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Bestimmte Integrale im Kontext | Lerncoach
AN 4.3
Bestimmte Integrale im Kontext Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
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Analysis 20 Schrittlisten PDF verfügbar
Das solltest du können
Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können.
Interaktiv: Integralwert und Flächeninhalt vergleichen Die Funktion lautet f(x) = x² - 1 . Die untere Grenze bleibt bei a = -2 . Verschiebe die obere Grenze b und vergleiche den orientierten Integralwert mit dem geometrischen Flächeninhalt.
-2 -1 0 1 2 Nullstelle Nullstelle a = -2 b = 1,000 Bestimmtes Integral
I = 0,000
Positive Beiträge minus negative Flächenbeträge. Das Ergebnis kann positiv, negativ oder null sein.
Geometrischer Flächeninhalt
A = 2,667
Alle Teilflächen werden positiv addiert. Deshalb ist der Flächeninhalt nie negativ.
Beobachtung
Bei b = 1 ist das bestimmte Integral gleich 0, der geometrische Flächeninhalt aber gleich 2,667. Die Flächen sind also vorhanden, heben sich beim orientierten Integral jedoch gegenseitig auf.
Ein bestimmtes Integral fasst viele kleine Beiträge auf einem Intervall
Merke: Vor jeder Rechnung klärst du drei Dinge: Was beschreibt der Integrand? Was bedeuten die Grenzen? Welche Einheit muss das Ergebnis haben?
Integral, Grenzen, Vorzeichen und Einheit deuten
Für eine Funktion f f f [ a ; b ] [a;b] [ a ; b ]
∫ a b f ( x ) d x orientierter Gesamtbeitrag = AN 4.3 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1 Aufgabenart erkennen Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2 Gegebene Größen markieren Notiere Werte, Variablen
3 Begriffe erklären Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4 Voraussetzungen prüfen Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5 Zielgröße festlegen Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6 Passende Darstellung wählen Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, Gleichung
GeoGebra-Übersicht: AN 4.3 – Bestimmte Integrale im Kontext
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
F ( b ) Stammfunktion an der oberen Grenze − F ( a ) Stammfunktion an der unteren Grenze , F ′ = f . \underset{\text{orientierter Gesamtbeitrag}}{\int_a^b f(x)\,\mathrm dx}
=
\underset{\text{Stammfunktion an der oberen Grenze}}{F(b)}
-
\underset{\text{Stammfunktion an der unteren Grenze}}{F(a)},
\qquad F'=f. orientierter Gesamtbeitrag ∫ a b f ( x ) d x = Stammfunktion an der oberen Grenze F ( b ) − Stammfunktion an der unteren Grenze F ( a ) , F ′ = f .
Dabei ist f ( x ) f(x) f ( x ) Integrand , a a a b b b x x x
Beispiel: Zuflussmenge vollständig bestimmen Eine Zuflussrate lautet r ( t ) = 3 t + 2 r(t)=3t+2 r ( t ) = 3 t + 2 l / m i n \mathrm{l/min} l/min t = 0 t=0 t = 0 t = 4 t=4 t = 4
Passendes Integral aufstellen:
Δ B = ∫ 0 4 ( 3 t + 2 ) d t . \Delta B=\int_0^4(3t+2)\,\mathrm dt. Δ B = ∫ 0 4 ( 3 t + 2 ) d t . R ( t ) = 3 2 t 2 + 2 t . R(t)=\frac{3}{2}t^2+2t. R ( t ) = 2 3 t 2 + 2 t . Δ B = R ( 4 ) − R ( 0 ) = ( 3 2 ⋅ 4 2 + 2 ⋅ 4 ) − ( 3 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 ) = ( 24 + 8 ) − 0 = 32 l . \begin{aligned}
\Delta B
&=R(4)-R(0)\\
&=\left(\frac32\cdot4^2+2\cdot4\right)
-\left(\frac32\cdot0^2+2\cdot0\right)\\
&=(24+8)-0\\
&=32\,\mathrm l.
\end{aligned} Δ B = R ( 4 ) − R ( 0 ) = ( 2 3 ⋅ 4 2 + 2 ⋅ Die Einheit bestätigt die Deutung:
l m i n ⋅ m i n = l . \frac{\mathrm l}{\mathrm{min}}\cdot\mathrm{min}=\mathrm l. min l ⋅ min = l . Der positive Wert bedeutet: Der Bestand nimmt um 32 l 32\,\mathrm l 32 l
Merke: Ein Ergebnis ohne Einheit und Antwortsatz ist im Sachkontext nicht vollständig.
Orientiertes Integral und geometrische Fläche unterscheiden Das bestimmte Integral und der geometrische Flächeninhalt sind nur dann gleich, wenn der Graph im ganzen Intervall nicht unter der x x x
Für f ( x ) = x 2 − 1 f(x)=x^2-1 f ( x ) = x 2 − 1 [ − 2 ; 1 ] [-2;1] [ − 2 ; 1 ] Nullstellen x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 1 x=1 x = 1
F ( x ) = x 3 3 − x . F(x)=\frac{x^3}{3}-x. F ( x ) = 3 x 3 − x .
Schritt 1: positive Teilfläche I 1 = ∫ − 2 − 1 ( x 2 − 1 ) d x = F ( − 1 ) − F ( − 2 ) = ( − 1 3 + 1 ) − ( − 8 3 + 2 ) = 2 3 − ( − 2 3 ) = 4 3 . \begin{aligned}
I_1
&=\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,\mathrm dx\\
&=F(-1)-F(-2)\\
&=\left(-\frac13+1\right)-\left(-\frac83+2\right)\\
&=\frac23-\left(-\frac23\right)\\
&=\frac43.
\end{aligned} I 1 = ∫ − 2 − 1
Schritt 2: negative Teilfläche I 2 = ∫ − 1 1 ( x 2 − 1 ) d x = F ( 1 ) − F ( − 1 ) = ( 1 3 − 1 ) − ( − 1 3 + 1 ) = − 2 3 − 2 3 = − 4 3 . \begin{aligned}
I_2
&=\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,\mathrm dx\\
&=F(1)-F(-1)\\
&=\left(\frac13-1\right)-\left(-\frac13+1\right)\\
&=-\frac23-\frac23\\
&=-\frac43.
\end{aligned} I 2 = ∫ − 1 1 (
Schritt 3: Fragestellung beachten ∫ − 2 1 ( x 2 − 1 ) d x = Vorzeichen mitnehmen 4 3 − 4 3 = 0. \int_{-2}^{1}(x^2-1)\,\mathrm dx
\overset{\text{Vorzeichen mitnehmen}}{=}
\frac43-\frac43=0. ∫ − 2 1 ( x 2 − 1 ) d x = Vorzeichen mitnehmen 3 4 − 3 4 = 0. Geometrischer Flächeninhalt:
A = Betr a ¨ ge addieren ∣ 4 3 ∣ + ∣ − 4 3 ∣ = 8 3 . A
\overset{\text{Beträge addieren}}{=}
\left|\frac43\right|+\left|-\frac43\right|
=\frac83. A = Betr a ¨ ge addieren 3 4 + − 3 4 = 3 8 .
Merke: Ein Integralwert von 0 0 0
Interaktiv: Die obere Grenze verschieben Im vorhandenen Explorer kannst du bei f ( x ) = x 2 − 1 f(x)=x^2-1 f ( x ) = x 2 − 1 b b b a = − 2 a=-2 a = − 2
I ( b ) = ∫ − 2 b ( x 2 − 1 ) d x I(b)=\int_{-2}^{b}(x^2-1)\,\mathrm dx I ( b ) = ∫ − 2 b ( x 2 − 1 ) d x A ( b ) = ∫ − 2 b ∣ x 2 − 1 ∣ d x . A(b)=\int_{-2}^{b}|x^2-1|\,\mathrm dx. A ( b ) = ∫ − 2 b ∣ x 2 − 1∣ d x . Achte besonders auf b = 1 b=1 b = 1 0 0 0 8 / 3 8/3 8/3
Änderungsrate, Bestandsänderung und Endbestand verbinden Ist r ( t ) r(t) r ( t ) B ( t ) B(t) B ( t )
B ( b ) − B ( a ) Bestands a ¨ nderung = ∫ a b r ( t ) d t . \underset{\text{Bestandsänderung}}{B(b)-B(a)}
=\int_a^b r(t)\,\mathrm dt. Bestands a ¨ nderung B ( b ) − B ( a ) = ∫ a b r ( t ) d t . Ist der Anfangsbestand bekannt, wird die Änderung addiert:
B ( b ) Endbestand = B ( a ) Anfangsbestand + ∫ a b r ( t ) d t A ¨ nderung . \underset{\text{Endbestand}}{B(b)}
=
\underset{\text{Anfangsbestand}}{B(a)}
+
\underset{\text{Änderung}}{\int_a^b r(t)\,\mathrm dt}. Endbestand B ( b ) = Anfangsbestand B ( a ) + A ¨ nderung ∫ a b r ( t ) d t .
Beispiel Ein Tank enthält anfangs 120 l 120\,\mathrm l 120 l 32 l 32\,\mathrm l 32 l
B ( 4 ) = B ( 0 ) + ∫ 0 4 r ( t ) d t = 120 l + 32 l = 152 l . \begin{aligned}
B(4)
&=B(0)+\int_0^4 r(t)\,\mathrm dt\\
&=120\,\mathrm l+32\,\mathrm l\\
&=152\,\mathrm l.
\end{aligned} B ( 4 ) = B ( 0 ) + ∫ 0 4 r ( t ) d t = 120 l + 32 l = 152 l . Der Integralwert 32 l 32\,\mathrm l 32 l
Geschwindigkeit integrieren und Bewegung deuten Ist v ( t ) v(t) v ( t )
Δ s Orts a ¨ nderung = ∫ a b v ( t ) d t . \underset{\text{Ortsänderung}}{\Delta s}
=\int_a^b v(t)\,\mathrm dt. Orts a ¨ nderung Δ s = ∫ a b v ( t ) d t . Die gesamte zurückgelegte Strecke berücksichtigt Richtungswechsel:
s g e s Strecke = ∫ a b ∣ v ( t ) ∣ d t . \underset{\text{Strecke}}{s_{\mathrm{ges}}}
=\int_a^b |v(t)|\,\mathrm dt. Strecke s ges = ∫ a b ∣ v ( t ) ∣ d t . Beispiel: v ( t ) = t − 2 v(t)=t-2 v ( t ) = t − 2 [ 0 ; 4 ] [0;4] [ 0 ; 4 ] Eine Stammfunktion ist V ( t ) = 1 2 t 2 − 2 t V(t)=\frac12t^2-2t V ( t ) = 2 1 t 2 − 2 t
Δ s = V ( 4 ) − V ( 0 ) = ( 1 2 ⋅ 4 2 − 2 ⋅ 4 ) − 0 = ( 8 − 8 ) − 0 = 0 m . \begin{aligned}
\Delta s
&=V(4)-V(0)\\
&=\left(\frac12\cdot4^2-2\cdot4\right)-0\\
&=(8-8)-0\\
&=0\,\mathrm m.
\end{aligned} Δ s = V ( 4 ) − V ( 0 ) = ( 2 1 ⋅ 4 2 − 2 ⋅
Richtungswechsel bestimmen: v ( t ) = 0 v(t)=0 v ( t ) = 0 t = 2 t=2 t = 2
Strecke bis zum Richtungswechsel:
∣ V ( 2 ) − V ( 0 ) ∣ = ∣ ( 1 2 ⋅ 2 2 − 2 ⋅ 2 ) − 0 ∣ = ∣ − 2 ∣ = 2 m . \left|V(2)-V(0)\right|
=\left|\left(\frac12\cdot2^2-2\cdot2\right)-0\right|
=|-2|=2\,\mathrm m. ∣ V ( 2 ) − V ( 0 ) ∣ = ( 2 1 ⋅ 2 2 − 2 ⋅ 2 ) − 0 = ∣ − 2∣ = 2 m . ∣ V ( 4 ) − V ( 2 ) ∣ = ∣ 0 − ( − 2 ) ∣ = 2 m . \left|V(4)-V(2)\right|
=|0-(-2)|=2\,\mathrm m. ∣ V ( 4 ) − V ( 2 ) ∣ = ∣0 − ( − 2 ) ∣ = 2 m . s g e s = 2 m + 2 m = 4 m . s_{\mathrm{ges}}=2\,\mathrm m+2\,\mathrm m=4\,\mathrm m. s ges = 2 m + 2 m = 4 m . Das Objekt kehrt zum Ausgangsort zurück, hat aber insgesamt 4 m 4\,\mathrm m 4 m
Arbeit aus einer Kraftfunktion bestimmen Für eine konstante Kraft nennt die Formelsammlung
W Arbeit = F Kraft ⋅ s Weg . \underset{\text{Arbeit}}{W}
=
\underset{\text{Kraft}}{F}
\cdot
\underset{\text{Weg}}{s}. Arbeit W = Kraft F ⋅ Weg s . Verändert sich die Kraft entlang des Weges, werden die kleinen Arbeitsbeiträge integriert:
W = ∫ a b F ( s ) d s . W=\int_a^b F(s)\,\mathrm ds. W = ∫ a b F ( s ) d s .
Beispiel Eine Kraft F ( s ) = 2 s + 3 F(s)=2s+3 F ( s ) = 2 s + 3 s = 0 s=0 s = 0 s = 4 s=4 s = 4
W = ∫ 0 4 ( 2 s + 3 ) d s . W=\int_0^4(2s+3)\,\mathrm ds. W = ∫ 0 4 ( 2 s + 3 ) d s . F ( s ) = s 2 + 3 s . \mathcal F(s)=s^2+3s. F ( s ) = s 2 + 3 s .
Grenzen einsetzen und ausrechnen:
W = F ( 4 ) − F ( 0 ) = ( 4 2 + 3 ⋅ 4 ) − ( 0 2 + 3 ⋅ 0 ) = ( 16 + 12 ) − 0 = 28 N m = 28 J . \begin{aligned}
W
&=\mathcal F(4)-\mathcal F(0)\\
&=(4^2+3\cdot4)-(0^2+3\cdot0)\\
&=(16+12)-0\\
&=28\,\mathrm{N\,m}\\
&=28\,\mathrm J.
\end{aligned} W = F ( 4 ) − F ( 0 ) = ( 4 2 + 3 ⋅ 4 ) − ( 0 2 + 3 ⋅ 0 Der Integralwert bedeutet: Die Kraft verrichtet auf diesem Weg 28 J 28\,\mathrm J 28 J
Einheiten und Plausibilität kontrollieren Die Einheit eines Integrals entsteht durch Multiplikation der Integranden-Einheit mit der Einheit der Integrationsvariable.
Passt das Vorzeichen zur Situation?
Passt die Einheit zur gesuchten Größe?
Liegt der Wert in einer plausiblen Größenordnung?
Wurde eine Änderung oder ein Endbestand verlangt?
Typische Fehler
Das bestimmte Integral wird immer als positive Fläche gelesen.
Bei einem Vorzeichenwechsel werden Teilintegrale nicht getrennt.
Ortsänderung und zurückgelegte Strecke werden verwechselt.
Bestandsänderung und Endbestand werden verwechselt.
Integrand oder Grenzen werden nicht im Kontext erklärt.
Die Einheit des Integralwerts wird vergessen.
Das Wichtigste auf einen Blick
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) Geometrische Flächen werden bei Vorzeichenwechseln getrennt und betragsmäßig addiert.
Das Integral einer Rate beschreibt eine Änderung; der Endbestand enthält zusätzlich den Anfangsbestand.
∫ v ( t ) d t \int v(t)\,\mathrm dt ∫ v ( t ) d t ∫ ∣ v ( t ) ∣ d t \int|v(t)|\,\mathrm dt ∫ ∣ v ( t ) ∣ d t ∫ F ( s ) d s \int F(s)\,\mathrm ds ∫ F ( s ) d s 7
Start kontrollieren Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
AN 4.3 – Darstellungen lesen und wechseln Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
1 Ausgangsdarstellung lesen Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
2 Größen zuordnen Ordne Achsen, Spalten, Variablen
3 Kennwerte entnehmen Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
4 Zielform festlegen Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
5 Darstellung erzeugen Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
6 Zusammenhang erklären Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
7 Rückkontrolle Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
AN 4.3 – Mathematisches Verfahren anwenden Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
1 Modell oder Formel wählen Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Integrand und Grenzen sachlich festlegen“ passt.
2 Werte einsetzen Setze Zahlen und Variablen
3 Schrittweise umformen Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
4 Technische Rechnung ausführen Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
5 Zwischenergebnis prüfen Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
6 Ergebnis darstellen Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
7 Rechenweg rückprüfen Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
AN 4.3 – Ergebnis im Kontext deuten Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
1 Ergebnis identifizieren Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
2 Einheit ergänzen Ordne die sachlich passende Einheit zu.
3 Bezug nennen Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
4 Vorzeichen deuten Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
5 Gültigkeitsbereich beachten Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
6 Antwortsatz schreiben Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
7 Plausibilität bewerten Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
AN 4.3 – Lösung kontrollieren und Fehler vermeiden Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
1 Formale Probe Kontrolliere Gleichungen Funktionswerte
2 Darstellungsprobe Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
3 Einheitenprobe Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
4 Definitionsprobe Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
5 Grenzfall prüfen Teste einen einfachen oder extremen Fall.
6 Typischen Fehler suchen Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
7 Endfassung erstellen Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
AN 4.3 – Integral als orientierten Flächeninhalt deuten Ein bestimmtes Integral als vorzeichenbehaftete Fläche zwischen Graph und x-Achse interpretieren.
1 Intervall festlegen Bestimme die unteren und oberen Grenzen des bestimmten Integrals.
2 Graphlage prüfen Untersuche, wo der Graph oberhalb und wo er unterhalb der x-Achse liegt.
3 Positive Beiträge erkennen Bereiche oberhalb der x-Achse tragen positiv zum Integralwert bei.
4 Negative Beiträge erkennen Bereiche unterhalb der x-Achse tragen negativ zum Integralwert bei.
5 Beiträge algebraisch zusammenfassen Der Integralwert berücksichtigt die Vorzeichen der Teilflächen.
6 Orientierte Fläche formulieren Deute das bestimmte Integral als vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
AN 4.3 – Geometrischen Flächeninhalt vom Integral unterscheiden Zwischen orientiertem Integralwert und tatsächlichem geometrischem Flächeninhalt unterscheiden.
1 Graphlage untersuchen Bestimme, ob Teile des Graphen unterhalb der x-Achse liegen.
2 Orientierten Integralwert bestimmen Beim bestimmten Integral bleiben Beiträge unterhalb der x-Achse negativ.
3 Geometrischen Flächeninhalt bestimmen Für tatsächlichen Flächeninhalt werden alle Teilflächen mit positivem Betrag gezählt.
4 Nullstellen als Trennstellen nutzen Teile das Intervall
5 Beide Größen vergleichen Integralwert und geometrischer Flächeninhalt stimmen nur überein, wenn keine negativen Flächenbeiträge auftreten.
6 Unterschied formulieren Erkläre orientierte Addition beim Integral gegenüber positiver Addition geometrischer Flächen.
AN 4.3 – Flächeninhalt oberhalb der x-Achse berechnen Den Flächeninhalt zwischen einem nichtnegativen Graphen und der x-Achse berechnen.
1 Nichtnegativität prüfen Stelle sicher, dass f(x) im betrachteten Intervall
2 Grenzen bestimmen Bestimme a und b des Flächenintervalls.
3 Bestimmtes Integral aufstellen Verwende das Integral von f über [a,b].
4 Stammfunktion bestimmen Finde eine Stammfunktion F von f.
5 F(b)−F(a) berechnen Werte die Stammfunktion an den Grenzen aus.
6 Als Flächeninhalt angeben Da f nichtnegativ ist, entspricht der Integralwert direkt dem geometrischen Flächeninhalt.
AN 4.3 – Flächeninhalt bei Vorzeichenwechsel berechnen Ein Intervall Nullstellen
1 Nullstellen im Intervall finden Bestimme alle Stellen, an denen der Graph die x-Achse innerhalb des Flächenintervalls schneidet.
2 Intervall aufteilen Zerlege den Bereich an diesen Nullstellen
3 Teilintegrale berechnen Berechne den orientierten Integralwert jedes Teilintervalls.
4 Beträge bilden Für geometrischen Flächeninhalt verwende von jedem Teilintegral den positiven Betrag.
5 Teilflächen addieren Addiere die Beträge aller Teilflächen nacheinander.
6 Ergebnis prüfen Der geometrische Gesamtflächeninhalt muss nichtnegativ sein.
AN 4.3 – Fläche zwischen zwei Graphen darstellen Den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen durch ein bestimmtes Integral beschreiben.
1 Schnittgrenzen bestimmen Bestimme das Intervall
2 Oberen Graphen identifizieren Prüfe im betrachteten Bereich, welche Funktion Funktionswerte
3 Differenzfunktion bilden Verwende oberer Funktionswert
4 Bestimmtes Integral aufstellen Integriere diese Differenz über die festgelegten Grenzen.
5 Vorzeichenwechsel beachten Wechselt die Reihenfolge der Graphen, teile das Intervall
6 Flächenbedeutung formulieren Deute den nichtnegativen Gesamtwert als Fläche zwischen den beiden Graphen.
AN 4.3 – Bestandsänderung aus Änderungsrate bestimmen Die Änderung einer Bestandsgröße durch Integration ihrer Änderungsrate berechnen.
1 Änderungsrate erkennen Bestimme die Funktion
2 Zeitraum festlegen Bestimme Anfangszeit a und Endzeit b.
3 Integral aufstellen Integriere die Änderungsrate über [a,b].
4 Integralwert berechnen Bestimme den Wert mit einer Stammfunktion.
5 Vorzeichen beachten Ein positiver Wert bedeutet Gesamtzunahme, ein negativer Gesamtabnahme.
6 Bestandsänderung formulieren Deute den Integralwert als Änderung des Bestands zwischen a und b, nicht als Endbestand selbst.
AN 4.3 – Endbestand aus Anfangsbestand bestimmen Aus Anfangsbestand und integrierter Änderungsrate den Endbestand bestimmen.
1 Anfangsbestand bestimmen Notiere den vorhandenen Bestand B(a) zu Beginn.
2 Änderungsrate erkennen Bestimme die Funktion
3 Gesamtänderung berechnen Integriere r(t) vom Anfangs- bis zum Endzeitpunkt.
4 Änderung zum Anfangsbestand addieren Berechne B(b)=B(a)+integrierte Gesamtänderung.
5 Vorzeichen korrekt übernehmen Eine negative integrierte Änderung vermindert den Anfangsbestand.
6 Endbestand im Kontext angeben Formuliere den berechneten Bestand mit passender Einheit zum Endzeitpunkt.
AN 4.3 – Zurückgelegten Weg aus Geschwindigkeit bestimmen Eine Geschwindigkeitsfunktion integrieren und die Ortsänderung beziehungsweise Strecke interpretieren.
1 Geschwindigkeitsfunktion identifizieren Bestimme v(t) und das betrachtete Zeitintervall.
2 Vorzeichen der Geschwindigkeit prüfen Das Vorzeichen zeigt die Bewegungsrichtung relativ zur gewählten Orientierung.
3 Ortsänderung berechnen Das bestimmte Integral von v(t) über das Zeitintervall liefert die orientierte Ortsänderung.
4 Zurückgelegte Strecke unterscheiden Für die tatsächlich zurückgelegte Strecke müssen Richtungswechsel getrennt und die einzelnen Wegbeiträge positiv gezählt werden.
5 Nullstellen beachten Teile bei Vorzeichenwechseln von v das Zeitintervall an den entsprechenden Zeitpunkten auf.
6 Ergebnis deuten Gib ausdrücklich an, ob eine Ortsänderung oder eine gesamte Wegstrecke berechnet wurde.
AN 4.3 – Arbeit aus Kraftfunktion bestimmen Eine Kraftfunktion über einen Weg integrieren und als Arbeit deuten.
1 Kraftfunktion bestimmen Identifiziere F(s) als Kraft in Abhängigkeit vom Weg s.
2 Wegintervall festlegen Bestimme die Anfangs- und Endposition.
3 Integral aufstellen Integriere F(s) bezüglich des Weges über das betrachtete Intervall
4 Integralwert berechnen Bestimme den Zahlenwert mithilfe einer Stammfunktion.
5 Einheit bilden Kraft mal Weg ergibt die Einheit der Arbeit, zum Beispiel Joule.
6 Physikalisch deuten Formuliere den Integralwert als verrichtete Arbeit entlang des betrachteten Wegabschnitts.
AN 4.3 – Integral aus Kontext aufstellen Zu einer gegebenen Bestands- oder Flusssituation ein passendes bestimmtes Integral angeben.
1 Gesuchte Gesamtgröße bestimmen Kläre, welche Bestandsänderung, Fläche oder andere aufsummierte Größe gesucht ist.
2 Änderungs- oder Dichtefunktion identifizieren Bestimme die Funktion
3 Integrationsvariable festlegen Wähle die Variable
4 Grenzen aus dem Kontext ablesen Bestimme Start- und Endwert des betrachteten Bereichs.
5 Bestimmtes Integral notieren Schreibe das passende Integral aus Integrand, Integrationsvariable und Grenzen.
6 Bedeutung prüfen Kontrolliere über die Einheiten, dass das Integral tatsächlich die gesuchte Gesamtgröße liefert.
AN 4.3 – Integrand im Kontext deuten Die Bedeutung des Integranden und seiner Einheit im Sachkontext erklären.
1 Integrand identifizieren Bestimme die Funktion
2 Abhängige Größe benennen Ordne den Funktionswert
3 Unabhängige Variable benennen Bestimme, bezüglich welcher Größe integriert wird.
4 Einheit des Integranden angeben Notiere die Einheit der Funktionswerte
5 Lokale Bedeutung formulieren Erkläre, was ein einzelner Funktionswert
6 Rolle im Integral erklären Beschreibe den Integranden als lokale Beitrags- oder Änderungsgröße, deren Beiträge über das Intervall
AN 4.3 – Integrationsgrenzen im Kontext deuten Die Bedeutung der unteren und oberen Integrationsgrenze im Sachkontext erklären.
1 Untere Grenze identifizieren Bestimme die erste Zahl beziehungsweise den Startwert des Integrals.
2 Obere Grenze identifizieren Bestimme die zweite Zahl beziehungsweise den Endwert des Integrals.
3 Variable im Kontext zuordnen Kläre, ob die Grenzen zum Beispiel Zeiten, Wege, Mengen oder andere Argumentwerte darstellen.
4 Startbedeutung formulieren Erkläre, welchen Anfangszustand oder Startpunkt die untere Grenze bezeichnet.
5 Endbedeutung formulieren Erkläre, welchen Endzustand oder Endpunkt die obere Grenze bezeichnet.
6 Intervallbedeutung zusammenfassen Beschreibe die Grenzen als den gesamten Bereich, über den lokale Beiträge berücksichtigt werden.
AN 4.3 – Einheit eines Integralwerts bestimmen Die Einheit eines Integralwerts aus den Einheiten von Integrand und Integrationsvariable bestimmen.
1 Einheit des Integranden bestimmen Notiere die Einheit der Funktion
2 Einheit der Integrationsvariable bestimmen Notiere die Einheit der horizontalen beziehungsweise unabhängigen Größe.
3 Produkteinheit bilden Multipliziere beide Einheiten miteinander.
4 Kürzungen prüfen Bei Raten wie Menge pro Zeit kann sich die Zeiteinheit mit der Integrationszeiteinheit aufheben.
5 Ergebniseinheit notieren Gib die verbleibende Einheit des Integralwerts an.
6 Kontext kontrollieren Prüfe, ob die Einheit zur gesuchten Gesamtgröße wie Bestand, Weg, Fläche oder Arbeit passt.
AN 4.3 – Vorzeichen eines Integralwerts deuten Einen positiven, negativen oder verschwindenden Integralwert im Kontext interpretieren.
1 Integralwert mit Vorzeichen notieren Bestimme, ob der Wert positiv, negativ oder 0 ist.
2 Positive Bedeutung zuordnen Ein positiver Wert bedeutet einen positiven orientierten Gesamtbeitrag, zum Beispiel eine Nettozunahme.
3 Negative Bedeutung zuordnen Ein negativer Wert bedeutet einen negativen orientierten Gesamtbeitrag, zum Beispiel eine Nettoabnahme.
4 Nullwert deuten Ein Wert 0 bedeutet, dass sich positive und negative Beiträge insgesamt ausgleichen können.
5 Kontextvariable berücksichtigen Übersetze das Vorzeichen in die konkrete Bedeutung der betrachteten Bestands-, Bewegungs- oder Flächensituation.
6 Aussage formulieren Gib Vorzeichen, Betrag und Sachbedeutung gemeinsam an.
AN 4.3 – Integralwert auf Plausibilität prüfen Die Größenordnung und das Vorzeichen eines Integralwerts grafisch oder sachlich kontrollieren.
1 Vorzeichen grafisch oder sachlich erwarten Prüfe vor der Rechnung, ob überwiegend positive oder negative Beiträge zu erwarten sind.
2 Größenordnung des Integranden betrachten Schätze typische Funktionswerte Intervall
3 Intervallbreite berücksichtigen Verbinde typische Höhe und Breite zu einer groben Größenordnung des Integralwerts.
4 Berechneten Wert vergleichen Vergleiche Vorzeichen und Betrag des Ergebnisses mit dieser Abschätzung.
5 Einheit kontrollieren Prüfe, ob die Einheit zur gesuchten Gesamtgröße passt.
6 Plausibilitätsurteil formulieren Bestätige den Integralwert nur, wenn Vorzeichen, Größenordnung und Einheit zur Situation passen.
Untersumme Untersumme(f,a,b,n) Produktsumme visualisieren Untersumme(f,0,2,8) Grafik Funktion und Teilzahl
Obersumme Obersumme(f,a,b,n) obere Produktsumme Obersumme(f,0,2,8) Grafik Funktion und Teilzahl
2. Befehle als unveränderte Codeblöcke
Integral Verwendung: bestimmtes Integral berechnen
Benötigte Ansicht: CAS/Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Grenzen
Integral Verwendung: Stammfunktion erzeugen
Mathematische Voraussetzung: Integrierbare Funktion
Untersumme Verwendung: Produktsumme visualisieren
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Teilzahl
Obersumme Verwendung: obere Produktsumme
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Teilzahl
3. Sinnvolle Arbeitsweise
Mathematische Größen und Voraussetzungen zuerst händisch bestimmen.
Eingabe exakt mit Klammern, Dezimaltrennzeichen und Variablen
Darstellung und berechnete Werte mit dem eigenen Ergebnis vergleichen.
Abweichungen als Anlass für eine Fehleranalyse verwenden.
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.
4
)
−
( 2 3 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 )
= ( 24 + 8 ) − 0
= 32 l .
(
x 2
−
1
)
d
x
= F ( − 1 ) − F ( − 2 )
= ( − 3 1 + 1 ) − ( − 3 8 + 2 )
= 3 2 − ( − 3 2 )
= 3 4 .
x 2
−
1
)
d
x
= F ( 1 ) − F ( − 1 )
= ( 3 1 − 1 ) − ( − 3 1 + 1 )
= − 3 2 − 3 2
= − 3 4 .
4
)
−
0
= ( 8 − 8 ) − 0
= 0 m .
)
= ( 16 + 12 ) − 0
= 28 N m
= 28 J .
