Diskrete dynamische Systeme

Kompetenzcode: FA 8.3

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Ein diskretes dynamisches System beschreibt einen Zustand $x_n$, der sich in einzelnen Zeitschritten verändert:

$$x_{n+1}=f(x_n),\qquad x_0\text{ gegeben}.$$

Der Explorer zeigt Zustandsfolgen und Gleichgewicht. Die Theorie erklärt, wie das Modell aus einem Text entsteht und wie Stabilität rechnerisch beurteilt wird.

1. Prozess erkennen und Zustandsgleichung aufstellen

Beispiel 1: Bestand mit Zu- und Abnahme

Ein Speicher enthält anfangs $100$ Einheiten. Pro Tag bleiben $80\,\%$ erhalten, danach kommen $15$ Einheiten hinzu. Mit $x_n$ als Bestand nach $n$ Tagen gilt

$$x_0=100,\qquad x_{n+1}=0{,}8x_n+15.$$

Die Reihenfolge ist im Modell enthalten: zuerst proportionaler Rest, dann konstanter Zugang.

Beispiel 2: Änderungsregel übersetzen

Eine Population wächst pro Periode um $6\,\%$, gleichzeitig werden $40$ Individuen entnommen. Daher

$$x_{n+1}=1{,}06x_n-40.$$

Der Faktor $1{,}06$ beschreibt den alten Bestand plus Wachstum, $-40$ die konstante Entnahme.

2. Iterativ berechnen

Beispiel 3: Zustände schrittweise bestimmen

Für $x_0=10$ und $x_{n+1}=0{,}6x_n+8$ folgt

$$x_1=14,\quad x_2=16{,}4,\quad x_3=17{,}84,\quad x_4=18{,}704.$$

Jeder neue Wert wird aus dem unmittelbar vorherigen Zustand berechnet.

Beispiel 4: Tabelle statt Kettenfehler

Für $x_{n+1}=1{,}2x_n-5$, $x_0=30$, erhält man

Eine Tabelle hält Index, Zustand und Einheit zusammen und verhindert, dass ein gerundeter Zwischenwert falsch weiterverwendet wird.

3. Gleichgewicht bestimmen

Ein Gleichgewicht $x^*$ ändert sich beim nächsten Schritt nicht. Daher gilt die Fixpunktgleichung

$$x^*=f(x^*).$$

Beispiel 5: Lineares Gleichgewicht

Für $x_{n+1}=0{,}6x_n+8$ gilt

$$x^*=0{,}6x^*+8 \Rightarrow0{,}4x^*=8 \Rightarrow x^*=20.$$

Einsetzen bestätigt $0{,}6\cdot20+8=20$.

Beispiel 6: Kein eindeutiger Fixpunkt

Für $x_{n+1}=x_n+3$ würde $x^*=x^*+3$ verlangt. Das ist unmöglich; es gibt keinen Fixpunkt. Bei ist dagegen jeder Zustand ein Fixpunkt.

4. Lineare Differenzengleichung lösen und Stabilität prüfen

Für

$$x_{n+1}=ax_n+b,\qquad a\ne1,$$

ist $x^*=\frac{b}{1-a}$. Die explizite Lösung lautet

$$\boxed{x_n=x^*+a^n(x_0-x^*)}.$$

Beispiel 7: Explizite Lösung

Für $x_{n+1}=0{,}6x_n+8$, $x_0=10$, ist . Somit

$$x_n=20+0{,}6^n(10-20)=20-10\cdot0{,}6^n.$$

Für $n=3$ ergibt sich $x_3=20-10\cdot0{,}216=17{,}84$, wie bei der Iteration.

Beispiel 8: Stabilität aus dem Parameter

Der Abstand zum Gleichgewicht erfüllt

$$x_n-x^*=a^n(x_0-x^*).$$

Bei $-1<a<0$ nähert sich das System abwechselnd von beiden Seiten dem Gleichgewicht.

Beispiel 9: Instabiles System

Für $x_{n+1}=1{,}1x_n-5$ ist $x^*=50$. Startet man mit , dann

$$x_n=50+1{,}1^n\cdot2.$$

Der Abstand zu $50$ wächst; der Fixpunkt ist instabil. Ein Start genau bei $50$ bliebe trotzdem dort.

5. Diagramme und Modellgrenzen deuten

Beispiel 10: Diskretes Diagramm lesen

Punkte $(0,12),(1,15),(2,16{,}5),(3,17{,}25)$ nähern sich $18$. Die Differenzen zum Wert sind und halbieren sich. Daher passt

$$x_{n+1}=0{,}5x_n+9$$

mit Gleichgewicht $18$. Zwischen den ganzzahligen Zeitpunkten behauptet das diskrete Modell keine Werte.

Beispiel 11: Parameter im Kontext deuten

In $x_{n+1}=0{,}85x_n+30$ bleiben pro Schritt $85\,\%$ des Bestands erhalten, gehen verloren und Einheiten kommen hinzu. Der Gleichgewichtswert ist

$$x^*=\frac{30}{1-0{,}85}=200.$$

Beispiel 12: Mathematisch möglich, sachlich unzulässig

Ein Populationsmodell liefert $x_4=-12$. Die Rechnung kann formal stimmen, aber eine negative Individuenzahl ist sachlich unmöglich. Dann müssen Parameter, Gültigkeitsbereich oder Modellstruktur überprüft werden.

Typische Fehler

• Prozentuale Änderung und konstanter Zugang werden nicht vermischt: $20\,\%$ Verlust bedeutet Faktor $0{,}8$.
• Beim Fixpunkt wird $x_{n+1}=x_n=x^*$ gesetzt, nicht .

Merksätze

• Zustand plus Übergangsregel plus Startwert bestimmen das System.
• Ein Fixpunkt bleibt unter der Übergangsfunktion unverändert.
• Für $x_{n+1}=ax_n+b$ ist $$, falls .