Logarithmische Gleichung in eine Potenzgleichung umformen oder gleiche Logarithmen vergleichen.
Entstehende Gleichung lösen.
Lösung in die Definitionsbedingungen einsetzen.
Nur zulässige Lösungen angeben.
43. Vorgehensplan: Exponentialgleichung mit Logarithmen
Gegeben:
akx=b.
Exponentialterm isolieren.
Prüfen, ob die rechte Seite positiv ist.
Beide Seiten logarithmieren.
Potenzregel anwenden:
ln(akx)=kxlna.
Nach x auflösen.
Ergebnis näherungsweise berechnen.
Probe durchführen.
44. Vorgehensplan: komplexere Exponentialgleichung mit Technologie
Gleichung vollständig erfassen.
Entscheiden, ob eine direkte algebraische Auflösung möglich ist.
Falls nicht, Gleichung als Nullstellen- oder Schnittpunktproblem formulieren.
Geeigneten Suchbereich festlegen.
Elektronisches Hilfsmittel verwenden.
Alle gefundenen Lösungen notieren.
Jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung prüfen.
Genauigkeit passend angeben.
45. Zusammenfassung
Logarithmusfunktion
f(x)=logb(x)
mit
b>0,b=1.
Definitionsmenge
Df=(0,∞).
Bei
f(x)=logb(g(x))
gilt:
g(x)>0.
Grundpunkt
(1∣0)
Asymptote der Grundfunktion
x=0.
Logarithmusgleichung
logb(x)=c⟺x=bc.
Exponentialgleichung
akx=b
führt durch Logarithmieren zu:
x=klnalnb.
Merke:
Bei Logarithmen muss das Argument positiv sein.
Bei Exponentialgleichungen mit unbekanntem Exponenten machen Logarithmen den Exponenten als Faktor zugänglich.
Komplexere Gleichungen dürfen technologieunterstützt gelöst werden, müssen danach aber geprüft werden.
x
5
Argument identifizieren
Den gesamten Ausdruck innerhalb des Logarithmus als Argument erkennen.
6
Funktion korrekt benennen
Die als Logarithmusfunktion einordnen und die wesentlichen Bestandteile angeben.
FA 7.1 - Graph einer Logarithmusfunktion skizzieren
Aus einer geeigneten Logarithmusfunktionsgleichung einen typischen Graphen skizzieren.
1
Definitionsbereich bestimmen
Die Bedingung für ein positives Logarithmusargument lösen.
2
Asymptote bestimmen
Die Grenze des Definitionsbereichs als senkrechte Asymptote identifizieren.
3
Charakteristischen Punkt bestimmen
Bei der Grundfunktion insbesondere (1|0), bei Verschiebungen den entsprechend verschobenen Punkt verwenden.
4
Weitere Stützpunkte berechnen
Geeignete Argumentwerte wie b, 1 und 1/b nutzen.
5
Monotonie berücksichtigen
Aus Basis und gegebenen erkennen, ob der Graph steigt oder fällt.
6
Graph skizzieren
Asymptote und Punkte zu einem typischen logarithmischen Verlauf verbinden.
FA 7.1 - Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion bestimmen
Für eine gegebene Logarithmusfunktion die mathematisch zulässige Definitionsmenge bestimmen.
1
Logarithmusargument markieren
Den vollständigen Ausdruck innerhalb des Logarithmus bestimmen.
2
Positivitätsbedingung aufstellen
Argument > 0 formulieren.
3
Ungleichung lösen
Die entstehende Ungleichung vollständig nach x lösen.
4
Vorzeichenregeln beachten
Beim Dividieren durch negative Zahlen das Ungleichheitszeichen umdrehen.
5
Intervall angeben
Die zulässigen x-Werte als oder Mengenbedingung notieren.
6
Randwerte ausschließen
Werte mit Argument = 0 ausdrücklich nicht in den Definitionsbereich aufnehmen.
FA 7.1 - Logarithmusfunktion charakterisieren
Typische Eigenschaften einer Logarithmusfunktion beschreiben.
1
Definitionsmenge angeben
Für die Grundfunktion D=(0,∞) beziehungsweise den transformierten Bereich bestimmen.
2
Wertemenge angeben
Die Wertemenge einer nichtdegenerierten Logarithmusfunktion als R erkennen.
3
Nullstelle beziehungsweise Bezugspunkt bestimmen
Bei der Grundfunktion log_b(1)=0 verwenden.
4
Asymptote beschreiben
Die senkrechte Asymptote aus dem Argument bestimmen.
5
Monotonie beschreiben
Bei b > 1 steigenden und bei 0 < b < 1 fallenden Grundgraphen erkennen.
6
Eigenschaften zusammenführen
Die charakteristischen Eigenschaften in einer vollständigen Beschreibung des Graphen verbinden.
FA 7.1 - Parameter einer Logarithmusfunktion deuten
Den Einfluss gegebener auf den Graphen einer Logarithmusfunktion beschreiben.
1
Grundform lesen
Die in a·log_b(x-d)+e identifizieren.
2
Basis deuten
Mit b die grundlegende Wachstums- beziehungsweise Fallrichtung des Logarithmusgraphen verbinden.
3
Parameter a deuten
Vertikale Streckung oder Stauchung und bei negativem a eine Spiegelung an der x-Achse erkennen.
4
Parameter d deuten
Horizontale Verschiebung und neue senkrechte Asymptote x=d bestimmen.
5
Parameter e deuten
Vertikale Verschiebung des gesamten Graphen beschreiben.
6
Gesamtwirkung beschreiben
Alle Parameterwirkungen gemeinsam auf den Verlauf des Graphen übertragen.
FA 7.1 - Logarithmusgleichung lösen
Eine einfache Logarithmusgleichung unter Beachtung des Definitionsbereichs lösen.
1
Definitionsbedingungen bestimmen
Für jedes Logarithmusargument die Bedingung > 0 aufstellen.
2
Logarithmusterm isolieren
Die möglichst in eine einfache logarithmische Form bringen.
3
In Potenzform umwandeln
log_b(u)=c als u=bc schreiben oder bei gleichen Logarithmen die Argumente vergleichen.
4
Entstehende Gleichung lösen
Die algebraische nach x auflösen.
5
Definitionsbereich prüfen
Jede erhaltene Lösung auf positive Logarithmusargumente kontrollieren.
6
Lösungsmenge angeben
Nur tatsächlich zulässige Lösungen notieren.
FA 7.1 - Exponentialgleichung mit Logarithmen lösen
Exponentialgleichungen der Form a^(k·x)=b mithilfe des Logarithmus nach x auflösen.
1
Exponentialterm isolieren
Die zunächst in die Form a^(k·x)=b bringen.
2
Voraussetzungen prüfen
Auf positive Basis, Basis ungleich 1 und positive rechte Seite achten.
3
Beide Seiten logarithmieren
Auf beiden Seiten denselben geeigneten Logarithmus anwenden.
4
Exponent herunterholen
Mit der Potenzregel k·x·ln(a)=ln(b) erhalten.
5
Nach x auflösen
Durch k·ln(a) dividieren und x bestimmen.
6
Ergebnis prüfen
Die berechnete Lösung in die ursprüngliche Exponentialgleichung einsetzen.
FA 7.1 - Komplexere Exponentialgleichung technologieunterstützt lösen
Komplexere Exponentialgleichungen mit einem geeigneten technologischen Hilfsmittel lösen und die Lösung prüfen.
1
Algebraische Lösbarkeit beurteilen
Prüfen, ob x durch elementare Umformungen und Logarithmieren isoliert werden kann.
2
Numerisches Problem formulieren
Die als Nullstellenproblem h(x)=0 oder als Schnittpunkt zweier darstellen.
3
Suchbereich wählen
Einen mathematisch und gegebenenfalls sachlich sinnvollen Bereich für die Lösung festlegen.
4
Technologisches Hilfsmittel verwenden
Solver, Nullstellenwerkzeug oder Graphenschnittpunkt zur numerischen Bestimmung einsetzen.
5
Alle Lösungen erfassen
Prüfen, ob im betrachteten Bereich weitere Lösungen vorhanden sind.
6
Numerische Lösung prüfen
Jede gefundene Näherung in die ursprüngliche einsetzen und passend runden.
