Partielle Ableitungen und Fehlerfortpflanzung

Kompetenzcode: AN 6.1

Bereich: Analysis

Viele Größen hängen von mehr als einer Eingabe ab. Der Flächeninhalt eines Rechtecks hängt von Länge und Breite ab, das Volumen eines Zylinders von Radius und Höhe:

$$A(l,b)=l\cdot b, \qquad V(r,h)=\pi r^2h.$$

Eine partielle Ableitung untersucht, wie sich der Funktionswert ändert, wenn genau eine Eingabe verändert wird. Alle anderen Eingaben werden dabei festgehalten.

Das totale Differential setzt die Wirkungen mehrerer kleiner Änderungen zusammen. Damit können auch Messfehler näherungsweise auf ein berechnetes Ergebnis übertragen werden.

Leitidee: Zuerst jede Eingangsgröße einzeln untersuchen, danach ihre Beiträge zur gesamten Änderung zusammenfügen.

1. Funktionen mehrerer Variablen lesen

Bei einer Funktion

$$z=f(x,y)$$

sind (x) und (y) die Eingangsgrößen. Der Wert (z) ist die abhängige Ergebnisgröße.

Ein Punkt ((x_0,y_0)) legt beide Eingaben fest. Der zugehörige Funktionswert ist

$$z_0=f(x_0,y_0).$$

Kurzes Beispiel

Für

$$f(x,y)=x^2+3y$$

und den Punkt ((2,5)) gilt schrittweise:

$$\begin{aligned} f(2,5) &=2^2+3\cdot5\\ &=4+15\\ &=19. \end{aligned}$$

Der Punkt auf dem Flächengraphen lautet daher ((2,5,19)).

2. Nach (x) partiell ableiten

Die partielle Ableitung nach (x) wird zum Beispiel so geschrieben:

$$f_x(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \qquad \partial_x f(x,y).$$

Beim Ableiten nach (x) wird (y) wie eine feste Zahl behandelt.

Ein Term ohne die Ableitungsvariable ist bei dieser partiellen Ableitung konstant und hat die Ableitung null.

3. Nach (y) partiell ableiten

Beim Ableiten nach (y) wird (x) festgehalten:

$$f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).$$

Die Rechenregeln sind also dieselben wie bei Funktionen einer Variablen. Neu ist nur die Entscheidung, welche Variable festgehalten wird.

4. Beispiel 1: Beide partiellen Ableitungen vollständig bilden

Gegeben ist

$$f(x,y)=2x^2y-3y^2+5x.$$

Schritt 1: Nach (x) ableiten

Dabei ist (y) konstant:

$$\begin{aligned} f_x(x,y) &=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x^2y-3y^2+5x\right)\\ &=2y\cdot2x-0+5\\ &=\boxed{4xy+5}. \end{aligned}$$

Der Term (-3y^2) verschwindet, weil er kein (x) enthält.

Schritt 2: Nach (y) ableiten

Nun ist (x) konstant:

$$\begin{aligned} f_y(x,y) &=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x^2y-3y^2+5x\right)\\ &=2x^2-6y+0\\ &=\boxed{2x^2-6y}. \end{aligned}$$

Der Term (5x) verschwindet, weil er kein (y) enthält.

Schritt 3: Plausibilität prüfen

• (f_x) darf weiterhin (y) enthalten.
• (f_y) darf weiterhin (x) enthalten.
• Nur Terme, die von der jeweiligen Ableitungsvariablen unabhängig sind, werden null.

5. Partielle Ableitungen an einem Punkt auswerten

Eine partielle Ableitungsfunktion beschreibt die Änderungsrate an allen zulässigen Punkten. Erst durch Einsetzen eines Punktes entsteht eine Zahl.

Für das vorige Beispiel und den Punkt ((1,2)) gilt:

$$\begin{aligned} f_x(1,2) &=4\cdot1\cdot2+5\\ &=8+5\\ &=\boxed{13},\\[4pt] f_y(1,2) &=2\cdot1^2-6\cdot2\\ &=2-12\\ &=\boxed{-10}. \end{aligned}$$

Deutung

In der Nähe von ((1,2)) gilt näherungsweise:

• Erhöht man nur (x) um (0{,}01), ändert sich (f) ungefähr um (13 · 0{,}01=0{,}13).
• Erhöht man nur (y) um (0{,}01), ändert sich (f) ungefähr um (-10 · 0{,}01=-0{,}10).

Das Minuszeichen bei (f_y(1,2)) bedeutet: Eine kleine Erhöhung von (y) senkt den Funktionswert an dieser Stelle.

6. Beispiel 2: Partielle Ableitungen mit Produkt- und Kettenregel

Gegeben ist

$$g(x,y)=x\,e^{xy}.$$

Nach (x) ableiten

Beim Ableiten nach (x) sind sowohl der Faktor (x) als auch der Exponent (xy) von (x) abhängig. Daher werden Produkt- und Kettenregel verwendet:

$$\begin{aligned} g_x(x,y) &=1\cdot e^{xy}+x\cdot e^{xy}\cdot y\\ &=e^{xy}+xy\,e^{xy}\\ &=\boxed{e^{xy}(1+xy)}. \end{aligned}$$

Nach (y) ableiten

Beim Ableiten nach (y) ist der äußere Faktor (x) konstant:

$$\begin{aligned} g_y(x,y) &=x\cdot e^{xy}\cdot x\\ &=\boxed{x^2e^{xy}}. \end{aligned}$$

Am Punkt ((1,0)) auswerten

Weil ($e^{0}$=1), folgt:

$$\begin{aligned} g_x(1,0)&=e^0(1+1\cdot0)=1,\\ g_y(1,0)&=1^2e^0=1. \end{aligned}$$

Dieses Beispiel zeigt: Auch bei partiellen Ableitungen bleiben Produkt-, Quotienten- und Kettenregel gültig.

7. Der Gradient als Sammlung der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen können zu einem Vektor zusammengefasst werden:

$$\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} f_x(x,y)\\ f_y(x,y) \end{pmatrix}.$$

Für Beispiel 1 gilt am Punkt ((1,2)):

$$\nabla f(1,2) = \begin{pmatrix} 13\\ -10 \end{pmatrix}.$$

Der Gradient sammelt die Empfindlichkeiten gegenüber den einzelnen Eingangsgrößen. Für die folgenden Fehlerrechnungen werden genau diese Komponenten gebraucht.

8. Totales Differential aufstellen

Ändern sich (x) und (y) gleichzeitig um kleine Beträge (dx) und (dy), dann wird die Änderung von (f) durch das totale Differential angenähert:

$$\boxed{ df = \underbrace{f_x(x,y)\,dx}_{\text{Beitrag der Änderung von }x} + \underbrace{f_y(x,y)\,dy}_{\text{Beitrag der Änderung von }y} }.$$

Für kleine endliche Änderungen schreibt man oft

$$\Delta f\approx df.$$

Das Zeichen „$\approx$“ ist wichtig: Das totale Differential ist im Allgemeinen eine lineare Näherung, nicht die exakte Änderung.

Für eine Funktion mit drei Variablen gilt entsprechend:

$$df=f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz.$$

9. Beispiel 3: Gerichtete Änderung eines Rechtecks

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist

$$A(l,b)=l\cdot b.$$

Gegeben sind

$$l=12\,\mathrm{cm}, \qquad b=8\,\mathrm{cm}.$$

Die Länge wächst um

$$dl=+0{,}10\,\mathrm{cm},$$

die Breite sinkt gleichzeitig um

$$db=-0{,}05\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 1: Partielle Ableitungen bilden

$$A_l(l,b)=b, \qquad A_b(l,b)=l.$$

Schritt 2: Am Ausgangspunkt auswerten

$$A_l(12,8)=8, \qquad A_b(12,8)=12.$$

Schritt 3: Totales Differential aufstellen

$$dA=A_l\,dl+A_b\,db.$$

Schritt 4: Werte einsetzen

$$\begin{aligned} dA &=8\cdot0{,}10+12\cdot(-0{,}05)\\ &=0{,}80-0{,}60\\ &=\boxed{0{,}20\,\mathrm{cm}^2}. \end{aligned}$$

Die Fläche nimmt näherungsweise um (0{,}20,\mathrm{cm}^2) zu.

Schritt 5: Mit der exakten Änderung kontrollieren

Der ursprüngliche Flächeninhalt ist

$$A_0=12\cdot8=96\,\mathrm{cm}^2.$$

Der neue Flächeninhalt ist

$$\begin{aligned} A_1 &=(12+0{,}10)(8-0{,}05)\\ &=12{,}10\cdot7{,}95\\ &=96{,}195\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Also ist die exakte Änderung

$$\Delta A=A_1-A_0=0{,}195\,\mathrm{cm}^2.$$

Die lineare Näherung (0{,}20,\mathrm{cm}^2) liegt sehr nahe am exakten Wert. Der kleine Unterschied entsteht durch das Produkt (dl · db), das im linearen Differential nicht enthalten ist.

10. Gerichtete Änderung und maximalen Fehler unterscheiden

Bei einer bekannten Änderung werden die Vorzeichen verwendet:

$$df=f_x\,dx+f_y\,dy.$$

Positive und negative Beiträge können einander teilweise aufheben.

Bei Messfehlern kennt man die tatsächliche Richtung meistens nicht. Man weiß nur zum Beispiel

$$|\Delta x|\leq \delta x, \qquad |\Delta y|\leq \delta y.$$

Für eine sichere lineare Obergrenze werden deshalb die Beträge aller Beiträge addiert:

$$\boxed{ \delta f_{\max} \approx |f_x(x,y)|\,\delta x + |f_y(x,y)|\,\delta y }.$$

Ohne Beträge könnten sich Fehlerbeiträge rechnerisch aufheben. Für eine maximale Fehlergrenze wäre das nicht sicher.

11. Beispiel 4: Maximaler Flächenfehler eines Rechtecks

Ein Rechteck wird gemessen mit

$$l=(12{,}00\pm0{,}10)\,\mathrm{cm}, \qquad b=(8{,}00\pm0{,}05)\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist eine lineare Abschätzung des maximalen Fehlers von

$$A(l,b)=l\cdot b.$$

Schritt 1: Nennwert berechnen

$$A=12\cdot8=96\,\mathrm{cm}^2.$$

Schritt 2: Partielle Ableitungen bilden

$$A_l=b, \qquad A_b=l.$$

Schritt 3: Am Nennpunkt auswerten

$$A_l(12,8)=8\,\mathrm{cm}, \qquad A_b(12,8)=12\,\mathrm{cm}.$$

Die Einheiten sind sinnvoll: Ableitung von Fläche nach Länge ergibt wieder eine Länge.

Schritt 4: Maximale Fehlerbeiträge berechnen

$$\begin{aligned} \text{Beitrag von }l &=|A_l|\,\delta l\\ &=8\cdot0{,}10\\ &=0{,}80\,\mathrm{cm}^2,\\[4pt] \text{Beitrag von }b &=|A_b|\,\delta b\\ &=12\cdot0{,}05\\ &=0{,}60\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Schritt 5: Beiträge addieren

$$\begin{aligned} \delta A_{\max} &\approx0{,}80+0{,}60\\ &=\boxed{1{,}40\,\mathrm{cm}^2}. \end{aligned}$$

Schritt 6: Ergebnis als Intervall und relativen Fehler angeben

$$A\approx(96{,}0\pm1{,}4)\,\mathrm{cm}^2.$$

Das zugehörige Näherungsintervall lautet

$$[94{,}6;97{,}4],\mathrm{cm}^2.$$

Der relative Fehler ist

$$\begin{aligned} \delta A_{\mathrm{rel}} &\approx\frac{1{,}4}{96}\\ &\approx0{,}0146\\ &\approx\boxed{1{,}46\,\%}. \end{aligned}$$

12. Beispiel 5: Fehlerfortpflanzung beim Zylindervolumen

Für einen Zylinder gilt

$$V(r,h)=\pi r^2h.$$

Gemessen werden

$$r=(5{,}00\pm0{,}02)\,\mathrm{cm}, \qquad h=(10{,}00\pm0{,}05)\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 1: Nennvolumen berechnen

$$\begin{aligned} V &=\pi\cdot5^2\cdot10\\ &=250\pi\\ &\approx785{,}40\,\mathrm{cm}^3. \end{aligned}$$

Schritt 2: Partielle Ableitungen bilden

$$V_r(r,h)=2\pi rh, \qquad V_h(r,h)=\pi r^2.$$

Schritt 3: Am Nennpunkt auswerten

$$\begin{aligned} V_r(5,10) &=2\pi\cdot5\cdot10\\ &=100\pi\,\mathrm{cm}^2,\\[4pt] V_h(5,10) &=\pi\cdot5^2\\ &=25\pi\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Schritt 4: Maximale Fehlerbeiträge berechnen

$$\begin{aligned} |V_r|\,\delta r &=100\pi\cdot0{,}02\\ &=2\pi\,\mathrm{cm}^3,\\[4pt] |V_h|\,\delta h &=25\pi\cdot0{,}05\\ &=1{,}25\pi\,\mathrm{cm}^3. \end{aligned}$$

Schritt 5: Beiträge addieren

$$\begin{aligned} \delta V_{\max} &\approx2\pi+1{,}25\pi\\ &=3{,}25\pi\\ &\approx\boxed{10{,}21\,\mathrm{cm}^3}. \end{aligned}$$

Schritt 6: Relativen Fehler bestimmen

$$\begin{aligned} \delta V_{\mathrm{rel}} &\approx\frac{3{,}25\pi}{250\pi}\\ &=0{,}013\\ &=\boxed{1{,}30\,\%}. \end{aligned}$$

Damit kann das Ergebnis sinnvoll als

$$\boxed{V\approx(785{,}4\pm10{,}2)\,\mathrm{cm}^3}$$

angegeben werden.

Einfluss der Eingangsfehler vergleichen

Der Radius trägt (2\pi\approx6{,}28,\mathrm{cm}^3) bei, die Höhe (1{,}25\pi\approx3{,}93,\mathrm{cm}^3). In diesem Beispiel hat also die Unsicherheit des Radius den größeren Einfluss.

Das passt zur Formel (V=\pi r^2h): Der Radius geht quadratisch ein, die Höhe nur linear.

13. Warum das Verfahren nur eine Näherung ist

Das totale Differential verwendet die Tangentialebene der Funktion am Nennpunkt. Eine gekrümmte Fläche wird in der Nähe dieses Punktes durch eine Ebene ersetzt.

Die Näherung ist besonders gut, wenn

• die Eingangsänderungen klein sind,
• die Funktion in der Umgebung glatt ist,
• die partiellen Ableitungen dort nicht stark schwanken.

Bei großen Unsicherheiten oder stark gekrümmten Funktionen kann die lineare Abschätzung ungenau werden. Dann sollte man zusätzlich Randwerte direkt einsetzen oder ein genaueres Verfahren verwenden.

14. Einheiten als Fehlerkontrolle

Jeder Summand des totalen Differentials muss dieselbe Einheit wie der Funktionswert besitzen.

Für (A(l,b)) gilt zum Beispiel:

$$\underbrace{A_l}_{\mathrm{cm}} \cdot \underbrace{dl}_{\mathrm{cm}} = \underbrace{dA}_{\mathrm{cm}^2}.$$

Für (V(r,h)) gilt:

$$\underbrace{V_r}_{\mathrm{cm}^2} \cdot \underbrace{dr}_{\mathrm{cm}} = \underbrace{dV}_{\mathrm{cm}^3}.$$

Wenn zwei Fehlerbeiträge nicht dieselbe Einheit besitzen, wurden Formel, Ableitung oder Einheiten falsch eingesetzt.

15. Berechnung mit Technologie

Ein Computer-Algebra-System kann partielle Ableitungen bilden und Werte einsetzen. Der Lösungsweg muss trotzdem erkennbar bleiben:

1. Funktion und Eingangsgrößen mit Einheiten notieren.
2. Ableitungsvariable auswählen.
3. Andere Variablen ausdrücklich konstant behandeln.
4. Partielle Ableitungen bilden.
5. Nennpunkt erst danach einsetzen.
6. Gerichtete Änderung oder maximale Fehlergrenze korrekt auswählen.
7. Fehlerbeiträge einzeln berechnen.
8. Ergebnis mit Einheit, Rundung und Deutung angeben.

Technologie entscheidet nicht, ob Vorzeichen oder Beträge gebraucht werden. Diese Entscheidung hängt von der Fragestellung ab.

16. Typische Fehler

Fehler 1: Alle Variablen gleichzeitig ableiten

Bei (f_x) werden nur (x)-abhängige Teile abgeleitet. (y) wird festgehalten.

Fehler 2: Einen Term ohne Ableitungsvariable nicht null setzen

Beim Ableiten nach (x) gilt zum Beispiel

$$\frac{\partial}{\partial x}(7y^2)=0.$$

Fehler 3: Punkt zu früh einsetzen

Zuerst die partielle Ableitungsfunktion bilden, dann den Punkt einsetzen. So bleibt der Rechenweg nachvollziehbar.

Fehler 4: Exakte Änderung behaupten

Im Allgemeinen gilt nur

$$\Delta f\approx df.$$

Fehler 5: Bei maximalen Fehlern Vorzeichen verwenden

Für eine sichere lineare Obergrenze werden die Beträge der Fehlerbeiträge addiert.

Fehler 6: Absoluten und relativen Fehler verwechseln

Der absolute Fehler hat dieselbe Einheit wie das Ergebnis. Der relative Fehler ist einheitslos und kann in Prozent angegeben werden.

Fehler 7: Einheit vergessen

Ein Fehlerwert ohne Einheit ist bei Messgrößen unvollständig.

17. Arbeitspläne

Partielle Ableitung bilden

1. Ableitungsvariable markieren.
2. Alle anderen Variablen als Konstanten behandeln.
3. Jeden Term einzeln ableiten.
4. Ergebnis zusammenfassen.
5. Erst danach einen Punkt einsetzen.
6. Vorzeichen und Bedeutung der Änderungsrate deuten.

Totales Differential und Fehlerfortpflanzung

1. Modellfunktion und Nennpunkt notieren.
2. Alle benötigten partiellen Ableitungen bilden.
3. Ableitungen am Nennpunkt auswerten.
4. Änderungen oder Fehlergrenzen mit Einheiten notieren.
5. Gerichtete Beiträge mit Vorzeichen oder maximale Beiträge mit Beträgen zusammensetzen.
6. Ergebnis, Einheit, Näherungscharakter und Bedeutung angeben.

Merksätze

• Bei einer partiellen Ableitung verändert sich genau eine Eingangsvariable; alle anderen bleiben fest.
• Eine partielle Ableitung wird zuerst als Funktion gebildet und danach am Punkt ausgewertet.
• Das totale Differential addiert die linearen Beiträge kleiner Eingangsänderungen.
• Für bekannte Änderungsrichtungen werden Vorzeichen verwendet.
• Für einen maximalen linearen Messfehler werden die Beträge aller Fehlerbeiträge addiert.
• Der absolute Ergebnisfehler hat die Einheit des Ergebnisses; der relative Fehler ist einheitslos.
• Vollständig ist eine Fehlerrechnung erst mit Nennwert, Fehlergrenze, Einheit und Deutung.