Leitidee: Zuerst muss klar sein, was gegeben und was gesucht ist. Danach werden Punktkoordinaten und Parameter sauber in die Funktionsgleichung eingesetzt.
Die ausführliche Wirkung von Veränderungen der Parameter a und b wird in FA 3.3 behandelt. In diesem Kapitel werden konkrete Parameterwerte ermittelt und gedeutet.
2. Funktionswerte durch Einsetzen bestimmen
Gegeben ist
f(x)=2x3−5.
Gesucht ist f(−2).
f(−2)=2⋅(−2)3−5=2⋅(−8)−5=−16−5=−21.
Das zugehörige Wertepaar lautet
(−2∣−21).
Wichtige Klammerregel
Bei negativen Argumenten muss der eingesetzte Wert geklammert werden:
(−2)4=16,−24=−16.
Diese Ausdrücke sind nicht gleich.
3. Definitionsbereich vor dem Einsetzen prüfen
Positiver ganzzahliger Exponent
Für
f(x)=axz+b
mit z>0 und z∈Z sind alle reellen x-Werte erlaubt.
Negativer ganzzahliger Exponent
Für z<0 gilt:
x=0.
Beispiel:
g(x)=x23+1.
Der Wert g(0) ist nicht definiert.
Wurzelfunktion
Für
h(x)=ax+b
gilt:
x≥0.
Kontrolle vor jeder Rechnung: Ist der eingesetzte Argumentwert im Definitionsbereich erlaubt?
4. Argumentwerte aus einem Funktionswert bestimmen
Gegeben ist
f(x)=2x2−3.
Gesucht sind die Argumentwerte mit
f(x)=5.
584x=2x2−3/+3=2x2/:2=x2
Es gibt zwei Wertepaare:
(−2∣5)und(2∣5).
Bei einem geraden Exponenten können zwei reelle Argumentwerte entstehen. Bei einem ungeraden positiven Exponenten entsteht typischerweise genau ein reeller Argumentwert.
5. Wertepaare aus Tabelle und Graph ablesen
Ein Wertepaar
(x∣y)
auf dem Graphen bedeutet immer:
y=f(x).
Der Punkt
P(2∣9)
liefert also die Gleichung
9=f(2).
Für
f(x)=ax2+1
folgt daraus
9=a⋅22+1.
Typischer Fehler: Die Punktkoordinaten nicht vertauschen. Die erste Koordinate ist das Argument x, die zweite der Funktionswert y.
6. Den Parameter b bestimmen
Der Parameter b besitzt zwei besonders wichtige graphische Bedeutungen.
Positiver ganzzahliger Exponent und Wurzelfunktion
Für z>0 gilt:
f(0)=a⋅0z+b=b.
Auch für die Wurzelfunktion gilt:
f(0)=a0+b=b.
Damit ist
b=f(0).
Der Graph enthält den Punkt
(0∣b).
Negativer ganzzahliger Exponent
Bei z<0 ist x=0 nicht erlaubt. Daher kann b nicht als f(0) bestimmt werden.
Stattdessen ist
y=b
die horizontale Asymptote.
Merksatz: Bei positiven Exponenten und bei der Wurzel liest man b am Punkt mit x=0 ab. Bei negativen Exponenten liest man b an der horizontalen Asymptote ab.
7. Den Parameter a aus einem Punkt bestimmen
Gegeben ist
f(x)=axz+b
und ein Punkt
P(xP∣yP).
Da der Punkt auf dem Graphen liegt, gilt:
yP=axPz+b.
Wir lösen nach a auf:
yPyP−ba=axPz+b/−b=axPz
Voraussetzung ist:
xPz=0.
Beispiel
Die Funktion
f(x)=ax2+1
geht durch
P(2∣9).
9982=a⋅22+1=4a+1/−1=4a/:4=a.
Damit lautet die Funktion:
f(x)=2x2+1.
8. Der besonders günstige Punkt x=1
Für jeden ganzzahligen Exponenten und auch für z=21 gilt:
1z=1.
Daher folgt:
f(1)=a+b.
Wenn b bekannt ist, kann a besonders einfach bestimmt werden:
a=f(1)−b.
Beispiel
Ein Graph hat bei positiven Exponenten den Punkt
(0∣−2)
und außerdem
(1∣3).
Dann gilt:
b=−2
und
a=f(1)−b=3−(−2)=5.
Merksatz: Der Funktionswert bei x=1 ist besonders hilfreich, weil der Potenzterm gleich 1 wird.
9. Warum bestimmt der Punkt bei x=0 nicht den Parameter a?
Für positive ganzzahlige Exponenten und die Wurzelfunktion gilt:
f(0)=b.
Der Term mit a verschwindet:
a⋅0z=0.
Daher liefert ein Punkt
(0∣b)
nur den Parameter b, aber keine Information über a.
Bei negativen Exponenten ist x=0 überhaupt nicht erlaubt.
10. Beide Parameter a und b aus zwei Punkten bestimmen
Gegeben sind der Exponent z und zwei Punkte:
P1(x1∣y1),P2(x2∣y2).
Dann gilt:
y1y2=ax1z+b,=ax2z+b.
Durch Subtraktion fällt b weg:
y2−y1a=a(x2z−x1z)/:(x
Danach wird a in eine der beiden Gleichungen eingesetzt:
b=y1−ax1z.
Beispiel
Eine quadratische Potenzfunktion
f(x)=ax2+b
geht durch
P(1∣5)undQ(2∣14).
Einsetzen liefert:
514=a+b,=4a+b.
Zweite Gleichung minus erste Gleichung:
93=3a/:3=a.
Nun:
52=3+b/−3=b.
Damit lautet die Funktion:
f(x)=3x2+2.
11. Wann reichen zwei Punkte nicht?
Für die Formel
f(x)=axz+b
muss gelten:
x1z=x2z,
damit a eindeutig bestimmt werden kann.
Beispiel mit geradem Exponenten
Für z=2 gilt:
(−2)2=22=4.
Die Punkte mit x=−2 und x=2 liefern daher denselben Potenzterm.
Haben beide Punkte denselben y-Wert, gibt es unendlich viele Kombinationen von a und b, die nur diese beiden Punkte erfüllen.
Haben sie verschiedene y-Werte, kann keine Funktion der Form ax2+b durch beide Punkte gehen.
Wichtig: Zwei verschiedene x-Werte garantieren bei geraden Exponenten nicht automatisch zwei unabhängige Gleichungen.
12. Parameter bei negativen Exponenten
Gegeben ist
f(x)=x2a+b.
Aus dem Graphen wird die horizontale Asymptote
y=1
abgelesen. Daher ist
b=1.
Außerdem liegt der Punkt
P(2∣4)
auf dem Graphen.
44312=22a+1=4a
Damit lautet die Funktion:
f(x)=x212+1.
Die Definitionsmenge bleibt
R∖{0}.
13. Parameter bei der Wurzelfunktion
Gegeben ist
f(x)=ax+b.
Der Startpunkt des Graphen lautet
(0∣−1).
Daher ist:
b=−1.
Zusätzlich liegt der Punkt
P(9∣5)
auf dem Graphen.
5562=a9−1=3a−1/+1=3a/
Also:
f(x)=2x−1.
14. Parameter aus einer Tabelle bestimmen
Ist z bekannt, kann eine zusätzliche Spalte mit xz hilfreich sein.
Beispiel mit z=2
x
x2
f(x)
0
0
2
1
1
5
2
4
14
Aus der ersten Zeile folgt:
b=f(0)=2.
Aus der zweiten Zeile folgt:
53=a⋅1+2/−2=a.
Die dritte Zeile dient als Kontrolle:
3⋅4+2=14.
15. Parameter im Kontext deuten
Die Einheit von b ist immer die Einheit der Ausgabegröße.
Die Einheit von a hängt vom Exponenten ab:
[a]=(Eingabe-Einheit)zAusgabe-Einheit.
Beispiel: quadratischer Zusammenhang
A(r)=πr2.
Dabei hat A die Einheit cm2 und r die Einheit cm.
Der Parameter
a=π
verknüpft den quadrierten Radius mit der Fläche.
Beispiel: verschobene Wurzelfunktion
T(x)=4x+10.
Der Parameter b=10 besitzt dieselbe Einheit wie T und beschreibt den Funktionswert bei x=0.
Kontextregel: Ein Parameterwert ist erst vollständig gedeutet, wenn seine Bedeutung, seine Einheit und sein Bezugsbereich genannt sind.
16. Ergebnisse kontrollieren
Rückeinsetzen
Nach der Bestimmung von a und b werden alle gegebenen Punkte eingesetzt.
Definitionsbereich
Jeder verwendete x-Wert muss zulässig sein.
Graphische Kontrolle
Liegt der Punkt (0∣b) dort, wo er liegen soll?
Stimmt bei negativen Exponenten die Asymptote y=b?
Passt das Vorzeichen von a zur Lage des Graphen?
Einheit und Kontext
Besitzt b die Einheit der Ausgabe?
Passt die Einheit von a zum Potenzterm?
Sind berechnete Werte im Kontext sinnvoll?
17. Typische Fehler
Beim Einsetzen negativer Werte die Klammern vergessen.
Punktkoordinaten x und y vertauschen.
b bei negativen Exponenten als f(0) bestimmen wollen.
Den Punkt mit x=0 zur Bestimmung von a verwenden.
Beim Potenzieren zuerst mit a multiplizieren.
Bei geradem Exponenten die zweite Lösung x<0 vergessen.
Beim Auflösen nach a nicht durch den gesamten Potenzterm xz teilen.
Zwei symmetrische Punkte bei geradem Exponenten als unabhängige Gleichungen verwenden.
Den Definitionsbereich nicht prüfen.
Parameter ohne Einheit oder Kontextdeutung angeben.
Nach der Parameterbestimmung keine Probe durchführen.
18. Arbeitsplan
Funktionswert bestimmen
Definitionsbereich prüfen.
Argumentwert mit Klammern einsetzen.
Zuerst den Potenzterm berechnen.
Mit a multiplizieren.
b addieren.
Wertepaar und Einheit angeben.
Parameter bestimmen
Exponenten z und gegebene Informationen notieren.
b aus f(0), Startpunkt oder Asymptote bestimmen.
Punktkoordinaten korrekt einsetzen.
Gleichung sauber nach a umformen.
Bei zwei unbekannten Parametern zwei unabhängige Gleichungen aufstellen.
Ergebnis in die ursprünglichen Angaben einsetzen.
Parameter mit Einheit und Bedeutung deuten.
Kontrollfrage: Habe ich jeden gegebenen Punkt, den Definitionsbereich und die Einheit zur Probe verwendet?
1
Exponententyp prüfen
Positiven, negativen oder Wurzelexponenten unterscheiden.
2
f(0) verwenden
Bei positiven b=f(0) nutzen.
3
Startpunkt erkennen
Bei der Wurzelfunktion den Punkt (0|b) lesen.
4
Asymptote lesen
Bei negativen y=b bestimmen.
5
Einheit deuten
b in der Einheit der Ausgabegröße angeben.
FA 3.2 – Den Parameter a aus einem Punkt bestimmen
Punktkoordinaten korrekt einsetzen, nach a umformen und günstige Punkte nutzen.
1
Punkt lesen
x- und y-Koordinate eindeutig zuordnen.
2
Gleichung aufstellen
y=a·xz+b einsetzen.
3
Nach a umformen
b abziehen und durch xz teilen.
4
x=1 nutzen
Gegebenenfalls a=f(1)-b verwenden.
5
Rückprobe durchführen
Den Punkt in die fertige einsetzen.
FA 3.2 – Zwei Parameter aus Daten bestimmen
Aus zwei unabhängigen Punkten oder Tabellenzeilen ein Gleichungssystem für a und b lösen.
1
Zwei Gleichungen bilden
Jeden Punkt separat einsetzen.
2
Unabhängigkeit prüfen
x₁^z und x₂^z vergleichen.
3
Parameter eliminieren
Geeignete subtrahieren.
4
Zweiten Parameter berechnen
Ergebnis in eine Ausgangsgleichung einsetzen.
5
Alle Daten prüfen
Beide Punkte oder weitere Tabellenwerte rückeinsetzen.
FA 3.2 – Parameter deuten und Ergebnisse kontrollieren
Parameterwerte mit Einheiten und Kontext erklären sowie typische Fehler systematisch ausschließen.
1
Bedeutung formulieren
a und b im jeweiligen Modell beschreiben.
2
Einheiten bestimmen
Ausgabe-Einheit und Potenz der Eingabe berücksichtigen.
3
Klammern prüfen
Negative Argumente korrekt einsetzen.
4
Graphisch plausibilisieren
Punkt, Startwert oder Asymptote vergleichen.
5
Endkontrolle
Definitionsbereich und sämtliche Angaben prüfen.
FA 3.2 – Argumentwert einer Potenzfunktion bestimmen
Zu einem gegebenen passende Argumentwerte bestimmen.
1
Funktionswertgleichung aufstellen
Setze den gegebenen y in die f(x)=y ein.
2
Konstanten Verschiebung entfernen
Subtrahiere gegebenenfalls den b.
3
Durch Vorfaktor teilen
Teile bei a ungleich 0 durch den a.
4
Potenzgleichung erhalten
Bringe die auf die Form xz=c.
5
Passende Argumentwerte bestimmen
Löse die Potenzgleichung unter Beachtung des und des reellen Definitionsbereichs.
6
Alle Lösungen prüfen
Setze alle gefundenen Argumentwerte in die ursprüngliche ein und beachte, dass je nach mehrere Werte möglich sind.
FA 3.2 – Parameter a aus Gleichung ablesen
Aus der Funktionsgleichung den a bestimmen.
1
Funktionsform herstellen
Schreibe die als f(x)=a·xz+b.
2
Potenzterm lokalisieren
Bestimme den direkt vor xz.
3
Parameter a ablesen
Dieser konstante ist a.
4
Vorzeichen übernehmen
Ein negatives Vorzeichen gehört zum a.
5
Unsichtbaren Faktor beachten
Steht kein Zahlenfaktor vor xz, gilt a=1; bei −xz gilt a=−1.
6
Abgrenzung prüfen
Verwechsle a nicht mit dem konstanten Zusatzterm b.
FA 3.2 – Parameter b aus Gleichung ablesen
Aus der Funktionsgleichung den b bestimmen.
1
Funktionsform herstellen
Schreibe die als f(x)=a·xz+b.
2
Konstanten Term suchen
Bestimme den , der nicht von x abhängt.
3
Parameter b ablesen
Dieser konstante Zusatzterm ist b.
4
Fehlenden Zusatzterm deuten
Ist kein konstanter Zusatzterm vorhanden, gilt b=0.
5
Vorzeichen übernehmen
Ein Minuszeichen vor dem konstanten gehört zu b.
6
Abgrenzung prüfen
Verwechsle b nicht mit Vorfaktor oder der Potenz.
FA 3.2 – Parameter a aus Graph bestimmen
Den a mithilfe geeigneter Punkte des Graphen bestimmen.
1
Geeigneten Graphpunkt wählen
Wähle einen gut ablesbaren Punkt, dessen x-Wert die Rechnung vereinfacht.
2
Parameter b berücksichtigen
Bestimme oder verwende zunächst die vertikale Verschiebung b.
3
Punkt in Funktionsform einsetzen
Setze x und y in y=a·xz+b ein.
4
Nach a umformen
Subtrahiere b und teile durch xz, sofern dieser Wert nicht 0 ist.
5
Parameter berechnen
Bestimme a mit Vorzeichen.
6
Graphisch prüfen
Kontrolliere, ob Vorzeichen und Betrag von a zum Verlauf und zu einem weiteren Punkt passen.
FA 3.2 – Parameter b aus Graph bestimmen
Eine vertikale Verschiebung am Graphen erkennen und den b bestimmen.
1
Grundverlauf einordnen
Betrachte die vertikale Lage des typischen Potenzgraphen.
2
Verschiebung erkennen
Der b verschiebt den gesamten Graphen nach oben oder unten.
3
Referenzlage nutzen
Bestimme eine charakteristische Mittellage, Asymptote oder den Wert an einer geeigneten Stelle, je nach Potenztyp.
4
b ablesen
Lies die vertikale Verschiebung relativ zur unverschobenen Grundfunktion ab.
5
Vorzeichen deuten
b>0 bedeutet Verschiebung nach oben, b<0 nach unten.
6
Punktprobe durchführen
Setze einen gut ablesbaren Graphpunkt in die Funktionsgleichung ein und kontrolliere den bestimmten Wert.
FA 3.2 – Parameter aus Tabelle bestimmen
Geeignete Tabellenwerte zur Bestimmung von a oder b verwenden.
1
Geeignete Tabellenzeilen auswählen
Wähle Wertepaare, die die gesuchten möglichst direkt sichtbar machen.
2
b direkt prüfen
Falls x=0 zulässig und der Potenzterm dort 0 ist, kann f(0) unmittelbar den b liefern.
3
a aus weiterem Wert bestimmen
Setze ein weiteres geeignetes Wertepaar in f(x)=a·xz+b ein.
4
Nach dem unbekannten Parameter umformen
Bestimme a oder b algebraisch.
5
Weitere Tabellenzeile prüfen
Kontrolliere die an einem zusätzlichen Wertepaar.
6
Parameter vollständig notieren
Gib die bestimmten Werte mit korrektem Vorzeichen an.
FA 3.2 – Parameter im Kontext deuten
Die Bedeutung der a und b im Sachkontext interpretieren.
1
Parameter identifizieren
Bestimme a und b in der verwendeten Potenzfunktion.
2
Sachgrößen zuordnen
Kläre die Bedeutung von x und f(x) im Kontext.
3
a deuten
Beschreibe a als Skalierungs- beziehungsweise Proportionalitätsfaktor der Potenzbeziehung und gib gegebenenfalls seine Einheit an.
4
b deuten
Beschreibe b als konstanten Grund- oder Verschiebungswert der Ausgangsgröße.
5
Vorzeichen beachten
Erkläre, wie positive oder negative Parameterwerte die sachliche Aussage verändern.
6
Kontextsatz formulieren
Gib die Bedeutung beider in der konkreten Situation verständlich wieder.
x=0
y=1 ist die horizontale Asymptote.
Wurzelfunktion
h(x)=2*sqrt(x)-1
A=(0,h(0))
B=(9,h(9))
Tabellenkontrolle
Wertetabelle(f,-3,3,1)
Nicht ausreichend
Parameter nur durch Verschieben eines Reglers erraten.
Punktkoordinaten aus einer ungenauen Darstellung ablesen und als exakt behandeln.
Den Definitionsbereich ignorieren.
Eine CAS-Lösung ohne händisch aufgestellte Gleichung übernehmen.
Die Probe nur grafisch und nicht durch Einsetzen durchführen.
Tutorregel
Zuerst Gleichung aus Punkt oder Tabelle aufstellen, sauber umformen und rückeinsetzen. GeoGebra wird anschließend als unabhängige Kontrolle verwendet.
