Der höchste vorkommende n ist der Grad der Polynomfunktion. Der an heißt Leitkoeffizient.
Leitidee: Grad und Leitkoeffizient bestimmen, wohin die beiden Äste des Graphen für große positive und negative x-Werte zeigen.
1. Woran erkennt man eine Polynomfunktion?
Bei einer Polynomfunktion kommen nur nichtnegative ganze Exponenten vor:
0,1,2,3,…
Beispiele:
f(x)=3x4−2x2+5
g(x)=−x3+4x
h(x)=7.
Keine Polynomfunktionen sind zum Beispiel:
x1,x,2x,ln(x).
Typische Polynomgraphen sind
zusammenhängend,
glatt,
ohne Sprünge,
ohne Lücken,
ohne senkrechte Asymptoten.
Diese Merkmale sind eine gute Erkennungshilfe. Für eine sichere Zuordnung braucht man zusätzlich Informationen über , Grad oder Endverhalten.
2. Grad und Leitkoeffizient bestimmen
Bei
f(x)=−3x4+2x2−7x+1
ist der höchste Exponent
n=4.
Der Leitkoeffizient lautet
a4=−3.
Terme müssen gegebenenfalls zuerst geordnet und zusammengefasst werden.
Beispiel
g(x)=5−2x3+7x−x3.
Gleichartige Terme zusammenfassen:
g(x)=−2x3−x3+7x+5=−3x3+7x+5.
Daher gilt:
n=3unda3=−3.
3. Die wichtigste Astregel
Für große Beträge von x dominiert der Leitterm
anxn.
Die niedrigeren Potenzterme beeinflussen zwar Hügel, Täler, Nullstellen und Wendungen, aber nicht das grundsätzliche Endverhalten.
Gerader Grad
Bei geradem Grad zeigen beide Äste in dieselbe Richtung.
Ungerader Grad
Bei ungeradem Grad zeigen die beiden Äste in entgegengesetzte Richtungen.
Vorzeichen des Leitkoeffizienten
an>0: Der rechte Ast zeigt nach oben.
an<0: Der rechte Ast zeigt nach unten.
4. Die vier Fälle des Endverhaltens
Grad
Leitkoeffizient
Linker Ast
Rechter Ast
gerade
positiv
nach oben
nach oben
gerade
negativ
nach unten
nach unten
ungerade
positiv
nach unten
nach oben
ungerade
negativ
nach oben
nach unten
Merkhilfe
Gerader Grad: gleiche Richtung. Ungerader Grad: unterschiedliche Richtungen. Der rechte Ast verrät das Vorzeichen des Leitkoeffizienten.
5. Typische Verläufe der Grade 0 bis 4
Grad 0
f(x)=a0.
Der Graph ist eine waagrechte Gerade.
Grad 1
f(x)=a1x+a0.
Der Graph ist eine nicht waagrechte Gerade.
Grad 2
Ein typischer Graph ist eine Parabel. Beide Äste zeigen in dieselbe Richtung.
Grad 3
Ein typischer Graph ist S-förmig oder besitzt einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Die Äste zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
Grad 4
Ein typischer Graph kann W- oder M-förmig sein. Beide Äste zeigen in dieselbe Richtung.
Wichtig: Ein Grad legt nicht einen einzigen Graphen fest. Eine Funktion vierten Grades muss nicht immer genau wie ein W aussehen. Sicher sind vor allem Endverhalten und obere Grenzen für charakteristische Stellen.
6. Tipp: Grad an Hügeln und Tälern eingrenzen
Im Alltag kann man Hoch- und Tiefpunkte als Hügel und Täler bezeichnen.
Für eine Polynomfunktion vom Grad n gilt:
ho¨chstens n−1 Extremstellen.
Sieht man k Extremstellen, dann folgt:
n≥k+1.
Beispiele
Ein sichtbarer Hügel oder ein sichtbares Tal:
n≥2.
Zwei Extremstellen:
n≥3.
Drei Extremstellen:
n≥4.
Achtung: Die Anzahl der Hügel und Täler liefert meistens nur einen Mindestgrad. Ein Graph mit einer Extremstelle kann zum Beispiel Grad 2, 4, 6 oder höher besitzen.
7. Aus einem Graphen den Grad bestimmen
In konkreten Aufgaben wird häufig zusätzlich ein maximal möglicher Grad angegeben, zum Beispiel:
n≤4.
Dann kann man Endverhalten und Extremstellen kombinieren.
Beispielaufgabe
Der abgebildete Graph gehört zu einer Polynomfunktion mit
n≤4.
Bestimme den Grad und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten.
Schritt 1: Äste vergleichen
Beide Äste zeigen nach oben.
⇒gerader Grad
Schritt 2: Hügel und Täler zählen
Der Graph besitzt drei Extremstellen: zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt.
⇒n≥4
Schritt 3: Zusatzinformation verwenden
Es gilt:
n≤4.
Somit:
n=4.
Schritt 4: Leitkoeffizienten deuten
Der rechte Ast zeigt nach oben.
a4>0.
8. Ein zweites Zuordnungsbeispiel
Ein Graph besitzt zwei Extremstellen. Sein linker Ast zeigt nach oben und sein rechter Ast nach unten. Zusätzlich gilt:
n≤4.
Die Äste zeigen in entgegengesetzte Richtungen:
⇒ungerader Grad.
Zwei Extremstellen bedeuten:
n≥3.
Unter den ungeraden Graden bis 4 bleibt nur:
n=3.
Der rechte Ast zeigt nach unten:
a3<0.
9. Was man aus einem Graphen sicher und nicht sicher erkennt
Sicher erkennbar
Bei ausreichend groß dargestelltem Bereich kann man häufig erkennen:
gleiche oder unterschiedliche Richtung der Äste,
Vorzeichen des Leitkoeffizienten,
Mindestgrad aus sichtbaren Extremstellen,
ob der Graph glatt und zusammenhängend verläuft.
Nicht immer sicher erkennbar
Ohne Zusatzinformation erkennt man nicht zwingend:
den exakten Grad,
alle Nullstellen,
alle Extremstellen außerhalb des dargestellten Bereichs,
die exakten Koeffizienten,
ob ein sehr ähnlich aussehender Ausschnitt zu einem höheren Grad gehört.
Graphen zeigen immer nur den dargestellten Ausschnitt.
10. Typische Verwechslungen
Grad und Anzahl der Terme
Die Zahl der Terme ist nicht der Grad.
f(x)=x5+2
besitzt nur zwei Terme, aber Grad 5.
Grad und Anzahl der Nullstellen
Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen. Sie muss nicht genau n reelle Nullstellen besitzen.
Exakter Grad aus einer Extremstelle
Eine Extremstelle bedeutet nur:
n≥2.
Sie beweist nicht automatisch Grad 2.
Symmetrie und Grad
Ein gerader Grad bedeutet nicht automatisch Achsensymmetrie. Ein ungerader Grad bedeutet nicht automatisch Punktsymmetrie. Die Parität bestimmt das Endverhalten, nicht zwingend die Symmetrie des gesamten Graphen.
11. Gleichung und Endverhalten verbinden
Beispiel 1
f(x)=2x4−5x+1.
Grad:
n=4.
Leitkoeffizient:
a4=2>0.
Daher zeigen beide Äste nach oben.
Beispiel 2
g(x)=−3x3+x2+4.
Grad:
n=3.
Leitkoeffizient:
a3=−3<0.
Daher zeigt der linke Ast nach oben und der rechte Ast nach unten.
Beispiel 3
h(x)=−x6+20x2.
Grad:
n=6.
Leitkoeffizient:
a6=−1<0.
Daher zeigen beide Äste nach unten.
12. Polynomfunktion oder nicht?
Polynomfunktion
f(x)=4x3−2x+7.
Alle Exponenten sind nichtnegative ganze Zahlen.
Keine Polynomfunktion
g(x)=x2+x1.
Der Term
x1=x−1
besitzt einen negativen Exponenten.
Keine Polynomfunktion
h(x)=x2+x.
Der Term
x=x1/2
besitzt keinen ganzzahligen Exponenten.
13. Typische Fehler
Die Anzahl der Terme als Grad angeben.
Nur auf die Mitte des Graphen schauen und die Äste ignorieren.
„Beide Äste oben“ mit Achsensymmetrie verwechseln.
Aus einem Hügel sofort auf Grad 2 schließen.
Aus drei Extremstellen nur „Grad ungefähr vier“ statt n≥4 folgern.
Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten am linken statt am rechten Ast bestimmen.
Einen Graphen mit Sprung oder senkrechter Asymptote als typischen Polynomgraphen einordnen.
Ohne Zusatzinformation einen exakten Grad behaupten.
Einen nicht vollständig dargestellten Graphenausschnitt überinterpretieren.
14. Arbeitsplan zum Bestimmen eines möglichen Grades
Prüfen, ob ein glatter und zusammenhängender Polynomgraph plausibel ist.
Beide Äste für große ∣x∣ betrachten.
Gleiche Richtung bedeutet gerader Grad.
Unterschiedliche Richtungen bedeuten ungerader Grad.
Am rechten Ast das Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmen.
Sichtbare Hügel und Täler zählen.
Bei k Extremstellen den Mindestgrad n≥k+1 notieren.
Zusatzinformationen wie n≤4 verwenden.
Exakten Grad nur angeben, wenn er eindeutig folgt.
Grad und Vorzeichen mit vollständiger Begründung formulieren.
Kontrollfrage: Habe ich Astregel, Extremstellen und alle Zusatzinformationen gemeinsam verwendet?
Gradparität, Astrichtung und Vorzeichen des Leitkoeffizienten zwischen Formel und Graph verbinden.
1
Äste vergleichen
Gleiche oder unterschiedliche Richtung feststellen.
2
Gradparität ableiten
Gleich bedeutet gerade, unterschiedlich ungerade.
3
Rechten Ast prüfen
Oben bedeutet positives, unten negatives an.
4
Leitterm verwenden
Endverhalten aus anxn begründen.
5
Aussage vollständig formulieren
Linken und rechten Ast eindeutig beschreiben.
FA 4.1 – Mindestgrad mit Hügeln und Tälern bestimmen
Sichtbare Extremstellen zählen und daraus eine fachlich korrekte untere Gradgrenze ableiten.
1
Extremstellen zählen
Hoch- und Tiefpunkte gemeinsam erfassen.
2
Grenzregel anwenden
Bei k Extremstellen n≥k+1 notieren.
3
Mindestgrad benennen
Zwischen mindestens und genau unterscheiden.
4
Gradparität ergänzen
Endverhalten mit der unteren Grenze kombinieren.
5
Zusatzinformation verwenden
Obere Gradgrenze zur Eindeutigkeit einsetzen.
FA 4.1 – Graphen begründet einem Grad zuordnen
Mehrere Beobachtungen zu einem möglichen oder eindeutigen Polynomgrad verbinden.
1
Polynomgraph plausibilisieren
Glätte, Zusammenhang und fehlende Asymptoten prüfen.
2
Endverhalten bestimmen
Gradparität und Vorzeichen ableiten.
3
Mindestgrad bestimmen
Extremstellenregel anwenden.
4
Möglichkeiten schneiden
Parität, Mindestgrad und Obergrenze kombinieren.
5
Ergebnis begründen
Exakten oder nur möglichen Grad korrekt formulieren.
FA 4.1 – Aussagen kontrollieren und typische Fehler vermeiden
Grad, Symmetrie, , Extremstellen und dargestellten Graphenausschnitt kritisch unterscheiden.
1
Grad und Termzahl trennen
Höchsten statt Anzahl der Summanden verwenden.
2
Parität und Symmetrie trennen
Endverhalten nicht mit Achsen- oder Punktsymmetrie verwechseln.
3
Höchstens-Regeln beachten
Null- und Extremstellen nicht als exakte Anzahl deuten.
4
Graphenfenster prüfen
Nicht sichtbare Bereiche als Unsicherheit berücksichtigen.
5
Endkontrolle durchführen
Alle Beobachtungen und Zusatzinfos gemeinsam prüfen.
FA 4.1 – Grad einer Polynomfunktion bestimmen
Aus einer Funktionsgleichung den Grad der Polynomfunktion bestimmen.
1
Polynomterm ordnen
Schreibe die nach fallenden Potenzen der .
2
Exponenten prüfen
Betrachte nur mit von 0 verschiedenem .
3
Größten Exponenten finden
Bestimme den höchsten vorkommenden der .
4
Grad zuordnen
Dieser höchste ist der Grad der Polynomfunktion.
5
Konstanten Sonderfall beachten
Eine von 0 verschiedene konstante Polynomfunktion besitzt Grad 0.
6
Ergebnis prüfen
Ignoriere mit 0 und nenne den Grad als nichtnegative ganze Zahl.
FA 4.1 – Geradenverlauf bei Grad eins erkennen
Den typischen Graphen einer Polynomfunktion ersten Grades erkennen.
1
Grad bestimmen
Prüfe, dass der höchste 1 ist.
2
Lineare Form erkennen
Eine Polynomfunktion ersten Grades hat die Form f(x)=a·x+b mit a ungleich 0.
3
Graphform zuordnen
Der Graph ist eine nicht waagrechte Gerade.
4
Vorzeichen des Leitkoeffizienten prüfen
Für a>0 steigt, für a<0 fällt die Gerade.
5
Achsenabschnitt beachten
Der konstante b bestimmt die vertikale Lage der Geraden.
6
Typischen Verlauf benennen
Ordne den geradlinigen Verlauf eindeutig dem Grad 1 zu.
FA 4.1 – Parabelverlauf bei Grad zwei erkennen
Den typischen Graphen einer Polynomfunktion zweiten Grades erkennen.
1
Grad bestimmen
Prüfe, dass der höchste 2 ist.
2
Quadratische Form erkennen
Eine Polynomfunktion zweiten Grades besitzt einen von 0 verschiedenen x²-.
3
Parabelform zuordnen
Der Graph ist eine Parabel.
4
Öffnungsrichtung prüfen
Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidet über Öffnung nach oben oder unten.
5
Symmetrie beachten
Jede Parabel besitzt eine senkrechte Symmetrieachse.
6
Typischen Verlauf benennen
Ordne den parabelförmigen Verlauf eindeutig dem Grad 2 zu.
FA 4.1 – Kubischen Verlauf erkennen
Typische Graphen von Polynomfunktionen dritten Grades erkennen.
1
Grad bestimmen
Prüfe, dass der höchste 3 ist.
2
Kubischen Grundverlauf erkennen
Eine Polynomfunktion dritten Grades besitzt typischerweise einen S-förmigen beziehungsweise in den Enden entgegengesetzten Verlauf.
3
Enden vergleichen
Bei ungeradem Grad zeigen die beiden Enden des Graphen in entgegengesetzte vertikale Richtungen.
4
Mögliche Richtungswechsel beachten
Ein kubischer Graph kann Hoch- und Tiefpunkt besitzen, muss aber nicht.
5
Leitkoeffizient berücksichtigen
Sein Vorzeichen bestimmt, welches Ende für große positive x-Werte nach oben beziehungsweise unten verläuft.
6
Typischen Verlauf benennen
Ordne den Graphen anhand von Grad, Endverhalten und möglicher S-Form als kubisch ein.
FA 4.1 – Verlauf vierten Grades erkennen
Typische Graphen von Polynomfunktionen vierten Grades erkennen.
1
Grad bestimmen
Prüfe, dass der höchste 4 ist.
2
Geraden Grad beachten
Bei geradem Grad verlaufen beide Graphenden in dieselbe vertikale Richtung.
3
Leitkoeffizient prüfen
Ein positiver Leitkoeffizient führt beide Enden nach oben, ein negativer beide nach unten.
4
Mögliche Richtungswechsel beachten
Ein Polynom vierten Grades kann mehrere Hoch- und Tiefpunkte besitzen.
5
Nicht auf einfache Parabelform beschränken
Der Graph kann deutlich komplexer als eine Parabel verlaufen.
6
Typischen Verlauf benennen
Ordne einen passenden glatten Verlauf mit gleichgerichteten Enden dem Grad 4 zu.
FA 4.1 – Endverhalten bei geradem Grad deuten
Das Endverhalten einer Polynomfunktion geraden Grades beschreiben.
1
Gradparität prüfen
Stelle fest, dass der Grad gerade ist.
2
Leitterm identifizieren
Bestimme Vorzeichen und Grad des führenden Terms.
3
Große Beträge von x betrachten
Für große |x| dominiert der Leitterm das Funktionsverhalten.
4
Positiven Leitkoeffizienten deuten
Bei positivem Leitkoeffizienten verlaufen beide Graphenden nach oben.
5
Negativen Leitkoeffizienten deuten
Bei negativem Leitkoeffizienten verlaufen beide Graphenden nach unten.
6
Endverhalten formulieren
Beschreibe, dass bei geradem Grad beide Enden des Graphen in dieselbe vertikale Richtung zeigen.
FA 4.1 – Endverhalten bei ungeradem Grad deuten
Das Endverhalten einer Polynomfunktion ungeraden Grades beschreiben.
1
Gradparität prüfen
Stelle fest, dass der Grad ungerade ist.
2
Leitterm identifizieren
Bestimme Vorzeichen und Grad des führenden Terms.
3
Große Beträge von x betrachten
Für große |x| dominiert der Leitterm.
4
Positiven Leitkoeffizienten deuten
Bei positivem Leitkoeffizienten verläuft der Graph links nach unten und rechts nach oben.
5
Negativen Leitkoeffizienten deuten
Bei negativem Leitkoeffizienten verläuft der Graph links nach oben und rechts nach unten.
6
Endverhalten formulieren
Beschreibe die entgegengesetzten vertikalen Richtungen der beiden Graphenden.
FA 4.1 – Vorzeichen des Leitkoeffizienten deuten
Den Einfluss des Leitkoeffizienten auf das Endverhalten des Graphen beschreiben.
1
Leitkoeffizienten bestimmen
Bestimme den des Terms mit dem höchsten .
2
Gradparität feststellen
Unterscheide geraden und ungeraden Grad.
3
Positives Vorzeichen anwenden
Ein positiver Leitkoeffizient bestimmt die Standardorientierung des Endverhaltens.
4
Negatives Vorzeichen anwenden
Ein negatives Vorzeichen spiegelt das Endverhalten vertikal.
5
Linkes und rechtes Ende getrennt beschreiben
Gib für große negative und große positive x-Werte die jeweilige Richtung des Graphen an.
6
Einfluss zusammenfassen
Erkläre das Vorzeichen des Leitkoeffizienten als entscheidend für die vertikale Orientierung der Graphenden.
Das Endverhalten muss ausreichend weit außen betrachtet werden.
Nicht ausreichend
Den Grad nur nach dem allgemeinen „Aussehen“ raten.
Eine Extremstelle automatisch mit Grad 2 gleichsetzen.
Symmetrie aus der Parität des Grades ableiten.
Den dargestellten Fensterausschnitt mit dem gesamten Graphen verwechseln.
Elektronisch angezeigte Eigenschaften ohne mathematische Begründung übernehmen.
Tutorregel
Zuerst händisch anhand von Astregel und Extremstellen argumentieren. GeoGebra dient danach zur Visualisierung und Kontrolle.
