Integrale in wirtschaftlichen Modellen

Kompetenzcode: AN 5.4

Bereich: Analysis

In wirtschaftlichen Modellen gibt es oft zwei Arten von Größen:

• Eine Gesamtgröße sagt, wie viel insgesamt angefallen ist. Beispiele sind Gesamtkosten, Gesamterlös und Gesamtgewinn.
• Eine Grenz- oder Ratenfunktion sagt, wie schnell sich diese Gesamtgröße ändert.

Die Ableitung führt von der Gesamtgröße zur Änderungsrate. Das Integral führt wieder zurück:

$$\underbrace{F(x)}_{\text{Gesamtgröße}} \xrightarrow{\text{ableiten}} \underbrace{F'(x)}_{\text{Grenzgröße}}, \qquad \underbrace{F'(x)}_{\text{Grenzgröße}} \xrightarrow{\text{integrieren}} \underbrace{F(x)+C}_{\text{Gesamtgröße}}.$$

Integrieren liefert zuerst eine ganze Familie von Funktionen. Eine Anfangsbedingung bestimmt die passende Gesamtfunktion.

Die folgende Übersicht verbindet Grenzfunktionen und Zahlungsraten mit ihren Gesamtgrößen.

1. Grenzfunktion und Gesamtfunktion unterscheiden

Für Kosten, Erlös und Gewinn gilt:

Dabei bezeichnet $x$ die produzierte oder verkaufte Menge.

Ist zum Beispiel $K(x)$ in Euro und $x$ in Stück angegeben, dann hat $K'(x)$ die Einheit Euro pro Stück.

Die Grenzfunktion ist also keine Gesamtgröße. Ein Wert $K'(5)=8$ bedeutet nicht, dass die Kosten bei fünf Stück acht Euro betragen. Er beschreibt die momentane Kostenänderung in der Nähe von fünf Stück.

2. Die Grundidee der Rekonstruktion

Ist eine Grenzfunktion $f(x)=F'(x)$ bekannt, dann ist jede Stammfunktion von $f$ eine mögliche Gesamtfunktion:

$$F(x)=\int f(x)\,dx=F_0(x)+C.$$

Der Term $C$ ist eine Konstante. Verschiedene Werte von $C$ verschieben den Graphen der Gesamtfunktion nach oben oder unten. Die Grenzfunktion bleibt dabei gleich, weil

$$\frac{d}{dx}C=0.$$

Darum kann man aus der Grenzfunktion allein die Höhe der Gesamtfunktion nicht erkennen.

3. Anfangsbedingung einsetzen

Eine Anfangsbedingung ist ein bekannter Wert der Gesamtfunktion, zum Beispiel

$$K(0)=10.$$

Sie bestimmt die Integrationskonstante.

Allgemeiner Ablauf

Ist $F'(x)=f(x)$ und $F(x_0)=F_0$ gegeben, dann:

1. Grenzfunktion integrieren.
2. $+C$ ergänzen.
3. $x_0$ und $F_0$ einsetzen.
4. $$ berechnen.

Kurz kann derselbe Zusammenhang so geschrieben werden:

$$\boxed{ F(x)=\underbrace{F(x_0)}_{\text{bekannter Anfangswert}} + \underbrace{\int_{x_0}^{x}F'(t)\,dt}_{\text{Änderung ab }x_0} }.$$

Die Variable $t$ im Integral ist nur eine Laufvariable. Sie verhindert, dass die obere Grenze $x$ mit der Integrationsvariable verwechselt wird.

4. Kostenfunktion aus Grenzkosten rekonstruieren

Gegeben seien

$$K'(x)=0{,}6x+2 \qquad\text{und}\qquad K(0)=10.$$

Zuerst wird integriert:

$$K(x)=\int(0{,}6x+2)\,dx =0{,}3x^2+2x+C.$$

Nun wird die Anfangsbedingung eingesetzt:

$$\begin{aligned} K(0)&=0{,}3\cdot0^2+2\cdot0+C,\\ 10&=C. \end{aligned}$$

Damit lautet die Kostenfunktion

$$\boxed{K(x)=0{,}3x^2+2x+10}.$$

Der Wert $K(0)=10$ sind die Fixkosten. Sie wären verloren gegangen, wenn man nach dem Integrieren $+C$ vergessen hätte.

Kontrolle

Ableiten muss wieder die gegebene Grenzkostenfunktion liefern:

$$K'(x)=0{,}6x+2.$$

Auch die Anfangsbedingung stimmt:

$$K(0)=10.$$

5. Erlösfunktion aus Grenzerlös rekonstruieren

Gegeben seien

$$E'(x)=12-2x \qquad\text{und}\qquad E(0)=0.$$

Integration ergibt

$$E(x)=12x-x^2+C.$$

Da ohne verkaufte Menge kein Erlös entsteht, gilt gewöhnlich $E(0)=0$. Einsetzen liefert

$$0=C.$$

Somit ist

$$\boxed{E(x)=12x-x^2}.$$

Die Bedingung $E(0)=0$ ist wirtschaftlich naheliegend. Sie darf trotzdem nicht stillschweigend verwendet werden, wenn die Aufgabe eine andere Bedingung vorgibt.

6. Gewinnfunktion aus Grenzgewinn rekonstruieren

Gegeben seien

$$G'(x)=10-2x \qquad\text{und}\qquad G(0)=-16.$$

Zuerst wird integriert:

$$G(x)=10x-x^2+C.$$

Mit $G(0)=-16$ folgt $C=-16$. Daher gilt

$$\boxed{G(x)=-x^2+10x-16}.$$

Der negative Anfangswert ist sinnvoll: Bei Menge null gibt es keinen Erlös, aber Fixkosten können bereits einen Verlust verursachen.

7. Die drei Wirtschaftsgrößen gemeinsam kontrollieren

Kosten, Erlös und Gewinn hängen durch

$$G(x)=E(x)-K(x)$$

zusammen. Durch Ableiten folgt

$$\underbrace{G'(x)}_{\text{Grenzgewinn}} = \underbrace{E'(x)}_{\text{Grenzerlös}} - \underbrace{K'(x)}_{\text{Grenzkosten}}.$$

Diese Beziehung ist eine starke Kontrolle.

Beim Explorer-Beispiel gilt

$$E'(x)=12-2x, \qquad K'(x)=2.$$

Damit ist

$$G'(x)=E'(x)-K'(x)=10-2x.$$

Auch die Anfangswerte müssen zusammenpassen:

$$G(0)=E(0)-K(0)=0-16=-16.$$

Grenzfunktionen erfüllen die abgeleitete Beziehung. Für die Gesamtfunktionen braucht man zusätzlich passende Anfangswerte.

8. Bestimmtes Integral als Änderung

Das bestimmte Integral einer Grenzfunktion gibt die Änderung der Gesamtgröße an:

$$\boxed{ F(b)-F(a)=\int_a^b F'(x)\,dx }.$$

Für die Kosten bedeutet das:

$$K(b)-K(a)=\int_a^b K'(x)\,dx.$$

Die rechte Seite sind die zusätzlichen Kosten, wenn die Menge von $a$ auf $b$ erhöht wird. Sie ist nicht automatisch gleich $K(b)$, weil vor Menge $a$ bereits Kosten angefallen sein können.

Beispiel

Für $K'(x)=0{,}6x+2$ ist die Kostenänderung von $x=2$ bis $x=5$:

$$\begin{aligned} K(5)-K(2) &=\int_2^5(0{,}6x+2)\,dx\\ &=\left[0{,}3x^2+2x\right]_2^5\\ &=(7{,}5+10)-(1{,}2+4)\\ &=12{,}3. \end{aligned}$$

Die Kosten steigen in diesem Mengenintervall also um $12{,}3$ Geldeinheiten.

9. Kontinuierliche Zahlungsströme

Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom wird durch eine Zahlungsrate $r(t)$ beschrieben.

Die Variable $t$ steht für die Zeit. Die Höhe $r(t)$ gibt an, wie viel Geld zu diesem Zeitpunkt pro Zeiteinheit fließt.

Beispiele für Einheiten sind:

• Euro pro Monat,
• Tausend Euro pro Jahr,
• Euro pro Stunde.

Die Zahlungsrate ist noch keine Zahlungssumme. Erst das Integral summiert die kleinen Zahlungen über einen Zeitraum:

$$\boxed{ Z_{[a;b]}=\int_a^b r(t)\,dt }.$$

Dabei ist

• $a$ der Beginn des betrachteten Zeitraums,
• $b$ das Ende des betrachteten Zeitraums,
• $r(t)$ die Zahlungsrate,
• $Z_{[a;b]}$ die gesamte Nettozahlung im Zeitraum.

10. Beispiel eines Zahlungsstroms

Eine Zahlungsrate sei

$$r(t)=2+0{,}5t$$

in Tausend Euro pro Monat. Die Zeit $t$ wird in Monaten gemessen. Gesucht ist die Gesamtzahlung vom Beginn des zweiten bis zum Ende des siebten Monats, also auf $[2;7]$.

$$\begin{aligned} Z_{[2;7]} &=\int_2^7(2+0{,}5t)\,dt\\ &=\left[2t+0{,}25t^2\right]_2^7\\ &=(14+12{,}25)-(4+1)\\ &=21{,}25. \end{aligned}$$

Die Gesamtzahlung beträgt im betrachteten Zeitraum $21{,}25$ Tausend Euro, also $21\,250$ Euro.

Einheitenkontrolle

$$\underbrace{\frac{\text{Tausend Euro}}{\text{Monat}}}_{\text{Zahlungsrate}} \cdot \underbrace{\text{Monat}}_{\text{Zeit}} = \underbrace{\text{Tausend Euro}}_{\text{Gesamtzahlung}}.$$

Die Einheit der Zeit kürzt sich. Übrig bleibt eine Geldeinheit.

11. Vorzeichen wirtschaftlich deuten

Üblicherweise gilt:

• $r(t)>0$: Einzahlung oder Einnahme,
• $r(t)<0$: Auszahlung oder Ausgabe,
• $r(t)=0$: in diesem Moment kein Zahlungsfluss.

Deshalb liefert

$$\int_a^b r(t)\,dt$$

die Nettozahlung. Negative Bereiche werden von positiven Bereichen abgezogen.

Soll stattdessen der gesamte Geldumsatz ohne Verrechnung von Ein- und Auszahlungen bestimmt werden, muss die Aufgabenstellung das ausdrücklich verlangen. Dann werden die Beträge der Teilflächen benötigt.

12. Zahlungsbestand aus einer Rate rekonstruieren

Ist $B(t)$ ein Geldbestand und $r(t)=B'(t)$ die Zahlungsrate, dann gilt

$$B(t)=B(t_0)+\int_{t_0}^{t}r(s)\,ds.$$

Die Anfangsbedingung $B(t_0)$ ist der bereits vorhandene Geldbestand zum Startzeitpunkt.

Das bestimmte Integral allein liefert nur die Veränderung ab $t_0$. Für den neuen Bestand muss der Anfangsbestand addiert werden.

Beispiel

Ein Konto enthält zu Beginn $5$ Tausend Euro. Im Zeitraum $[0;2]$ gilt die Zahlungsrate

$$r(t)=1+t$$

in Tausend Euro pro Jahr. Dann ist

$$\begin{aligned} B(2) &=5+\int_0^2(1+t)\,dt\\ &=5+\left[t+\frac12t^2\right]_0^2\\ &=5+4\\ &=9. \end{aligned}$$

Nach zwei Jahren beträgt der Bestand $9$ Tausend Euro.

13. Gesamtzahlung und mittlere Zahlungsrate unterscheiden

Das Integral

$$\int_a^b r(t)\,dt$$

ist die Gesamtzahlung. Die mittlere Zahlungsrate ist dagegen

$$\overline r = \frac{1}{b-a}\int_a^b r(t)\,dt.$$

Die beiden Größen haben verschiedene Einheiten:

Diese Unterscheidung verhindert einen häufigen Fehler: Durch $b-a$ wird nur geteilt, wenn eine mittlere Rate verlangt ist.

14. Modell und Intervall prüfen

Vor der Rechnung müssen die Grenzen sachlich passen.

• Liegt der Zeitraum innerhalb des Gültigkeitsbereichs des Modells?
• Gilt $a<b$?
• Werden Beginn und Ende in derselben Zeiteinheit angegeben?
• Passt die Einheit der Ratenfunktion zu dieser Zeiteinheit?
• Sind Mengen oder Zeiten wirtschaftlich zulässig?

Auch das Ergebnis muss plausibel sein. Ist die Rate auf dem ganzen Intervall positiv, muss die Gesamtzahlung positiv sein. Je länger das Intervall ist, desto größer wird bei positiver Rate gewöhnlich die aufsummierte Zahlung.

15. Berechnung mit Technologie

Ein elektronisches Hilfsmittel kann Stammfunktionen und bestimmte Integrale berechnen. Der Lösungsweg bleibt trotzdem sichtbar:

1. Grenz- oder Ratenfunktion mit Einheit notieren.
2. Passende Integrationsgrenzen festlegen.
3. Integral berechnen.
4. Bei einer Rekonstruktion die Anfangsbedingung einsetzen.
5. Ergebnis durch Ableiten, Einsetzen und Einheiten kontrollieren.
6. Wirtschaftliche Bedeutung in einem Satz formulieren.

Technologie ersetzt nicht die Entscheidung, ob das Integral eine Änderung, eine Gesamtzahlung oder eine mittlere Rate beschreibt.

16. Typische Fehler

Fehler 1: Integrationskonstante vergessen

Aus $F'(x)$ folgt zunächst $F(x)+C$. Ohne Anfangsbedingung ist die konkrete Gesamtfunktion nicht eindeutig.

Fehler 2: Grenzfunktion mit Gesamtfunktion verwechseln

$K'(x)$ sind Grenzkosten, nicht Gesamtkosten.

Fehler 3: Integraländerung als Endbestand angeben

$$\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a),$$

nicht automatisch $F(b)$.

Fehler 4: Anfangsbedingung falsch einsetzen

Bei $F(x_0)=F_0$ müssen sowohl $x_0$ als auch korrekt eingesetzt werden.

Fehler 5: Durch die Intervallbreite teilen

Für eine Gesamtzahlung wird nicht durch $b-a$ geteilt. Diese Division gehört nur zur mittleren Rate.

Fehler 6: Vorzeichen ignorieren

Ein negatives Integral kann eine Nettoauszahlung oder einen Rückgang beschreiben.

Fehler 7: Einheit der Rate als Einheit des Integrals übernehmen

Das Integral einer Rate in Euro pro Monat über die Zeit in Monaten hat die Einheit Euro.

17. Allgemeiner Arbeitsplan

Gesamtfunktion aus Grenzfunktion

1. Gesamt- und Grenzgröße zuordnen.
2. Grenzfunktion integrieren und $+C$ ergänzen.
3. Anfangsbedingung einsetzen und $C$ bestimmen.
4. Gesamtfunktion vollständig angeben.
5. Durch Ableiten und Einsetzen kontrollieren.
6. Ergebnis mit Einheit wirtschaftlich deuten.

Kontinuierlicher Zahlungsstrom

1. Bedeutung und Einheit von $r(t)$ klären.
2. Zeitraum $[a;b]$ festlegen.
3. $\int_a^b r(t)\,dt$ berechnen.

Merksätze

• Ableiten führt von der Gesamtfunktion zur Grenzfunktion; integrieren führt zurück.
• Die Anfangsbedingung bestimmt die Integrationskonstante.
• $F(b)-F(a)=\int_a^bF'(x)\,dx$ beschreibt die Änderung einer Gesamtgröße.