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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Kompetenzcode: FA 2.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Ein Zusammenhang ist linear, wenn gleiche Änderungen der Eingabe immer zu gleichen absoluten Änderungen der Ausgabe führen. Derselbe Zusammenhang kann durch Text, Tabelle, Graph oder Formel beschrieben werden.
Kernidee: Bei einem linearen Zusammenhang ist die Änderung der Ausgabe pro Einheit der Eingabe konstant.
Eine lineare lässt sich in der Form
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Konstante absolute Änderung, Differenzenquotient und lineare Sonderfälle verständig unterscheiden.
Die beiden Größen mit Bedeutung und Einheit unterscheiden.
Bei gleichen Eingabeschritten die Änderungen der Ausgabe vergleichen.
Die Änderung der Ausgabe pro Einheit der Eingabe deuten.
Steigende, fallende und konstante als linear erkennen.
Quadratische, exponentielle und andere nicht konstante Änderungsmuster unterscheiden.
Linearität in Wertetabellen und grafischen Darstellungen sicher erkennen und begründen.
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra kann zur Kontrolle und Visualisierung verwendet werden. Die mathematische Begründung muss trotzdem nachvollziehbar bleiben.
Zuerst händisch begründen, dann mit GeoGebra kontrollieren. Bei einer Tabelle soll mindestens ein Differenzenquotient sichtbar berechnet werden.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
schreiben.
Dabei bedeutet:
Für zwei verschiedene Eingabewerte gilt
Damit beschreibt zwei eng zusammenhängende Eigenschaften:
Bei einer linearen Funktion bleibt diese Steigung überall gleich:
Wichtig: „Linear“ bedeutet nicht automatisch „steigend“. Eine lineare Funktion kann steigen, fallen oder konstant sein.
Ein Taxi verlangt Grundgebühr und pro Kilometer.
Die Tabellenpunkte liegen auf einer Geraden. Bei ist der .
Darstellungswechsel: Text, Tabelle, Graph und Formel sehen unterschiedlich aus, beschreiben aber dieselbe Abhängigkeit.
Die -Werte steigen immer um . Gleichzeitig steigen die Funktionswerte immer um .
Der Zusammenhang ist linear und .
Hier sind die -Schritte unterschiedlich. Deshalb berechnen wir für jedes Intervall den Quotienten:
Beide Quotienten sind gleich. Der Zusammenhang ist linear.
Merke: Erste Differenzen darfst du nur bei gleichen -Schritten direkt vergleichen. Bei ungleichen Schritten musst du berechnen.
Die -Schritte sind gleich, aber die Änderungen der Funktionswerte nicht. Der Zusammenhang ist daher nicht linear.
Durch zwei verschiedene Punkte kann immer eine Gerade gelegt werden. Zwei Wertepaare allein beweisen daher noch nicht, dass ein realer Zusammenhang tatsächlich linear ist. Dazu braucht man weitere Werte oder eine begründete Modellannahme.
Typische lineare Formeln sind
Die Variable kommt nur in der ersten Potenz vor und wird nicht mit sich selbst oder mit einer anderen -abhängigen Größe multipliziert.
Nicht linear sind zum Beispiel
Die vereinfachte Formel hat die Form . Der Zusammenhang ist linear.
Schnelltest: Kannst du die Formel vollständig in die Form bringen?
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Beim Lesen eines Graphen:
Bezeichnet zum Beispiel die Anzahl verkaufter Karten, sind nur ganze nichtnegative Werte sinnvoll. Dann besteht der sachlich sinnvolle Graph aus einzelnen Punkten. Diese Punkte können trotzdem auf einer Geraden liegen und einen linearen Zusammenhang beschreiben.
Typische Hinweise sind:
Ein Tank enthält anfangs Liter. Pro Minute fließen konstant Liter ab.
Der Zusammenhang ist linear, solange die Abflussrate konstant bleibt und der Tank noch Wasser enthält.
„Der Bestand wächst jedes Jahr um .“
Hier ist nicht die absolute, sondern die relative Änderung konstant. Das beschreibt im Allgemeinen keinen linearen Zusammenhang.
Gegeben:
Wir wählen die Eingabewerte und setzen sie einzeln in die Funktionsgleichung ein.
Jetzt übertragen wir die berechneten Wertepaare in die Tabelle:
Kontrolle: Wenn jeweils um steigt, steigt jeweils um . Das entspricht der Steigung .
Zuerst die konstante Änderung bestimmen:
Dann einen Punkt einsetzen, zum Beispiel :
Damit gilt
Für genügen zwei Punkte, zum Beispiel
Diese Punkte eintragen und durch eine Gerade verbinden.
ist ein linearer Zusammenhang mit . Der Graph verläuft durch den Ursprung.
ist ebenfalls linear. Hier gilt ; der Graph ist waagrecht.
Bei sinkt der Funktionswert, wenn steigt. Der Zusammenhang bleibt linear.
Kontrollfrage: Bleibt die Änderung der Ausgabe pro Einheit der Eingabe wirklich konstant?
Feststellen, ob die Eingabewerte gleichmäßig fortschreiten.
Nur bei gleichen x-Schritten direkt verwenden.
Bei ungleichen Schritten Δy durch Δx teilen.
Kontrollieren, ob alle zulässigen Punkte auf einer Geraden liegen.
Achsenbeschriftung, Einheiten und Teilstriche vor dem Ablesen prüfen.
Lineare Formeln erkennen, vereinfachen und aus sprachlichen Angaben entwickeln.
Klammern auflösen und gleichartige zusammenfassen.
nur in erster Potenz und mit konstanten erkennen.
Anfangswert oder Grundbetrag als d bestimmen.
Angaben wie pro Stück oder je Stunde als k lesen.
Prozentangaben nicht mit konstanter absoluter Änderung verwechseln.
Text, Tabelle, Graph und Formel als gleichwertige Beschreibungen desselben linearen Zusammenhangs verbinden.
Mehrere Eingaben einsetzen und Wertepaare bilden.
k bestimmen und anschließend d mit einem Punkt berechnen.
Zwei geeignete Punkte bestimmen und durch eine Gerade verbinden.
Startwert, Richtung und Änderung pro Einheit beschreiben.
Mindestens ein Wertepaar in beiden Darstellungen vergleichen.
Einheiten, sachliche Definitionsbereiche und typische Fehlschlüsse systematisch kontrollieren.
k als Ausgabe-Einheit pro Eingabe-Einheit angeben.
Nur realistisch zulässige Eingaben berücksichtigen.
Ganzzahlige Kontexte als einzelne Punkte darstellen.
Nicht vorschnell ein lineares Gesetz behaupten.
Tabelle, Formel oder Graph gegenseitig kontrollieren.
Einen verbal beschriebenen Zusammenhang als linear erkennen.
Bestimme die unabhängige und die abhängige Größe im Text.
Prüfe, ob ein fester Anfangswert oder Grundbetrag genannt wird.
Achte auf Formulierungen wie pro Stück, je Stunde oder um denselben Betrag.
Ein fester Startwert plus eine konstante Änderung pro Einheit beschreibt einen linearen Zusammenhang.
Ordne den Text der Struktur f(x)=k·x+d zu.
Nenne die konstante Änderungsrate als entscheidendes Merkmal der Linearität.
An konstanten ersten Differenzen einen linearen Zusammenhang erkennen.
Betrachte die Eingabewerte in aufsteigender Reihenfolge.
Vergleiche zunächst nur Tabellenwerte mit gleicher Änderung der Eingabe.
Berechne die jeweiligen Änderungen der .
Bei gleichen x-Schritten müssen die Funktionswertänderungen konstant sein.
Bei ungleichen x-Schritten kann alternativ die Änderung in y durch die Änderung in x verglichen werden.
Konstante Änderungsrate bedeutet einen linearen Zusammenhang.
Einen geradlinigen Graphen als Darstellung einer linearen erkennen.
Prüfe, ob alle dargestellten Punkte beziehungsweise der gesamte Graph auf einer Geraden liegen.
Ein linearer Funktionsgraph besitzt keine Richtungswechsel oder gekrümmten Abschnitte.
Die muss entlang des gesamten Graphen konstant bleiben.
Eine senkrechte Gerade beschreibt keine von x.
Ein nicht senkrechter geradliniger Graph stellt eine lineare dar.
Begründe die Linearität durch den geradlinigen Verlauf und die konstante .
Eine der Form f(x) = k · x + d als lineare erkennen.
Bringe die Funktionsgleichung soweit nötig in eine übersichtliche Form.
Die x darf nur in erster Potenz vorkommen.
Prüfe, ob sich die als f(x)=k·x+d schreiben lässt.
Ordne den von x dem k und den konstanten dem Parameter d zu.
wie x², √x, 1/x oder gehören nicht zu einer linearen .
Ordne die bei erfüllter Form als lineare ein.
Aus einer linearen Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellen.
Verwende die vorgegebenen oder wähle mehrere geeignete Argumentwerte.
Schreibe f(x)=k·x+d vollständig auf.
Berechne den zugehörigen .
Wiederhole das Einsetzen für alle gewählten Argumentwerte.
Trage jeden x-Wert und seinen in dieselbe Tabellenzeile ein.
Kontrolliere, dass bei gleichen x-Schritten die y-Werte jeweils um einen konstanten Betrag verändert werden.
Aus einer oder Tabelle den Graphen einer linearen zeichnen.
Nutze die Funktionsgleichung oder eine bereits vorhandene Wertetabelle.
Berechne oder übernimm zwei verschiedene Punkte der linearen .
Wähle eine passende und gleichmäßige Skalierung.
Trage die bestimmten Wertepaare korrekt in das Koordinatensystem ein.
Verbinde die Punkte mit einer geraden Linie und verlängere sie im dargestellten Bereich.
Kontrolliere anhand eines weiteren Punktes oder der erwarteten , dass die Gerade korrekt liegt.
Aus einer Wertetabelle eine lineare Funktionsgleichung bestimmen.
Wähle zwei verschiedene Wertepaare aus der linearen Wertetabelle.
Berechne k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁).
Setze einen Punkt in y=k·x+d ein und löse nach d auf.
Schreibe f(x)=k·x+d.
Setze einen dritten x-Wert ein und vergleiche den berechneten y-Wert mit der Tabelle.
Bei Übereinstimmung beschreibt die die lineare Wertetabelle.
Aus einem Graphen eine lineare Funktionsgleichung bestimmen.
Bestimme zwei verschiedene Punkte des Geradengraphen.
Bilde Änderung in y geteilt durch Änderung in x.
Lies d am Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ab, sofern dies gut möglich ist.
Setze einen bekannten Punkt in y=k·x+d ein und bestimme d.
Schreibe f(x)=k·x+d.
Kontrolliere, dass die zu weiteren Punkten und zur Richtung der Geraden passt.
Aus einem Sachkontext eine lineare Funktionsgleichung aufstellen.
Lege fest, welche Größe x und welche Größe f(x) beschreibt.
Finde den festen Anfangswert der abhängigen Größe bei x=0.
Bestimme, um wie viel sich die abhängige Größe pro Einheit von x verändert.
Setze die Änderungsrate als k und den Anfangswert als d.
Schreibe f(x)=k·x+d.
Setze einen einfachen Sachwert ein und prüfe, ob das Ergebnis mit der Beschreibung übereinstimmt.
