k k k
∫ k ⋅ f ( x ) d x = k ⋅ ∫ f ( x ) d x . \int k\cdot f(x)\,dx
=
k\cdot\int f(x)\,dx. ∫ k ⋅ f ( x ) d x = k ⋅ ∫ f ( x ) d x .
Konstante Funktionen Eine Stammfunktion von 5 5 5 5 5 5
∫ 5 d x = 5 x + C . \int 5\,dx=5x+C. ∫ 5 d x = 5 x + C . [ 5 x + C ] ′ = 5. [5x+C]'=5. [ 5 x + C ] ′ = 5.
4. Summenregel und Polynome Jeder Summand wird einzeln integriert:
∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x . \int\left(f(x)+g(x)\right)\,dx
=
\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx. ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x .
Beispiel ∫ ( 3 x 2 − 4 x + 5 ) d x \int\left(3x^2-4x+5\right)\,dx ∫ ( 3 x 2 − 4 x + 5 ) d x Wir integrieren Summand für Summand:
∫ 3 x 2 d x = x 3 , \int 3x^2\,dx=x^3, ∫ 3 x 2 d x = x 3 , ∫ − 4 x d x = − 2 x 2 , \int -4x\,dx=-2x^2, ∫ − 4 x d x = − 2 x 2 , ∫ 5 d x = 5 x . \int 5\,dx=5x. ∫ 5 d x = 5 x . F ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 5 x + C . F(x)=x^3-2x^2+5x+C. F ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 5 x + C . F ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 5. F'(x)=3x^2-4x+5. F ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 5.
5. Negative und rationale Exponenten Die Potenzregel gilt auch für viele negative und rationale Exponenten.
Negativer Exponent ∫ x − 2 d x = x − 1 − 1 + C = − x − 1 + C . \int x^{-2}\,dx
=
\frac{x^{-1}}{-1}+C
=
-x^{-1}+C. ∫ x − 2 d x = − 1 x − 1 + C = − x − 1 + C . [ − x − 1 + C ] ′ = x − 2 . [-x^{-1}+C]'=x^{-2}. [ − x − 1 + C ] ′ = x − 2 .
Wurzel als Potenz schreiben x = x 1 2 . \sqrt{x}=x^{\frac12}. x = x 2 1 . ∫ x d x = ∫ x 1 2 d x = x 3 2 3 2 + C = 2 3 x 3 2 + C . \int\sqrt{x}\,dx
=
\int x^{\frac12}\,dx
=
\frac{x^{\frac32}}{\frac32}+C
=
\frac23x^{\frac32}+C. ∫ x d x = ∫ x 2 1 d x = 2 3 x 2 3 C = 3 2 x 2 3 + C . Für n = − 1 n=-1 n = − 1 0 0 0 0 0 0
∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C \int \frac1x\,dx=\ln|x|+C ∫ x 1 d x = ln ∣ x ∣ + C auf Intervallen, die 0 0 0
6. Lineare innere Skalierung rückwärts denken Beim Ableiten von ( k x + d ) n + 1 (kx+d)^{n+1} ( k x + d ) n + 1 k k k
[ ( k x + d ) n + 1 ] ′ = ( n + 1 ) ⋅ ( k x + d ) n ⋅ k . \left[(kx+d)^{n+1}\right]'
=
(n+1)\cdot(kx+d)^n\cdot k. [ ( k x + d ) n + 1 ] ′ = ( n + 1 ) ⋅ ( k x + d ) n ⋅ k . Beim Integrieren müssen wir deshalb durch beide entstehenden Faktoren dividieren:
∫ ( k x + d ) n d x = ( k x + d ) n + 1 k ( n + 1 ) + C , \int(kx+d)^n\,dx
=
\frac{(kx+d)^{n+1}}{k(n+1)}+C, ∫ ( k x + d ) n d x = k ( n + 1 ) ( k x + d ) n + 1 + C , wobei k ≠ 0 k\neq0 k = 0 n ≠ − 1 n\neq-1 n = − 1
Beispiel ∫ ( 3 x + 1 ) 2 d x \int(3x+1)^2\,dx ∫ ( 3 x + 1 ) 2 d x Durch den neuen Exponenten 3 3 3 3 3 3
∫ ( 3 x + 1 ) 2 d x = ( 3 x + 1 ) 3 9 + C . \int(3x+1)^2\,dx
=
\frac{(3x+1)^3}{9}+C. ∫ ( 3 x + 1 ) 2 d x = 9 ( 3 x + 1 ) 3 + C . [ ( 3 x + 1 ) 3 9 + C ] ′ = ( 3 x + 1 ) 2 . \left[\frac{(3x+1)^3}{9}+C\right]'
=
(3x+1)^2. [ 9 ( 3 x + 1 ) 3 + C ] ′ = ( 3 x + 1 ) 2 .
Trigonometrisches Beispiel [ sin ( 4 x ) ] ′ = 4 cos ( 4 x ) , [\sin(4x)]'=4\cos(4x), [ sin ( 4 x ) ] ′ = 4 cos ( 4 x ) , ∫ cos ( 4 x ) d x = 1 4 sin ( 4 x ) + C . \int\cos(4x)\,dx
=
\frac14\sin(4x)+C. ∫ cos ( 4 x ) d x = 4 1 sin ( 4 x ) + C .
7. Bestimmte Integrale mit einer Stammfunktion berechnen Ist F F F f f f
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . Man setzt zuerst die obere und danach die untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein.
Warum erscheint kein + C +C + C Verwenden wir F ( x ) + C F(x)+C F ( x ) + C
( F ( b ) + C ) − ( F ( a ) + C ) = F ( b ) − F ( a ) . (F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a). ( F ( b ) + C ) − ( F ( a ) + C ) = F ( b ) − F ( a ) . Die beiden Konstanten heben sich auf.
Beispiel ∫ 0 2 ( 3 x 2 + 1 ) d x . \int_0^2\left(3x^2+1\right)\,dx. ∫ 0 2 ( 3 x 2 + 1 ) d x . F ( x ) = x 3 + x . F(x)=x^3+x. F ( x ) = x 3 + x . ∫ 0 2 ( 3 x 2 + 1 ) d x = F ( 2 ) − F ( 0 ) = ( 2 3 + 2 ) − ( 0 3 + 0 ) = 10. \begin{aligned}
\int_0^2\left(3x^2+1\right)\,dx
&=F(2)-F(0)\\
&=(2^3+2)-(0^3+0)\\
&=10.
\end{aligned} ∫ 0 2 ( 3 x 2 + 1 ) d x = F ( 2 ) − F ( 0 ) = ( 2 3 + 2 ) − ( 0 3 + 0 ) = 10.
8. Vollständiges Beispiel ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 5 ) d x . \int_0^2\left(3x^2-4x+5\right)\,dx. ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 5 ) d x .
Schritt 1: Stammfunktion bilden F ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 5 x . F(x)=x^3-2x^2+5x. F ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 5 x .
Schritt 2: Obere Grenze einsetzen F ( 2 ) = 2 3 − 2 ⋅ 2 2 + 5 ⋅ 2 = 10. F(2)=2^3-2\cdot2^2+5\cdot2=10. F ( 2 ) = 2 3 − 2 ⋅ 2 2 + 5 ⋅ 2 = 10.
Schritt 3: Untere Grenze einsetzen
Schritt 4: Subtrahieren F ( 2 ) − F ( 0 ) = 10. F(2)-F(0)=10. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 10.
Schritt 5: Durch Ableiten kontrollieren F ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 5. F'(x)=3x^2-4x+5. F ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 5.
9. Sichere Vorgehensweise
Unbestimmtes Integral
Integranden in Summanden zerlegen.
Faktoren beibehalten.
Bei Potenzen den Exponenten um 1 1 1
Durch den neuen Exponenten dividieren.
Bei linearer innerer Skalierung zusätzlich durch den inneren Faktor dividieren.
+ C +C + C Das Ergebnis ableiten.
Bestimmtes Integral
Eine Stammfunktion F F F
F ( b ) F(b) F ( b ) F ( a ) F(a) F ( a ) F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a ) Ergebnis und Vorzeichen prüfen.
10. Typische Fehler
Durch den alten Exponenten dividiert: Es wird durch den neuen Exponenten dividiert.Exponent nicht erhöht: Beim Integrieren wird der Exponent zuerst um 1 1 1 + C +C + C Bei einer Konstanten nur + C +C + C Aus 5 5 5 5 x + C 5x+C 5 x + C Inneren Faktor übersehen: Bei ( 3 x + 1 ) 2 (3x+1)^2 ( 3 x + 1 ) 2 3 3 3 Grenzen in den Integranden eingesetzt: Die Grenzen werden in die Stammfunktion eingesetzt.Untere minus obere Grenze gerechnet: Richtig ist obere minus untere Grenze.Sonderfall x − 1 x^{-1} x − 1 Hier gilt die Logarithmusregel.
11. Zusammenfassung
Integrieren ist die andere Richtung zum Ableiten.
F F F f f f F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) Die Potenzregel des Integrierens folgt direkt aus der Potenzregel des Ableitens.
Schülerregel: Exponent plus 1 1 1
Beim unbestimmten Integral gehört + C +C + C
Summanden werden einzeln integriert; konstante Faktoren bleiben erhalten.
Bei linearer innerer Skalierung wird zusätzlich durch den inneren Faktor dividiert.
Bestimmte Integrale werden mit F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a )
7
Start kontrollieren Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
AN 4.2 – Darstellungen lesen und wechseln Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
1 Ausgangsdarstellung lesen Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
2 Größen zuordnen Ordne Achsen, Spalten, Variablen
3 Kennwerte entnehmen Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
4 Zielform festlegen Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
5 Darstellung erzeugen Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
6 Zusammenhang erklären Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
7 Rückkontrolle Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
AN 4.2 – Mathematisches Verfahren anwenden Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
1 Modell oder Formel wählen Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Integranden in geeignete Summanden zerlegen“ passt.
2 Werte einsetzen Setze Zahlen und Variablen
3 Schrittweise umformen Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
4 Technische Rechnung ausführen Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
5 Zwischenergebnis prüfen Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
6 Ergebnis darstellen Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
7 Rechenweg rückprüfen Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
AN 4.2 – Ergebnis im Kontext deuten Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
1 Ergebnis identifizieren Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
2 Einheit ergänzen Ordne die sachlich passende Einheit zu.
3 Bezug nennen Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
4 Vorzeichen deuten Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
5 Gültigkeitsbereich beachten Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
6 Antwortsatz schreiben Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
7 Plausibilität bewerten Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
AN 4.2 – Lösung kontrollieren und Fehler vermeiden Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
1 Formale Probe Kontrolliere Gleichungen Funktionswerte
2 Darstellungsprobe Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
3 Einheitenprobe Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
4 Definitionsprobe Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
5 Grenzfall prüfen Teste einen einfachen oder extremen Fall.
6 Typischen Fehler suchen Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
7 Endfassung erstellen Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
AN 4.2 – Konstante Funktion integrieren Eine Stammfunktion einer konstanten Funktion
1 Konstante erkennen Prüfe, dass der Funktionsterm nur aus einer konstanten Zahl c besteht.
2 Passenden Stammterm wählen Zu der konstanten Funktion
3 Integrationskonstante ergänzen Füge bei einer unbestimmten Integration die Konstante C hinzu.
4 5 Durch Ableiten prüfen Leite F ab und kontrolliere, dass F'(x)=c gilt.
6 Sonderfall 0 beachten Auch für c=0 erhältst du konstante Stammfunktionen F(x)=C.
AN 4.2 – Potenzregel des Integrierens anwenden Eine Potenzfunktion mit Exponent
1 Potenzterm erkennen Schreibe den Integranden in der Form x n x^{n} x n
2 3 Durch neuen Exponenten teilen Teile den neuen Potenzterm durch n+1.
4 5 Integrationskonstante ergänzen Füge bei einem unbestimmten Integral +C hinzu.
6 Durch Ableiten prüfen Leite den Stammterm ab und kontrolliere, dass wieder x n x^{n} x n
AN 4.2 – Faktorregel des Integrierens anwenden Einen konstanten Faktor
1 Konstanten Faktor erkennen Schreibe den Integranden als c·f(x) mit konstantem c.
2 Konstante vor der Integration beibehalten Der Faktor
3 Funktionsteil integrieren Bestimme eine Stammfunktion F von f.
4 Faktor mit Stammfunktion verbinden 5 Integrationskonstante ergänzen Füge bei unbestimmter Integration +C hinzu.
6 Probe durchführen Leite c·F(x)+C ab und prüfe, dass c·f(x) entsteht.
AN 4.2 – Summenregel des Integrierens anwenden Eine Summe oder Differenz einfacher Funktionen
1 Integranden zerlegen Trenne die Funktion Terme
2 Jeden Term integrieren Bestimme zu jedem Summanden beziehungsweise Differenzterm eine Stammfunktion.
3 Vorzeichen beibehalten Übernimm Plus- und Minuszeichen unverändert.
4 Stammterme zusammensetzen Verbinde die einzelnen Stammterme wieder zur Gesamtstammfunktion.
5 Einmal C ergänzen Füge am Ende genau eine beliebige Integrationskonstante C hinzu.
6 Ableitungsprobe machen Leite das Ergebnis gliedweise ab und vergleiche mit dem ursprünglichen Integranden.
AN 4.2 – Funktion der Form f(kx) integrieren Die Regel für eine lineare innere Funktion
1 Lineare innere Funktion erkennen Schreibe den Integranden in der Form f(k·x) mit konstantem k≠0.
2 Äußere Stammfunktion bestimmen 3 Innere Stelle beibehalten Setze in die Stammfunktion weiterhin k·x ein.
4 Durch k ausgleichen Multipliziere mit 1/k, damit die innere Ableitung
5 6 Durch Ableiten prüfen Die Kettenregel muss beim Ableiten wieder genau f(k·x) ergeben.
AN 4.2 – Polynomfunktion integrieren Eine Polynomfunktion mithilfe der einfachen Integrationsregeln integrieren.
1 Polynom in Terme zerlegen Schreibe das Polynom als einzelne Potenzterme mit ihren Vorzeichen.
2 Konstanten Faktoren übernehmen Lass Zahlenfaktoren bei jedem Term
3 Potenzregel rückwärts anwenden Erhöhe bei jedem Potenzterm den Exponenten
4 Konstante Terme integrieren Aus einer Konstanten c wird der Stammterm c·x.
5 Stammterme zusammensetzen Verbinde alle integrierten Terme
6 Ableitungsprobe durchführen Leite die gefundene Stammfunktion ab und kontrolliere das ursprüngliche Polynom.
AN 4.2 – Integrationskonstante ergänzen Bei einem unbestimmten Integral die Konstante C berücksichtigen.
1 Unbestimmte Integration erkennen Prüfe, dass keine festen unteren und oberen Grenzen vorgegeben sind.
2 Eine Stammfunktion bestimmen Bestimme zunächst einen konkreten Stammterm F(x).
3 Nicht Eindeutigkeit beachten Alle Funktionen Ableitung
4 Konstante ergänzen Schreibe deshalb +C mit C∈ℝ.
5 Bedeutung erklären C beschreibt die vertikale Verschiebung innerhalb der Stammfunktionsschar.
6 Ableitungsprobe nutzen Beim Ableiten verschwindet C und der ursprüngliche Integrand bleibt erhalten.
AN 4.2 – Stammfunktion durch Ableiten prüfen Eine gefundene Stammfunktion durch Ableiten kontrollieren.
1 Gefundene Stammfunktion notieren Schreibe F(x) vollständig einschließlich einer möglichen Konstanten auf.
2 F ableiten Bestimme F'(x) mit den passenden Ableitungsregeln.
3 Terme vereinfachen Vereinfache die Ableitung
4 Mit Integrand vergleichen Vergleiche F'(x) mit der ursprünglichen Funktion
5 Gleichheit entscheiden Nur bei F'(x)=f(x) ist F tatsächlich eine Stammfunktion.
6 Fehler bei Bedarf lokalisieren Kontrolliere besonders Exponenten Faktoren
AN 4.2 – Bestimmtes Integral mit Hauptsatz berechnen Ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion und der Intervallgrenzen berechnen.
1 Integrationsgrenzen bestimmen Lies die untere Grenze a und die obere Grenze b ab.
2 Stammfunktion finden Bestimme eine Stammfunktion F des Integranden.
3 Hauptsatz anwenden Berechne den bestimmten Integralwert als F(b)−F(a).
4 5 Untere Grenze einsetzen Berechne anschließend F(a) und ziehe diesen Wert ab.
6 Ergebnis prüfen Kontrolliere Vorzeichen, Größenordnung und gegebenenfalls die geometrische Bedeutung.
AN 4.2 – Obere und untere Grenze einsetzen F(b) − F(a) mit korrekter Reihenfolge der Grenzen auswerten.
1 Stammfunktion bereithalten Verwende die bereits bestimmte Stammfunktion F.
2 Obere Grenze einsetzen Setze b vollständig in F ein und berechne F(b).
3 Untere Grenze einsetzen Setze a vollständig in F ein und berechne F(a).
4 Reihenfolge festhalten Bilde immer obere Auswertung minus untere Auswertung.
5 Klammern bei F(a) verwenden Setze den gesamten Wert F(a) in Klammern, bevor du ihn subtrahierst.
6 Vorzeichen prüfen Kontrolliere besonders Minuszeichen in F(a), damit beim Subtrahieren kein Vorzeichenfehler entsteht.
AN 4.2 – Bestimmte Integrale von Polynomfunktionen berechnen Ein bestimmtes Integral einer Polynomfunktion vollständig berechnen.
1 Polynomintegrand strukturieren Zerlege das Polynom in einzelne Potenzterme.
2 Stammfunktion bilden Integriere jeden Term
3 Grenzen notieren Bestimme a und b des Integrals.
4 F(b) berechnen Setze die obere Grenze in die Stammfunktion ein.
5 F(a) berechnen und abziehen Setze die untere Grenze ein und bilde F(b)−F(a).
6 Ergebnis vereinfachen Berechne den Zahlenwert vollständig und kontrolliere ihn auf Plausibilität.
AN 4.2 – Fehlerhafte Integration erkennen Typische Fehler bei Potenzregel, Grenzen oder Integrationskonstante erkennen und korrigieren.
1 Integrationsschritt mit Regel vergleichen Prüfe, welche einfache Integrationsregel auf den jeweiligen Term
2 Exponenten kontrollieren Bei x n x^{n} x n Exponent
3 Faktoren und Vorzeichen prüfen Konstante Faktoren
4 Grenzen kontrollieren Bei bestimmten Integralen muss F(b)−F(a) in dieser Reihenfolge ausgewertet werden.
5 Konstante passend behandeln Bei unbestimmten Integralen gehört +C dazu; beim bestimmten Integral ist keine zusätzliche Integrationskonstante nötig.
6 Fehler korrigieren Ersetze nur die fehlerhaften Schritte und bestätige das korrigierte Ergebnis durch Ableiten oder erneutes Einsetzen der Grenzen.
Untersumme Untersumme(f,a,b,n) Produktsumme visualisieren Untersumme(f,0,2,8) Grafik Funktion und Teilzahl
Obersumme Obersumme(f,a,b,n) obere Produktsumme Obersumme(f,0,2,8) Grafik Funktion und Teilzahl
2. Befehle als unveränderte Codeblöcke
Integral Verwendung: bestimmtes Integral berechnen
Benötigte Ansicht: CAS/Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Grenzen
Integral Verwendung: Stammfunktion erzeugen
Mathematische Voraussetzung: Integrierbare Funktion
Untersumme Verwendung: Produktsumme visualisieren
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Teilzahl
Obersumme Verwendung: obere Produktsumme
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Teilzahl
3. Sinnvolle Arbeitsweise
Mathematische Größen und Voraussetzungen zuerst händisch bestimmen.
Eingabe exakt mit Klammern, Dezimaltrennzeichen und Variablen
Darstellung und berechnete Werte mit dem eigenen Ergebnis vergleichen.
Abweichungen als Anlass für eine Fehleranalyse verwenden.
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.
F
(
x
)
=
2 x 4 +
C
+
