Zahlen können nicht nur Mengen angeben. Sie können auch eine Richtung relativ zu null beschreiben: über oder unter null, Guthaben oder Schulden, Gewinn oder Verlust.
Situation
passende Zahl
6 °C über null
+6
4 °C unter null
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
MG 1.1 – Zahlen einordnen
Zahlen einordnen in einer festen Reihenfolge bearbeiten. Jeder Rechen- oder Entscheidungsschritt wird sichtbar notiert und am Ende kontrolliert.
1
Vorzeichen erkennen
Das Vorzeichen wird gemeinsam mit der Zahl gelesen. Ein fehlendes Pluszeichen bedeutet eine positive Zahl; ein sichtbares Minuszeichen gehört zur Zahl.
2
Zahl im Kontext deuten
Die Zahl wird in einen vollständigen Satz übersetzt, zum Beispiel als Guthaben, Schuld, Temperatur, Höhe oder Änderung.
3
Auf der Zahlengeraden eintragen
Von null aus wird der passende Abstand abgetragen: positive Zahlen nach rechts, negative Zahlen nach links.
4
Mit null vergleichen
Es wird geprüft, ob die Zahl rechts von null, links von null oder genau bei null liegt.
5
Mit einer zweiten Zahl vergleichen
Beide Zahlen werden auf derselben Zahlengeraden betrachtet. Die weiter rechts liegende Zahl ist größer.
6
Aussage begründen
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Auf der Zahlengeraden werden diese Zahlen geordnet dargestellt. Sie hilft beim Eintragen, Ablesen, Vergleichen und Ordnen von Zahlen.
Positive und negative Zahlen unterscheiden
Eine Zahl kann positiv, negativ oder null sein.
Positive Zahlen sind größer als null, zum Beispiel 5, 2,7 oder 43.
Negative Zahlen sind kleiner als null, zum Beispiel −3, −1,5 oder −21.
Null ist weder positiv noch negativ.
Das Pluszeichen wird bei positiven Zahlen meistens weggelassen:
+7=7.
Bei einer negativen Zahl gehört das Minuszeichen zur Zahl und darf nicht weggelassen werden.
Merke: Das Vorzeichen sagt aus, auf welcher Seite von null eine Zahl liegt.
Zahlen auf der Zahlengeraden eintragen
Eine Zahlengerade besitzt eine feste Skalierung. Gleiche Abstände auf der Zahlengeraden stehen für gleich große Zahlenunterschiede.
So trägst du eine Zahl ein:
Bestimme zuerst, wo 0 liegt und wie groß ein Schritt der Skala ist.
Positive Zahlen liegen rechts von 0.
Negative Zahlen liegen links von 0.
Gehe von einem bekannten Wert die passende Anzahl an Skalenschritten weiter.
Beispiel
Trage −4, 0 und 3 auf einer Zahlengeraden mit Schritten der Länge 1 ein.
0 liegt am Ursprung.
−4 liegt vier Schritte links von 0.
3 liegt drei Schritte rechts von 0.
Achtung: Nicht die Anzahl der Striche allein entscheidet. Zuerst muss die Skalierung der Zahlengeraden gelesen werden.
Zahlen von der Zahlengeraden ablesen
Beim Ablesen gehst du umgekehrt vor wie beim Eintragen:
Suche zwei beschriftete Werte.
Bestimme daraus die Schrittweite der Skala.
Zähle vom bekannten Wert bis zur Markierung.
Achte darauf, ob du dich nach links oder nach rechts bewegst.
Beispiel
Zwischen 0 und 4 liegen vier gleich große Schritte. Jeder Schritt entspricht daher 1. Eine Markierung zwei Schritte links von 0 steht für
−2.
Markierte Bereiche ablesen
Auf einer Zahlengeraden kann auch ein ganzer Bereich markiert sein.
Ein ausgefüllter Randpunkt bedeutet: Der Randwert gehört dazu.
Ein offener Randpunkt bedeutet: Der Randwert gehört nicht dazu.
Ein markierter Bereich von −2 bis 3 mit zwei ausgefüllten Randpunkten bedeutet zum Beispiel
−2≤x≤3.
Sind beide Randpunkte offen, gilt
−2<x<3.
Merke: Beim Ablesen immer zuerst die Skalierung und danach die Art der Randpunkte prüfen.
Zahlen vergleichen
Auf der Zahlengeraden gilt:
Von zwei Zahlen ist die Zahl größer, die weiter rechts liegt.
Dafür verwenden wir die Zeichen
<>=.
Beispiele
5>2,
−6<−2,
0>−3.
Gerade bei zwei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag nicht automatisch die größere Zahl. Zwar gilt
∣−6∣>∣−2∣,
aber auf der Zahlengeraden liegt −6 weiter links. Deshalb gilt
−6<−2.
Zahlen ordnen
Mehrere Zahlen werden der Größe nach geordnet, indem du dir ihre Lage auf der Zahlengeraden vorstellst.
Beispiel
Ordne 3, −5, 0, −1 und 4 von klein nach groß.
Von links nach rechts liegen die Zahlen in der Reihenfolge
−5<−1<0<3<4.
Eine sichere Vorgehensweise ist:
negative Zahlen ordnen,
danach 0 einordnen,
positive Zahlen ordnen,
die gesamte Reihenfolge noch einmal von links nach rechts kontrollieren.
Zum Ordnen von groß nach klein wird dieselbe Reihenfolge einfach umgekehrt.
Gegenzahl bestimmen
Die Gegenzahl einer Zahl liegt auf der anderen Seite von 0 und hat denselben Abstand von 0.
Beispiele:
Gegenzahl von 7=−7,
Gegenzahl von −4=4,
Gegenzahl von 0=0.
Allgemein ist die Gegenzahl von a die Zahl −a.
Wird noch einmal die Gegenzahl gebildet, erhält man die ursprüngliche Zahl zurück:
−(−a)=a.
Merke: Gegenzahlen liegen symmetrisch zu 0.
Betrag einer Zahl bestimmen
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0 auf der Zahlengeraden. Ein Abstand ist nie negativ.
∣5∣=5,∣−5∣=5,∣0∣=0.
Zwei Gegenzahlen besitzen deshalb denselben Betrag:
∣7∣=∣−7∣=7.
Betrag und Gegenzahl unterscheiden
Bei einer negativen Zahl können Betrag und Gegenzahl denselben Zahlenwert ergeben:
∣−4∣=4,Gegenzahl von −4=4.
Bei einer positiven Zahl sieht man den Unterschied:
∣4∣=4,Gegenzahl von 4=−4.
Merke: Der Betrag beschreibt einen Abstand. Die Gegenzahl beschreibt die Spiegelung an 0.
Typische Fehler
Bei zwei negativen Zahlen wird nur auf die Beträge geschaut. Richtig ist: Auf der Zahlengeraden ist die weiter rechts liegende Zahl größer.
Die Schrittweite einer Zahlengeraden wird nicht geprüft. Ein Strich muss nicht automatisch dem Wert 1 entsprechen.
Ein offener Randpunkt wird so gelesen, als würde der Randwert dazugehören.
Betrag und Gegenzahl werden verwechselt. Der Betrag ist ein Abstand, die Gegenzahl liegt auf der anderen Seite von 0.
Die Zahl 0 wird als positiv oder negativ bezeichnet. Sie ist weder positiv noch negativ.
Das Wichtigste auf einen Blick
Nach diesem Thema solltest du sicher können:
positive Zahlen, negative Zahlen und 0 unterscheiden,
Zahlen unter Beachtung der Skalierung auf einer Zahlengeraden eintragen,
Zahlen und markierte Bereiche von einer Zahlengeraden ablesen,
Zahlen mit <, > und = vergleichen,
mehrere Zahlen der Größe nach ordnen,
zu einer Zahl die Gegenzahl bestimmen,
den Betrag einer Zahl als Abstand von 0 bestimmen und deuten.
Der Vergleich wird mit der Lage auf der Zahlengeraden oder mit Vorzeichen und Betrag begründet.
7
Ergebnis prüfen
Die Reihenfolge wird nochmals auf der Zahlengeraden kontrolliert; das Vergleichszeichen muss zur Leserichtung passen.
MG 1.1 – Betrag und Gegenzahl bestimmen
Betrag und Gegenzahl bestimmen in einer festen Reihenfolge bearbeiten. Jeder Rechen- oder Entscheidungsschritt wird sichtbar notiert und am Ende kontrolliert.
1
Ausgangszahl notieren
Die Zahl wird mit ihrem Vorzeichen vollständig notiert, bevor Betrag oder Gegenzahl bestimmt werden.
2
Abstand zu null bestimmen
Es wird gezählt oder abgelesen, wie viele Einheiten die Zahl von null entfernt liegt.
3
Betrag angeben
Der Abstand wird ohne Vorzeichen als Betrag notiert, zum Beispiel ∣−6∣=6.
4
Vorzeichen wechseln
Für die Gegenzahl wird ausschließlich das Vorzeichen geändert; der Betrag bleibt unverändert.
5
Gegenzahl angeben
Die Zahl mit gleichem Abstand und entgegengesetztem Vorzeichen wird notiert.
6
Beide Begriffe vergleichen
Betrag und Gegenzahl werden getrennt angegeben und sprachlich unterschieden.
7
Probe an der Zahlengeraden
Ausgangszahl und Gegenzahl müssen symmetrisch zu null liegen und denselben Abstand besitzen.
MG 1.1 – Positive und negative Zahlen unterscheiden
Positive Zahlen, negative Zahlen und null sicher unterscheiden.
1
Vorzeichen ansehen
Prüfe zuerst, ob vor der Zahl ein Pluszeichen, ein Minuszeichen oder kein Vorzeichen steht.
2
Positive Zahl erkennen
Eine Zahl größer als 0 ist positiv.
3
Negative Zahl erkennen
Eine Zahl kleiner als 0 ist negativ.
4
Null einordnen
Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ.
5
Unsichtbares Plus beachten
Steht vor einer positiven Zahl kein Vorzeichen, kann man sich ein Pluszeichen dazudenken.
6
Zahl eindeutig benennen
Ordne jede Zahl als positiv, negativ oder null ein.
MG 1.1 – Zahlen von der Zahlengeraden ablesen
Markierte Zahlen und von einer Zahlengeraden ablesen.
1
Skalierung prüfen
Bestimme zuerst, welchen Zahlenabstand zwei benachbarte Teilstriche darstellen.
2
Nullpunkt finden
Orientiere dich an der 0 oder an einer anderen beschrifteten Zahl.
3
Richtung beachten
Nach rechts werden die Zahlen größer, nach links kleiner.
4
Markierung verfolgen
Zähle die Teilstriche von einer bekannten Zahl bis zur gesuchten Markierung.
5
Intervallgrenzen ablesen
Bei einer markierten Strecke lies linken und rechten Randwert getrennt ab.
6
Ablesung prüfen
Kontrolliere Vorzeichen, Reihenfolge und Skalierung der abgelesenen Werte.
MG 1.1 – Zahlen ordnen
Mehrere positive und negative Zahlen der Größe nach ordnen.
1
Zahlen vollständig ansehen
Beachte bei jeder Zahl Vorzeichen und Betrag.
2
Negative und positive Zahlen trennen
Negative Zahlen liegen unter 0, positive über 0.
3
Negative Zahlen vergleichen
Bei zwei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl.
4
Null einordnen
0 liegt zwischen allen negativen und allen positiven Zahlen.
5
Positive Zahlen vergleichen
Bei positiven Zahlen gilt die gewohnte Größenordnung.
6
Reihenfolge notieren
Schreibe die Zahlen je nach Auftrag von klein nach groß oder von groß nach klein.
