Untersuche, was erste und zweite Ableitung über den Verlauf einer Funktion aussagen.
Monotonie am Graphen
Definition
x1<x2⇒f(x1)<f(x2)
Wichtig
„Monoton steigend“ bedeutet nicht, dass der Graph an jeder Stelle tatsächlich steigen muss. Waagrechte Abschnitte sind erlaubt.
Monotonie
f′(x)>0⇒f steigt
Extremstelle
f′(x)=0 mit Vorzeichenwechsel
Wendestelle
f′′(x)=0 mit Krümmungswechsel
Merke: Die erste beschreibt Steigen und Fallen sowie Extremstellen. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung. Bei Monotonie muss außerdem zwischen monoton und streng monoton unterschieden werden.
Interaktiv: Funktionswert, Steigung und Krümmung
Die Beispiel-Funktion lautet f(x) = x⁴ - 4x². Sie besitzt Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich die Vorzeichen von f(x), f'(x) und f''(x) ändern.
x = 1,10
Achte besonders auf die Werte, bei denen eines der Kästchen den Zustand = 0 anzeigt. Dort können Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen liegen.
f(x)< 0
f(x) = -3,38
Funktionswert
Punkt liegt unterhalb der x-Achse.
f'(x)< 0
f'(x) = -3,48
Steigung der Tangente
Der Graph fällt.
f''(x)> 0
f''(x) = 6,52
Krümmung
Der Graph ist linksgekrümmt.
So kannst du die Kästchen lesen:
f(x) zeigt, ob der Punkt auf, über oder unter der x-Achse liegt.
f'(x) zeigt, ob der Graph steigt oder fällt.
f''(x) zeigt, ob der Graph links- oder rechtsgekrümmt ist.
Funktionseigenschaften mit beschreiben
Kompetenzcode: AN 3.3 Bereich: Analysis
Leitidee: Mit f(x), f′(x) und kann man verschiedene Eigenschaften derselben beschreiben.
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AN 3.3 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern
Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1
Aufgabenart erkennen
Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2
Gegebene Größen markieren
Notiere Werte, , Einheiten und Bedingungen übersichtlich.
3
Begriffe erklären
Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4
Voraussetzungen prüfen
Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5
Zielgröße festlegen
Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6
Passende Darstellung wählen
Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, oder Skizze.
Digitales Werkzeug
GeoGebra
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra-Übersicht: AN 3.3 – Funktionseigenschaften mit beschreiben
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht
Befehl
Syntax
Verwendung
Beispiel
Ansicht
Voraussetzung
Ableitung
Ableitung(f)
Ableitungsgraph erzeugen
Ableitung(f)
CAS/Grafik
Differenzierbare
Integral
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Für Ableitungen verwenden wir ausschließlich die Strichschreibweise:
f′(x),f′′(x),f′′′(x).
2. Dieselbe Funktion aus drei Blickwinkeln
Zu einer Funktion kann man verschiedene Eigenschaften festhalten. Dabei haben f(x), f′(x) und f′′(x) unterschiedliche Bedeutungen.
Ausdruck
Was beschreibt er?
Wenn der Wert =0 ist
f(x)
den , also die Höhe des Graphen
Dann liegt eine Nullstelle vor.
f′(x)
die Steigung der Tangente
Dann liegt eine waagrechte Tangente vor. Das ist ein Kandidat für eine Extremstelle.
f′′(x)
die Krümmung beziehungsweise wie sich die Steigung verändert
Dann liegt ein Kandidat für eine Wendestelle vor.
Wichtig: Bei f′(x)=0 und f′′(x)=0 muss zusätzlich geprüft werden, ob wirklich ein Vorzeichenwechsel oder Krümmungswechsel vorliegt.
Stelle und Punkt unterscheiden
Eine Extremstelle ist eine x-Koordinate:
xE.
Der zugehörige Extrempunkt enthält beide Koordinaten:
E=(xE∣f(xE)).
Entsprechend unterscheiden wir die Wendestelle xW und den Wendepunkt
W=(xW∣f(xW)).
Interaktiv im Webtheorieteil
Im Webtheorieteil gibt es unterhalb dieses Abschnitts einen kleinen Regler. Dort verschiebst du den aktuellen x-Wert einer Funktion. Daneben siehst du in drei Kästchen, ob gerade
f(x) positiv, negativ oder null ist,
f′(x) positiv, negativ oder null ist,
f′′(x) positiv, negativ oder null ist.
So erkennt man direkt, wie Funktionswert, Steigung und Krümmung zusammenhängen.
3. Monotonie mit f′
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung des Graphen.
Vorzeichen von f′
Verhalten von f
f′(x)>0
f ist im betrachteten Intervall steigend
f′(x)<0
f ist im betrachteten Intervall fallend
f′(x)=0
f hat an dieser Stelle eine waagrechte Tangente
Wichtig: Monotonie wird auf Intervallen angegeben. Ein einzelner Wert f′(x0) beschreibt nur die Steigung an einer Stelle.
Beispiel
Für
f(x)=x3−3x
gilt
f′(x)=3x2−3.
Nun wollen wir herausfinden, in welchen Intervallen f steigt oder fällt. Dafür brauchen wir das Vorzeichen von f′. Dieses Vorzeichen kann sich nur an einer Nullstelle von f′ ändern. Deshalb bestimmen wir zuerst die Nullstellen von f′.
Für eine quadratische Gleichung
ax2+bx+c=0
verwenden wir die abc-Lösungsformel:
x1,2=2a−b±b2−4ac.
Bei
3x2−3=0
gilt
a=3,b=0,c=−3.
Einsetzen ergibt:
x1,2=2⋅3−0±02−4⋅3⋅(−3)
Damit sind die Nullstellen von f′:
x1=−1,x2=1.
Diese beiden Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle. In jedem Intervall setzen wir einen einfachen Testwert in f′ ein:
Intervall
Testwert
Ableitungswert
Vorzeichen von f′
Verhalten von f
x<−1
x=−2
f′(−2)=3⋅4−3=9
+
steigend
−1<x<1
x=0
f
x>1
x=2
f
Also ist f
steigend auf (−∞;−1),
fallend auf (−1;1),
steigend auf (1;∞).
4. Lokale Extremstellen
Zuerst bestimmst du die Kandidaten:
f′(xE)=0.
Eine Nullstelle von f′ ist aber noch kein sicherer Extrempunkt.
Vorzeichenwechselkriterium
f′ wechselt von + nach −: lokales Maximum,
f′ wechselt von − nach +: lokales Minimum,
kein Vorzeichenwechsel: keine Extremstelle.
Kriterium mit der zweiten Ableitung
Gilt bereits f′(xE)=0, dann gilt:
f′′(xE)>0⇒lokales Minimum,
f′′(xE)<0⇒lokales Maximum.
Bei
f′′(xE)=0
ist dieses Kriterium nicht entscheidend. Dann musst du das Vorzeichen von f′ untersuchen.
Beispiel: Extremstelle und Extrempunkt
Für
f(x)=x2−4x+1
gilt
f′(x)=2x−4.
Aus f′(x)=0 folgt xE=2. Wegen f′′(x)=2>0 liegt ein Minimum vor.
Die Extremstelle ist
xE=2.
Der Tiefpunkt ist
T=(2∣−3).
5. Krümmung mit f′′
Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung verändert.
Vorzeichen von f′′
Bedeutung
f′′(x)>0
Die Steigung nimmt zu; f ist linksgekrümmt beziehungsweise konvex
f′′(x)<0
Die Steigung nimmt ab; f ist rechtsgekrümmt beziehungsweise konkav
Eine Funktion kann dabei gleichzeitig fallen und linksgekrümmt sein.
Beispiel:
f′(x)<0,f′′(x)>0.
Dann fällt f, aber die Steigung wird größer und nähert sich möglicherweise 0. Der Graph fällt also immer flacher.
6. Wendestellen
Zuerst bestimmst du Kandidaten:
f′′(xW)=0.
Für eine Wendestelle muss sich die Krümmung tatsächlich ändern. Deshalb prüfst du, ob f′′ das Vorzeichen wechselt.
f′′ wechselt von − nach +: rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt,
f′′ wechselt von + nach −: linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt.
Bei geeigneten Funktionen kann auch dieses hinreichende Kriterium verwendet werden:
f′′(xW)=0,f′′′(xW)=0.
Beispiel: Wendepunkt mit waagrechter Tangente
Für
f(x)=x3
gilt
f′(x)=3x2,f′′(x)=6x.
Bei x=0 wechselt f′′ von negativ zu positiv. Daher liegt die Wendestelle
xW=0
vor. Der Wendepunkt ist
W=(0∣0).
Da zusätzlich f′(0)=0 gilt, besitzt der Wendepunkt eine waagrechte Tangente.
Gegenbeispiel
Für
f(x)=x4
gilt
f′′(x)=12x2.
Zwar ist f′′(0)=0, aber f′′ wechselt nicht das Vorzeichen. Daher liegt bei x=0 keine Wendestelle vor.
7. Die NEW-Regel als Treppe
NEW bedeutet:
Nullstelle,
Extremstelle,
Wendestelle.
Die Merkregel wird treppenförmig aufgeschrieben:
f(x) N E W
f'(x) N E W
f''(x) N E W
Spaltenweise lesen
Die Extremstelle von f steht in derselben Spalte wie die Nullstelle von f′.
Die Wendestelle von f steht in derselben Spalte wie die Extremstelle von f′ und die Nullstelle von f′′.
Die Wendestelle von f′ steht in derselben Spalte wie die Extremstelle von f′′.
Achtung: Die NEW-Treppe ist eine Merk- und Kontrollhilfe. Vorzeichenwechsel und Krümmungswechsel müssen trotzdem geprüft werden.
8. Vollständiges Beispiel
Gegeben ist
f(x)=x3−3x.
1. Ableitungen
f′(x)=3x2−3,
f′′(x)=6x.
2. Monotonie und Extrema
Wir bestimmen zuerst die Nullstellen von f′, weil sich das Vorzeichen von f′ nur dort ändern kann. Die Gleichung
3x2−3=0
lösen wir mit der abc-Lösungsformel. Es gilt
a=3,b=0,c=−3,
also
x1,2=2⋅3−0±02−4⋅3⋅(−3)
Damit erhalten wir
x1=−1,x2=1.
Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle. Wir wählen je einen Testwert:
Für x<−1: f′(−2)=9>0, also steigt f.
Für −1<x<1: f′(0)=−3<0, also fällt .
Für x>1: f′(2)=9>0, also steigt f.
Somit ist f
steigend auf (−∞;−1),
fallend auf (−1;1),
steigend auf (1;∞).
Bei x=−1 wechselt f′ von positiv zu negativ. Dort liegt ein Hochpunkt. Bei x=1 wechselt f′ von negativ zu positiv. Dort liegt ein Tiefpunkt.
Daher gilt:
H=(−1∣2),
T=(1∣−2).
3. Krümmung und Wendepunkt
Aus
f′′(x)=0
folgt x=0.
Für x<0 ist f′′(x)<0, für x>0 ist f′′(x)>0.
Damit ist f
rechtsgekrümmt auf (−∞;0),
linksgekrümmt auf (0;∞).
Der Wendepunkt lautet:
W=(0∣0).
4. NEW-Kontrolle
Die Extremstellen von f sind Nullstellen von f′.
Die Wendestelle von f ist eine Extremstelle von f′ und eine Nullstelle von f′′.
9. Sichere Vorgehensweise
Definitionsbereich beachten.
f′(x) und f′′(x) bestimmen.
Nullstellen von f′ berechnen.
Vorzeichen von f′ prüfen und Monotonieintervalle angeben.
Extremstellen klassifizieren und Funktionswerte berechnen.
Nullstellen von f′′ berechnen.
Vorzeichen von f′′ prüfen und Krümmungsintervalle angeben.
Wendestellen bestätigen und Funktionswerte berechnen.
Ergebnis mit der NEW-Treppe kontrollieren.
10. Typische Fehler
Nullstelle von f′ sofort als Extremstelle gewertet: Vorzeichenwechsel oder zweite Ableitung prüfen.
f′′(xE)=0 als Gegenbeweis verwendet: Das Kriterium ist dann nur nicht entscheidend.
f′′(xW)=0 als ausreichende Begründung verwendet: Krümmungswechsel prüfen.
Stelle und Punkt verwechselt:xE ist eine Zahl, E=(xE∣ ein Punkt.
Monotonie ohne Intervall angegeben: Steigen und Fallen gelten auf Bereichen.
