Differenzen- und Differentialgleichungen

Kompetenzcode: AN 6.3

Bereich: Analysis

Eine Gleichung beschreibt hier nicht nur einen unbekannten Zahlenwert, sondern die Entwicklung einer ganzen Funktion.

• Eine Differenzengleichung beschreibt Änderungen in einzelnen Schritten: (x_0,x_1,x_2,\ldots)
• Eine Differentialgleichung beschreibt eine kontinuierliche Änderung mithilfe von Ableitungen: (y',y'',\ldots)

Leitidee: Zuerst den Gleichungstyp erkennen, dann das passende Lösungsverfahren wählen. Erst danach rechnen.

1. Gleichungstyp und Ordnung erkennen

Eine Differentialgleichung enthält eine unbekannte Funktion (y=y(x)) und mindestens eine ihrer Ableitungen.

Die Ordnung ist die höchste vorkommende Ableitung. Bei (y''+2y'-3y=0) ist sie daher (2).

Vom Text zum Änderungsmodell

Typische Formulierungen werden so übersetzt:

Ein Anfangswert wie (y(0)=100) wählt aus allen möglichen Lösungen genau diejenige aus, die zum betrachteten Prozess gehört.

2. Beispiel 1: Exponentielles Wachstum modellieren und lösen

Eine Bakterienkultur enthält anfangs (200) Zellen. Ihre momentane Wachstumsrate beträgt (30,%) des aktuellen Bestands pro Stunde.

Schritt 1: Größen festlegen

$$y(t)=\text{Anzahl der Zellen nach }t\text{ Stunden}.$$

Die Angabe „(30,%) des aktuellen Bestands“ liefert den Proportionalitätsfaktor

$$k=0{,}30.$$

Schritt 2: Differentialgleichung aufstellen

$$\boxed{y'=0{,}30y}, \qquad y(0)=200.$$

Die Gleichung ist erster Ordnung und separierbar.

Schritt 3: Variablen trennen

Für (y>0) gilt

$$\frac{1}{y}\,dy=0{,}30\,dt.$$

Schritt 4: Beide Seiten integrieren

$$\begin{aligned} \int\frac{1}{y}\,dy &=\int0{,}30\,dt,\\ \ln y&=0{,}30t+C. \end{aligned}$$

Exponentieren ergibt

$$y=Ae^{0{,}30t}$$

mit (A=e^C>0).

Schritt 5: Anfangsbedingung einsetzen

$$200=y(0)=Ae^0=A.$$

Damit lautet die spezielle Lösung

$$\boxed{y(t)=200e^{0{,}30t}}.$$

Schritt 6: Nach zwei Stunden auswerten und deuten

$$\begin{aligned} y(2) &=200e^{0{,}60}\\ &\approx200\cdot1{,}82212\\ &\approx\boxed{364{,}42}. \end{aligned}$$

Das Modell sagt nach zwei Stunden etwa (364) Zellen voraus.

Kontrolle

$$y'(t)=200\cdot0{,}30e^{0{,}30t}=0{,}30y(t).$$

Differentialgleichung und Anfangswert sind erfüllt.

3. Separierbare Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung der Form

$$y'=f(x)g(y)$$

ist separierbar. Man bringt alle (y)-Terme auf eine Seite und alle (x)-Terme auf die andere:

$$\frac{1}{g(y)}\,dy=f(x)\,dx.$$

Dann werden beide Seiten integriert. Dabei sind drei Punkte wichtig:

1. Beim Dividieren durch (g(y)) können konstante Lösungen mit (g(y)=0) verloren gehen. Diese vorher prüfen.
2. Die Integrationskonstante darf nach dem Integrieren auf einer Seite zusammengefasst werden.
3. Die gefundene Lösung wird durch Ableiten kontrolliert.

4. Beispiel 2: Logistisches Wachstum vollständig lösen

Ein Bestand besitzt die Kapazitätsgrenze (1000). Er wächst nach

$$y'=0{,}4y\left(1-\frac{y}{1000}\right), \qquad y(0)=100.$$

Schritt 1: Konstante Lösungen prüfen

Die rechte Seite ist null für

$$y=0 \qquad\text{und}\qquad y=1000.$$

Das sind Gleichgewichtslösungen. Der Anfangswert (100) liegt dazwischen.

Schritt 2: Variablen trennen

$$\frac{1}{y\left(1-\frac{y}{1000}\right)}\,dy=0{,}4\,dt.$$

Da

$$\frac{1}{y\left(1-\frac{y}{1000}\right)} =\frac{1000}{y(1000-y)} =\frac{1}{y}+\frac{1}{1000-y},$$

erhält man

$$\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1000-y}\right)dy=0{,}4\,dt.$$

Schritt 3: Integrieren

Wegen der inneren Ableitung von (1000-y) gilt

$$\begin{aligned} \int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1000-y}\right)dy &=\ln|y|-\ln|1000-y|\\ &=\ln\left|\frac{y}{1000-y}\right|. \end{aligned}$$

Damit

$$\ln\left|\frac{y}{1000-y}\right|=0{,}4t+C.$$

Schritt 4: Nach (y) auflösen

Im betrachteten Bereich (0<y<1000) ist der Quotient positiv. Mit (A=e^C>0) folgt

$$\frac{y}{1000-y}=Ae^{0{,}4t}.$$

Nun schrittweise umformen:

$$\begin{aligned} y&=Ae^{0{,}4t}(1000-y),\\ y+Ae^{0{,}4t}y&=1000Ae^{0{,}4t},\\ y&=\frac{1000Ae^{0{,}4t}}{1+Ae^{0{,}4t}} =\frac{1000}{1+A^{-1}e^{-0{,}4t}}. \end{aligned}$$

Schritt 5: Anfangswert verwenden

$$100=\frac{1000}{1+A^{-1}}.$$

Daraus folgt

$$1+A^{-1}=10, \qquad A^{-1}=9.$$

Die gesuchte Lösung ist

$$\boxed{y(t)=\frac{1000}{1+9e^{-0{,}4t}}}.$$

Schritt 6: Deuten

Für große (t) gilt (e^{-0{,}4t}\to0). Daher

$$\lim_{t\to\infty}y(t)=1000.$$

Der Bestand nähert sich der Kapazitätsgrenze (1000), überschreitet sie im Modell aber nicht.

5. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Die Formelsammlung verwendet die Gestalt

$$\boxed{y'+ay=s(x)}$$

mit konstantem Koeffizienten (a). Die Gesamtlösung besteht aus

$$\boxed{y=y_h+y_p}.$$

• (y_h) löst die homogene Gleichung (y'+ay=0).
• (y_p) ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.

Für eine konstante Störung (s(x)=q) kann man eine konstante partikuläre Lösung (y_p=c) versuchen. Dann ist (y_p'=0).

6. Beispiel 3: Zufluss und proportionaler Abfluss

In einem Behälter gilt

$$y'+0{,}5y=10, \qquad y(0)=4.$$

Schritt 1: Homogene Gleichung lösen

$$y_h'+0{,}5y_h=0.$$

Daraus folgt

$$\boxed{y_h=Ce^{-0{,}5t}}.$$

Schritt 2: Partikuläre Lösung ansetzen

Da die rechte Seite konstant ist, setzen wir (y_p=c). Dann gilt (y_p'=0) und

$$0+0{,}5c=10.$$

Somit

$$\boxed{c=20}.$$

Schritt 3: Allgemeine Lösung bilden

$$y(t)=20+Ce^{-0{,}5t}.$$

Schritt 4: Anfangswert einsetzen

$$4=y(0)=20+C.$$

Also ist (C=-16) und

$$\boxed{y(t)=20-16e^{-0{,}5t}}.$$

Schritt 5: Kontrolle durch Einsetzen

$$y'(t)=8e^{-0{,}5t}.$$

Damit

$$\begin{aligned} y'+0{,}5y &=8e^{-0{,}5t}+0{,}5\left(20-16e^{-0{,}5t}\right)\\ &=8e^{-0{,}5t}+10-8e^{-0{,}5t}\\ &=10. \end{aligned}$$

Schritt 6: Langzeitverhalten deuten

Für (t\to\infty) verschwindet der Exponentialterm. Deshalb

$$\lim_{t\to\infty}y(t)=20.$$

Der Wert (20) ist das Gleichgewicht von Zufluss und Abfluss.

7. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Für

$$\boxed{y''+ay'+by=0}$$

mit konstanten Koeffizienten setzt man (y=e^{rt}). Dann entstehen

$$y'=re^{rt}, \qquad y''=r^2e^{rt}.$$

Nach dem Einsetzen kann (e^{rt}\neq0) ausgeklammert werden:

$$e^{rt}(r^2+ar+b)=0.$$

Die charakteristische Gleichung lautet daher

$$\boxed{r^2+ar+b=0}.$$

Die Art der Wurzeln bestimmt die Lösungsform:

8. Beispiel 4: Zwei verschiedene reelle Wurzeln

Gegeben ist

$$y''-3y'+2y=0, \qquad y(0)=3, \qquad y'(0)=4.$$

Schritt 1: Charakteristische Gleichung aufstellen

$$r^2-3r+2=0.$$

Schritt 2: Wurzeln bestimmen

$$r^2-3r+2=(r-1)(r-2).$$

Also

$$r_1=1, \qquad r_2=2.$$

Schritt 3: Allgemeine Lösung aufstellen

$$y(t)=C_1e^t+C_2e^{2t}.$$

Schritt 4: Ableitung bilden

$$y'(t)=C_1e^t+2C_2e^{2t}.$$

Schritt 5: Anfangsbedingungen einsetzen

Bei (t=0) gilt ($e^{0}$=1):

$$\begin{aligned} C_1+C_2&=3,\\ C_1+2C_2&=4. \end{aligned}$$

Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten liefert

$$C_2=1, \qquad C_1=2.$$

Schritt 6: Ergebnis und Kontrolle

$$\boxed{y(t)=2e^t+e^{2t}}.$$

Da beide Exponentialterme jeweils aus einer charakteristischen Wurzel entstehen, erfüllt die Linearkombination die Differentialgleichung. Zudem sind (y(0)=3) und (y'(0)=4).

9. Beispiel 5: Doppelte reelle Wurzel

Gegeben ist

$$y''-4y'+4y=0, \qquad y(0)=1, \qquad y'(0)=0.$$

Schritt 1: Charakteristische Gleichung lösen

$$r^2-4r+4=(r-2)^2=0.$$

Es gibt die doppelte Wurzel

$$r=2.$$

Schritt 2: Passende Lösungsform wählen

Bei einer doppelten Wurzel braucht man den zusätzlichen Faktor (t):

$$y(t)=(C_1+C_2t)e^{2t}.$$

Schritt 3: Erste Anfangsbedingung einsetzen

$$y(0)=C_1=1.$$

Schritt 4: Ableiten

Mit der Produktregel:

$$\begin{aligned} y'(t) &=C_2e^{2t}+2(C_1+C_2t)e^{2t}\\ &=(C_2+2C_1+2C_2t)e^{2t}. \end{aligned}$$

Schritt 5: Zweite Anfangsbedingung einsetzen

$$0=y'(0)=C_2+2C_1.$$

Mit (C_1=1) folgt

$$C_2=-2.$$

Schritt 6: Ergebnis

$$\boxed{y(t)=(1-2t)e^{2t}}.$$

Der Faktor (t) ist nicht optional: Ohne ihn gäbe es bei der doppelten Wurzel nur eine statt zwei unabhängiger Lösungen.

10. Beispiel 6: Komplex konjugierte Wurzeln

Gegeben ist

$$y''+4y=0, \qquad y(0)=2, \qquad y'(0)=-4.$$

Schritt 1: Charakteristische Gleichung lösen

$$r^2+4=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2=-4 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm2i.$$

Hier sind (alpha=0) und (eta=2).

Schritt 2: Reelle Lösungsform aufstellen

$$y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t).$$

Schritt 3: Erste Anfangsbedingung einsetzen

$$2=y(0)=C_1\cos0+C_2\sin0=C_1.$$

Also (C_1=2).

Schritt 4: Ableitung bilden

$$y'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t).$$

Schritt 5: Zweite Anfangsbedingung einsetzen

$$-4=y'(0)=2C_2.$$

Daher (C_2=-2).

Schritt 6: Ergebnis deuten

$$\boxed{y(t)=2\cos(2t)-2\sin(2t)}.$$

Die Lösung schwingt periodisch. Weil (alpha=0), besitzt sie weder exponentielle Dämpfung noch exponentielles Anwachsen.

11. Numerische Lösung mit dem Euler-Verfahren

Nicht jedes Anfangswertproblem lässt sich einfach analytisch lösen. Für

$$y'=f(t,y), \qquad y(t_0)=y_0$$

verwendet das explizite Euler-Verfahren die Rekursion

$$\boxed{ t_{n+1}=t_n+h, \qquad y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n) }.$$

Der aktuelle Funktionswert und die aktuelle Steigung bestimmen also den nächsten Näherungspunkt. Ein kleineres (h) liefert gewöhnlich eine bessere Näherung, benötigt aber mehr Schritte.

12. Beispiel 7: Euler-Verfahren schrittweise

Wir nähern die Lösung von

$$y'=y, \qquad y(0)=1$$

bis (t=1) mit (h=0{,}25) an.

Schritt 1: Rekursion einsetzen

Da (f(t,y)=y), gilt

$$y_{n+1}=y_n+0{,}25y_n=1{,}25y_n.$$

Schritt 2: Ersten Schritt berechnen

$$\begin{aligned} t_1&=0+0{,}25=0{,}25,\\ y_1&=1+0{,}25\cdot1=1{,}25. \end{aligned}$$

Schritt 3: Weitere Schritte berechnen

$$\begin{aligned} y_2&=1{,}25+0{,}25\cdot1{,}25=1{,}5625,\\ y_3&=1{,}5625+0{,}25\cdot1{,}5625=1{,}953125,\\ y_4&=1{,}953125+0{,}25\cdot1{,}953125=2{,}44140625. \end{aligned}$$

Schritt 4: Mit der exakten Lösung vergleichen

Die exakte Lösung ist (y(t)=e^t). Daher

$$y(1)=e\approx2{,}718282.$$

Die absolute Abweichung beträgt

$$\begin{aligned} |2{,}718282-2{,}441406| &\approx\boxed{0{,}276876}. \end{aligned}$$

Die Euler-Näherung liegt hier unter dem exakten Wert, weil die wachsende, nach oben gekrümmte Exponentialkurve durch Tangentenstücke angenähert wird.

13. Beispiel 8: Diskretes und kontinuierliches Wachstum vergleichen

Ein Kapital von (100) wächst pro Zeitschritt um (10,%).

Diskretes Modell

$$x_{n+1}=1{,}1x_n, \qquad x_0=100.$$

Schrittweise:

$$\begin{aligned} x_1&=1{,}1\cdot100=110,\\ x_2&=1{,}1\cdot110=121,\\ x_3&=1{,}1\cdot121=133{,}1. \end{aligned}$$

Explizit gilt

$$\boxed{x_n=100\cdot1{,}1^n}.$$

Kontinuierliches Modell mit denselben ganzzahligen Werten

Gesucht ist (y'=ky) mit (y(0)=100) und (y(1)=110). Die Lösung hat die Form

$$y(t)=100e^{kt}.$$

Aus (y(1)=110) folgt

$$\begin{aligned} 110&=100e^k,\\ 1{,}1&=e^k,\\ k&=\ln(1{,}1). \end{aligned}$$

Damit

$$\boxed{y(t)=100e^{\ln(1{,}1)t}=100\cdot1{,}1^t}.$$

Für ganzzahlige (t=n) stimmen beide Modelle überein. Dazwischen liefert nur das kontinuierliche Modell Werte.

Wichtig: (10,%) pro diskretem Schritt entspricht der kontinuierlichen Rate (ln(1{,}1)\approx0{,}09531), nicht exakt (0{,}1).

14. Technologie sinnvoll einsetzen

Ein CAS oder numerisches Werkzeug kann Lösungen prüfen und Anfangswertprobleme approximieren. Der mathematische Weg sollte trotzdem zeigen:

1. Welche Größe ist unbekannt?
2. Ist das Modell diskret oder kontinuierlich?
3. Welche Ordnung und welcher Gleichungstyp liegen vor?
4. Welches Lösungsverfahren passt?
5. Welche Anfangsbedingungen müssen eingesetzt werden?
6. Wie wird das Ergebnis im Kontext gedeutet?

Bei einer numerischen Lösung gehören außerdem Schrittweite, Startpunkt und verwendetes Verfahren zur Antwort.

15. Häufige Fehler

Fehler 1: Differenz und Ableitung verwechseln

(x_{n+1}-x_n) ist eine Änderung pro Schritt. (y'(t)) ist eine momentane kontinuierliche Änderungsrate.

Fehler 2: Beim Trennen eine Gleichgewichtslösung verlieren

Vor dem Dividieren durch (g(y)) immer (g(y)=0) prüfen.

Fehler 3: Integrationskonstante vergessen

Nach dem unbestimmten Integrieren muss eine Konstante auftreten. Die Anfangsbedingung bestimmt sie.

Fehler 4: Bei (y=y_h+y_p) nur den homogenen Teil berechnen

Eine inhomogene Gleichung benötigt zusätzlich eine partikuläre Lösung.

Fehler 5: Doppelte Wurzel wie zwei verschiedene Wurzeln behandeln

Bei (r_1=r_2=r) lautet die Lösung ((C_1+C_2t)e^{rt}).

Fehler 6: Komplexe Wurzeln nicht in reelle Schwingungsform übersetzen

Aus (alpha\pm i\beta) entstehen (e^{\alpha t}\cos(\beta t)) und (e^{\alpha t}\sin(\beta t)).

Fehler 7: Beim Euler-Verfahren die neue Steigung zu früh verwenden

Beim expliziten Euler-Verfahren wird (f(t_n,y_n)) verwendet, nicht (f(t_{n+1},y_{n+1})).

16. Lösungswege auf einen Blick

Separierbare Gleichung

1. Gleichgewichtslösungen prüfen.
2. (y)- und (x)-Terme trennen.
3. Beide Seiten integrieren.
4. Nach (y) auflösen.
5. Anfangsbedingung einsetzen.
6. Durch Ableiten und Einsetzen kontrollieren.

Lineare Gleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

1. Form (y'+ay=s(x)) erkennen.
2. Homogene Lösung (y_h) bestimmen.
3. Passenden Ansatz für (y_p) wählen.
4. (y=y_h+y_p) bilden.
5. Anfangsbedingung einsetzen.
6. Gleichung und Kontext kontrollieren.

Homogene lineare Gleichung zweiter Ordnung

1. Charakteristische Gleichung aufstellen.
2. Wurzeln berechnen.
3. Wurzelfall unterscheiden.
4. Allgemeine Lösung aufstellen.
5. Ableitung bilden und zwei Anfangsbedingungen einsetzen.
6. Differentialgleichung und Anfangswerte kontrollieren.

17. Merksätze

• Eine Differenzengleichung modelliert schrittweise, eine Differentialgleichung kontinuierlich.
• Die höchste Ableitung bestimmt die Ordnung.
• Variablentrennung ist nur zulässig, wenn die Terme tatsächlich getrennt werden können.
• Anfangsbedingungen bestimmen die freien Konstanten.
• Bei linearen Gleichungen erster Ordnung gilt (y=y_h+y_p).
• Bei linearen homogenen Gleichungen zweiter Ordnung entscheidet die charakteristische Gleichung über die Lösungsform.
• Das Euler-Verfahren ersetzt die Lösungskurve schrittweise durch Tangentenstücke.
• Jede Lösung sollte durch Einsetzen, Anfangswerte, Einheit und Kontext geprüft werden.