Zahlen, Vorzeichen und Zahlengerade

Zahlen beschreiben nicht nur Mengen. Sie können auch Temperaturen, Guthaben, Schulden, Höhen oder Änderungen angeben. Das Vorzeichen gehört deshalb zur Bedeutung der Zahl.

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1. Positive Zahlen, negative Zahlen und null

• Positive Zahlen sind größer als null: $5$, $2{,}7$, $\frac34$.
• Negative Zahlen sind kleiner als null: $-3$, , .

Das Pluszeichen wird bei positiven Zahlen häufig weggelassen:

$$+7=7.$$

Bei negativen Zahlen darf das Minuszeichen nicht weggelassen werden.

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2. Zahlen auf der Zahlengeraden

Auf der Zahlengeraden werden Zahlen nach rechts größer und nach links kleiner.

Merksatz: Von zwei Zahlen ist jene Zahl größer, die auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt.

Ausführliches Beispiel: Zwei negative Zahlen vergleichen

Es sollen $-6$ und $-2$ verglichen werden.

1. Beide Zahlen liegen links von null.
2. $-6$ liegt weiter links als $-2$.
3. Daher ist $-6$ die kleinere Zahl.

$$-6<-2.$$

Der Betrag von $-6$ ist zwar größer als der Betrag von $-2$. Für den Größenvergleich zählt jedoch die Lage auf der Zahlengeraden.

Mehrere Zahlen ordnen

Die Zahlen $3$, $-5$, $0$, $-1$ und $4$ werden von klein nach groß geordnet.

$$-5<-1<0<3<4.$$

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3. Betrag und Gegenzahl

Der Betrag

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null. Ein Abstand ist niemals negativ.

$$|5|=5, \qquad |-5|=5, \qquad |0|=0.$$

Die Gegenzahl

Die Gegenzahl liegt auf der anderen Seite von null und hat denselben Abstand von null.

$$\text{Gegenzahl von }7=-7, \qquad \text{Gegenzahl von }-4=4.$$

Betrag und Gegenzahl sind nicht dasselbe:

$$|-4|=4, \qquad \text{Gegenzahl von }-4=4.$$

In diesem Beispiel ist das Ergebnis zufällig gleich. Bei einer positiven Zahl sieht man den Unterschied deutlich:

$$|4|=4, \qquad \text{Gegenzahl von }4=-4.$$

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4. Positive und negative Zahlen addieren

Eine positive Zahl addieren

Eine positive Zahl zu addieren bedeutet auf der Zahlengeraden nach rechts zu gehen.

$$\begin{aligned} -3+7 &=-3+3+4 \\ &=0+4 \\ &=4. \end{aligned}$$

Eine negative Zahl addieren

Eine negative Zahl zu addieren bedeutet nach links zu gehen.

$$\begin{aligned} 5+(-8) &=5+(-5)+(-3) \\ &=0+(-3) \\ &=-3. \end{aligned}$$

Gleiche Vorzeichen

Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, werden die Beträge addiert. Das gemeinsame Vorzeichen bleibt erhalten.

$$\begin{aligned} -6+(-4) &=-(6+4) \\ &=-10. \end{aligned}$$

Verschiedene Vorzeichen

Haben die Zahlen verschiedene Vorzeichen, werden die Beträge voneinander abgezogen. Das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag bleibt erhalten.

$$\begin{aligned} -9+5 &=-(9-5) \\ &=-4. \end{aligned}$$

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5. Subtrahieren: die Gegenzahl addieren

Eine Subtraktion kann als Addition der Gegenzahl geschrieben werden:

$$a-b=a+(-b).$$

Ausführliches Beispiel

$$\begin{aligned} -3-(-8) &=-3+8 &&\text{Subtraktion als Addition der Gegenzahl}\\ &=5. \end{aligned}$$

Das Minus vor der Klammer und das Minus der Zahl werden nicht einfach „weggezaubert“. Die Zahl $-8$ wird durch ihre Gegenzahl $+8$ ersetzt.

Ein zweites Beispiel:

$$\begin{aligned} 4-9 &=4+(-9) &&\text{Subtraktion als Addition der Gegenzahl}\\ &=-(9-4) &&\text{Beträge vergleichen}\\ &=-5. \end{aligned}$$

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6. Multiplizieren und Dividieren mit Vorzeichen

Zuerst wird das Vorzeichen bestimmt. Danach werden die Beträge berechnet.

Ausführliches Beispiel: Produkt

$$\begin{aligned} (-6)\cdot(-4) &=+(6\cdot4) &&\text{zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt}\\ &=+24 \\ &=24. \end{aligned}$$

Ausführliches Beispiel: Quotient

$$\begin{aligned} 42:(-7) &=-(42:7) &&\text{verschiedene Vorzeichen ergeben einen negativen Quotienten}\\ &=-6. \end{aligned}$$

Eine Division durch null ist nicht erlaubt.

$$8:0\quad\text{ist nicht definiert.}$$

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7. Eine gemischte Rechnung vollständig ausführen

$$-4-(-7)+(-5)$$

Zuerst wird die Subtraktion als Addition der Gegenzahl geschrieben.

$$\begin{aligned} -4-(-7)+(-5) &=-4+7+(-5) \\ &=3+(-5) \\ &=-2. \end{aligned}$$

Kontrolle über die Zahlengerade:

• Start bei $-4$,
• sieben Schritte nach rechts bis $3$,
• fünf Schritte nach links bis $-2$.

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8. Typische Fehler

• $-8$ wird fälschlich für größer als $-3$ gehalten, weil $8>3$ gilt.
• Betrag und Gegenzahl werden verwechselt.
• Bei $-3-(-5)$ wird die Klammer übersehen.

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9. Zusammenfassung

• Auf der Zahlengeraden werden Zahlen nach rechts größer.
• Der Betrag ist der Abstand von null.
• Die Gegenzahl hat denselben Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen.
• Subtrahieren bedeutet, die Gegenzahl zu addieren.
• Bei Produkt und Quotient wird zuerst das Vorzeichen und danach der Betrag bestimmt.