Grundrechenarten, Klammern und Rechenregeln

Die vier Grundrechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Bei längeren Rechnungen ist nicht nur das Rechnen selbst wichtig. Entscheidend ist auch, welcher Schritt zuerst ausgeführt werden darf.

Eine Division durch null ist nicht erlaubt.

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1. Die Rechenreihenfolge

Die Reihenfolge lautet:

1. Klammern,
2. Potenzen,
3. Punktrechnungen $\cdot$ und $:$,
4. Strichrechnungen $+$ und $-$.

Bei Rechenarten derselben Stufe wird von links nach rechts gerechnet.

Einfaches Beispiel

$$\begin{aligned} 8+3\cdot4 &=8+12 &&\text{Multiplikation vor Addition}\\ &=20. \end{aligned}$$

Die Rechnung $8+3=11$ darf nicht zuerst ausgeführt werden.

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2. Eine längere Rechnung Schritt für Schritt

Zu berechnen ist:

$$18-3\cdot(5-2)^2:9.$$

Schritt 1: Klammer

$$\begin{aligned} 18-3\cdot(5-2)^2:9 &=18-3\cdot3^2:9. \end{aligned}$$

Schritt 2: Potenz

$$\begin{aligned} 18-3\cdot3^2:9 &=18-3\cdot9:9. \end{aligned}$$

Schritt 3: Punktrechnungen von links nach rechts

$$\begin{aligned} 18-3\cdot9:9 &=18-27:9 \\ &=18-3. \end{aligned}$$

Schritt 4: Strichrechnung

$$\begin{aligned} 18-3 &=15. \end{aligned}$$

Damit gilt:

$$18-3\cdot(5-2)^2:9=15.$$

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3. Plus oder Minus vor einer Klammer

Plus vor der Klammer

Steht ein Plus vor der Klammer, bleiben die Vorzeichen in der Klammer unverändert.

$$\begin{aligned} 7+(3-5) &=7+3-5 &&\text{Klammer nach einem Plus entfernen}\\ &=10-5 \\ &=5. \end{aligned}$$

Minus vor der Klammer

Steht ein Minus vor der Klammer, wird jedes Vorzeichen in der Klammer geändert.

$$\begin{aligned} 12-(4-7+2) &=12-4+7-2 &&\text{jedes Vorzeichen in der Klammer ändern}\\ &=8+7-2 \\ &=15-2 \\ &=13. \end{aligned}$$

Achtung: Bei einem Minus vor der Klammer müssen alle Vorzeichen in der Klammer geändert werden.

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4. Das Distributivgesetz

Steht ein Faktor vor einer Klammer, wird dieser Faktor mit jedem Glied in der Klammer multipliziert.

$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$$

Beispiel mit zwei positiven Gliedern

$$\begin{aligned} 5\cdot(x+3) &=5\cdot x+5\cdot3 &&\text{Faktor auf beide Glieder verteilen}\\ &=5x+15. \end{aligned}$$

Beispiel mit Vorzeichen

$$\begin{aligned} -2\cdot(3x-4) &=(-2)\cdot3x+(-2)\cdot(-4) &&\text{Faktor auf beide Glieder verteilen}\\ &=-6x+8. \end{aligned}$$

Das positive $8$ entsteht, weil zwei negative Faktoren ein positives Produkt ergeben.

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5. Klammerregeln unterscheiden

Die folgenden Rechnungen sehen ähnlich aus, verwenden aber unterschiedliche Regeln.

Minus vor der Klammer

$$\begin{aligned} -(x-4) &=-x+4. \end{aligned}$$

Das Minus kann als Faktor $-1$ verstanden werden:

$$-(x-4)=(-1)\cdot(x-4).$$

Zahl vor der Klammer

$$\begin{aligned} 3\cdot(x-4) &=3x-12. \end{aligned}$$

Hier wird jedes Glied mit $3$ multipliziert.

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6. Rechengesetze für geschicktes Rechnen

Vertauschungsgesetz

Bei Addition und Multiplikation darf die Reihenfolge vertauscht werden:

$$a+b=b+a, \qquad a\cdot b=b\cdot a.$$

Verbindungsgesetz

Bei Addition und Multiplikation dürfen Klammern anders gesetzt werden:

$$(a+b)+c=a+(b+c),$$ $$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).$$

Diese Regeln gelten nicht entsprechend für Subtraktion und Division.

Ausführliches Beispiel

$$\begin{aligned} 25\cdot16\cdot4 &=25\cdot4\cdot16 &&\text{Faktoren vertauschen}\\ &=(25\cdot4)\cdot16 &&\text{günstig zusammenfassen}\\ &=100\cdot16 \\ &=1600. \end{aligned}$$

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7. Eine Rechnung mit mehreren Klammern

$$14-\bigl[3+2\cdot(5-7)\bigr]$$

Zuerst wird die innere Klammer berechnet.

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 14-[3+2\cdot (5-7)]}& {\displaystyle =14-[3+2\cdot (-2)]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =14-[3+(-4)]}& {\displaystyle }& {\displaystyle \text{Multiplikation ausf}\ddot{\text{u}}\text{hren}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =14-(-1)}& {\displaystyle }& {\displaystyle \text{Klammerinhalt berechnen}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =14+1}\end{array}$$

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8. Überschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag prüft die Größenordnung.

$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000.$$

Das genaue Ergebnis lautet:

$$\begin{aligned} 49\cdot21 &=49\cdot(20+1) \\ &=980+49 \\ &=1029. \end{aligned}$$

$1029$ liegt nahe bei $1000$. Das Ergebnis ist daher plausibel.

Eine Division kann durch Multiplikation geprüft werden:

$$84:7=12, \qquad 12\cdot7=84.$$

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9. Typische Fehler

• Klammern werden nicht zuerst berechnet.
• Punkt-vor-Strich wird übersehen.
• Bei gleicher Rechenstufe wird nicht von links nach rechts gerechnet.
• Bei einem Minus vor der Klammer wird nur ein Vorzeichen geändert.
• Beim Distributivgesetz wird ein Glied in der Klammer ausgelassen.
• Subtraktion oder Division werden unzulässig vertauscht.

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10. Zusammenfassung

• Klammern kommen vor Potenzen, Potenzen vor Punktrechnungen und Punktrechnungen vor Strichrechnungen.
• Pro Zeile sollte nur der nächste erlaubte Schritt ausgeführt werden.
• Ein Minus vor einer Klammer ändert alle Vorzeichen in der Klammer.
• Beim Distributivgesetz wird der Faktor mit jedem Glied multipliziert.
• Überschlag und Umkehraufgabe helfen bei der Kontrolle.