1. Die Form einer linearen Funktion

Eine lineare Funktion hat die Form

Dabei gilt:

Aus dem Vorzeichen von $k$ folgt:

• $k>0$: Die Gerade steigt.
• $k<0$: Die Gerade fällt.
• $k=0$: Die Gerade ist waagrecht.

2. Funktionswerte aus einer Gleichung ermitteln

Gegeben ist

Gesucht ist der Funktionswert an der Stelle $x=4$.

Schritt 1: Den gegebenen Wert einsetzen

Schritt 2: Multiplikation berechnen

Schritt 3: Ergebnis berechnen

Das zugehörige Wertepaar lautet

Merke: Ein Funktionswert ist eine Zahl. Ein Wertepaar besteht aus Eingabe und Ausgabe.

Negative Eingabewerte

Bei $x=-2$ muss der eingesetzte Wert geklammert werden:

Das Wertepaar lautet $(-2\mid-8)$.

3. Einen Argumentwert zu einem Funktionswert bestimmen

Gegeben ist wieder

Gesucht ist jener $x$-Wert, für den $f(x)=10$ gilt.

Schritt 1: Funktionswert einsetzen

Schritt 2: Gleichung lösen

Also gehört zum Funktionswert $10$ der Argumentwert $x=4$.

Probe

4. Wertepaare prüfen

Liegt der Punkt $P=(2\mid7)$ auf dem Graphen von

Wir setzen die $x$-Koordinate ein:

Der berechnete Funktionswert stimmt mit der $y$-Koordinate überein. Daher liegt $P$ auf dem Graphen.

Punktprobe: Ein Punkt $(x\mid y)$ liegt auf dem Graphen, wenn $f(x)=y$ gilt.

5. $k$ und $d$ aus einer Gleichung ablesen

Ist die Gleichung bereits in der Form $f(x)=kx+d$ gegeben, können die Parameter direkt abgelesen werden.

Beispiel 1

Daher gilt:

Beispiel 2: Fehlender konstanter Term

Das kann als $g(x)=4x+0$ geschrieben werden. Somit gilt

Beispiel 3: Konstante Funktion

Daher ist

6. Gleichungen zuerst ordnen und vereinfachen

Die Parameter dürfen erst abgelesen werden, wenn die Gleichung vollständig in der Form $f(x)=kx+d$ steht.

Beispiel 1: Reihenfolge ändern

Damit gilt

Beispiel 2: Klammern auflösen

Somit gilt

Typischer Fehler: Bei $f(x)=6-3x$ ist $k=-3$, nicht $3$.

7. $k$ aus zwei Punkten bestimmen

Für zwei verschiedene Punkte

gilt

Beispiel

Gegeben sind

Dann ist

Die Gerade steigt also pro $x$-Einheit um $2$.

Wichtig: Zähler und Nenner müssen in derselben Punktreihenfolge gebildet werden.

8. $d$ mit einem Punkt berechnen

Nach der Bestimmung von $k$ setzen wir einen bekannten Punkt in

ein.

Für $k=2$ und den Punkt $P_1=(1\mid3)$ gilt:

Damit lautet die Funktionsgleichung

Probe mit dem zweiten Punkt

Der zweite Punkt wird korrekt getroffen.

9. Parameter aus einer Tabelle bestimmen

Fall A: $x=0$ ist enthalten

Die Funktionswerte steigen bei jedem $x$-Schritt um $3$. Daher ist

Außerdem kann direkt abgelesen werden:

Somit gilt

Fall B: $x=0$ fehlt

Zuerst bestimmen wir $k$:

Dann setzen wir den Punkt $(2\mid7)$ ein:

Daher lautet die Gleichung

10. Parameter aus einem Graphen bestimmen

$d$ ablesen

$d$ ist der Funktionswert bei $x=0$. Im Graphen ist das der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

$k$ bestimmen

1. Zwei gut ablesbare Punkte auf der Geraden auswählen.
2. Die Achsenskalierung prüfen.
3. $\Delta y$ und $\Delta x$ bestimmen.
4. Den Quotienten berechnen:

Beispiel

Eine Gerade verläuft durch $(0\mid-1)$ und $(3\mid5)$.

Aus $(0\mid-1)$ folgt direkt

Die Gleichung lautet

Achtung: Kästchen zählen genügt nur dann, wenn die Skalierung beider Achsen bekannt ist.

11. Parameter im Kontext deuten

Ein Taximodell lautet

Dabei ist $x$ die gefahrene Strecke in Kilometern und $K(x)$ der Preis in Euro.

Bedeutung von $k=2{,}4$

Pro zusätzlich gefahrenem Kilometer steigen die Kosten um $2{,}40\,€$.

Bedeutung von $d=5$

Bei $x=0$ beträgt der Preis $5\,€$. Das ist die Grundgebühr.

Einheit von $k$: Ausgabe-Einheit pro Eingabe-Einheit.

12. Ergebnisse kontrollieren

Kontrolle eines Funktionswertes

• Eingabewert noch einmal einsetzen.
• Rechenreihenfolge und Vorzeichen prüfen.
• Wertepaar mit Tabelle oder Graph vergleichen.

Kontrolle von $k$ und $d$

• Beide bekannten Punkte in die gefundene Gleichung einsetzen.
• $d=f(0)$ überprüfen.
• Vorzeichen von $k$ mit der Richtung der Geraden vergleichen.
• Einheiten im Kontext prüfen.

13. Typische Fehler

• $x$-Wert und Funktionswert verwechseln.
• Einen negativen Eingabewert ohne Klammern einsetzen.
• Bei der Punktprobe nur die $x$-Koordinate betrachten.
• $k$ und $d$ vertauschen.
• Das Minuszeichen von $k$ übersehen.
• Zähler und Nenner beim Differenzenquotienten in verschiedener Reihenfolge bilden.
• Die Achsenskalierung im Graphen ignorieren.
• $d$ aus einem Punkt mit $x\neq0$ direkt ablesen.
• Parameter ohne Einheit oder Kontextdeutung angeben.
• Eine Gleichung nicht vollständig vereinfachen, bevor $k$ und $d$ abgelesen werden.

14. Arbeitsplan

Funktionswert bestimmen

1. $x$-Wert einsetzen.
2. Negative Werte klammern.
3. Schrittweise berechnen.
4. Wertepaar angeben.
5. Plausibilität prüfen.

$k$ und $d$ bestimmen

1. Darstellung erkennen: Gleichung, Tabelle oder Graph.
2. Gleichung gegebenenfalls vereinfachen.
3. Zwei geeignete Punkte auswählen.
4. $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ berechnen.
5. $d$ ablesen oder mit einem Punkt berechnen.
6. Funktionsgleichung angeben.
7. Mit einem zweiten Punkt kontrollieren.
8. $k$ und $d$ im Kontext mit Einheiten deuten.

1. 1

   Form kx+d herstellen

   x-Term zuerst und konstanten Term danach schreiben.

2. 2

   Klammern auflösen

   Distributivgesetz korrekt anwenden.

3. 3

   Gleichartige Terme zusammenfassen

   Die lineare Gleichung vollständig vereinfachen.

4. 4

   k ablesen

   Koeffizient einschließlich Vorzeichen als Steigung bestimmen.

5. 5

   d ablesen

   Konstanten Term als f(0) und y-Achsenabschnitt bestimmen.

Tutorregel

Zuerst händisch rechnen und deuten, danach technologisch kontrollieren.