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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Lineare entstehen, wenn zwei Ausdrücke denselben Wert beschreiben und eine unbekannte Größe nur in der ersten Potenz vorkommt.
Arbeitsplan: festlegen → zwei gleichwertige Ausdrücke bilden → Gleichung aufstellen → mit Äquivalenzumformungen lösen → Probe durchführen → Lösung im Kontext deuten.
Eine Gleichung setzt zwei gleich.
Beispiele:
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Eine Sachsituation analysieren, eine definieren und eine passende lineare aufstellen.
Formuliere eindeutig, welche Größe berechnet werden soll.
Lege ein Zeichen fest und ergänze Bedeutung sowie Einheit.
Notiere feste Werte, Werte pro Einheit und vorgegebene Gesamtwerte.
Übersetze Wörter wie insgesamt, pro Stück, mehr als oder weniger als in Rechenoperationen.
Beschreibe dieselbe Größe auf zwei Arten, die später gleichgesetzt werden können.
Verbinde beide gleichwertigen Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen.
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra kann lineare Gleichungen kontrollieren, symbolisch lösen und grafisch darstellen.
Das händische Aufstellen und Begründen der Gleichung bleibt eine eigene mathematische Leistung.
Löse(<Gleichung>, <Variable>)
Löse(3x + 5 = 20, x)
Ergebnis:
{x = 5}
Lösungen(<Gleichung>, <Variable>)
Lösungen(5x + 4 = 2x + 19, x)
Ergebnis:
{5}
LinkeSeite(3x + 5 = 20)
RechteSeite(3x + 5 = 20)
Damit können die beiden Gleichungsseiten getrennt betrachtet werden.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Diese Gleichungen sind linear, weil nur in der ersten Potenz vorkommt.
Nicht linear sind beispielsweise:
Eine häufige Grundform ist:
Für besitzt diese Gleichung genau eine Lösung.
Zentrales Ziel: Eine lineare Gleichung wird aus einem Sachzusammenhang entwickelt, händisch gelöst und anschließend mit Einheit und vollständigem Antwortsatz gedeutet.
Bei einer Sachaufgabe muss zuerst festgelegt werden, wofür die Variable steht.
Eine Gruppe bezahlt Grundgebühr und zusätzlich pro Person. Insgesamt werden bezahlt.
Wir setzen:
Die Gesamtkosten können auf zwei Arten beschrieben werden:
und
Da beide Ausdrücke dieselben Gesamtkosten darstellen, gilt:
Merksatz: Eine Sachgleichung entsteht aus zwei gleichwertigen Beschreibungen derselben Größe.
Eine Gleichung kann als Waage betrachtet werden. Damit die Gleichheit erhalten bleibt, muss auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchgeführt werden.
Aus
folgt zum Beispiel:
Für gilt außerdem:
und
Wichtig: Multiplizieren oder Dividieren ist nur mit einer sicher von null verschiedenen Zahl erlaubt.
Äquivalenzumformungen verändern die Lösungsmenge nicht. Jeder Rechenschritt wird direkt über dem Äquivalenzpfeil angegeben.
Die Schreibweise zeigt gleichzeitig:
Beim Vereinfachen wird der Schritt ebenfalls sichtbar beschriftet:
Gegeben ist:
Zuerst wird auf beiden Seiten subtrahiert. Danach wird durch dividiert:
Gegeben ist:
Zuerst werden die Variablenterme auf einer Seite gesammelt:
Tipp: Wähle die Seite für die Variable so, dass möglichst wenige negative Vorzeichen entstehen.
Beide Wege sind korrekt, weil jeder Schritt eine zulässige Äquivalenzumformung ist.
Der kleinste gemeinsame Nenner ist . Beide Seiten werden mit multipliziert:
Kontrolle: Beim Multiplizieren mit dem gemeinsamen Nenner muss jeder Term der Gleichung berücksichtigt werden.
Nach dem Vereinfachen können genau drei Fälle auftreten.
Damit gilt:
Die Aussage ist falsch. Daher besitzt die Gleichung keine Lösung:
Die Aussage ist immer wahr. Bei der Grundmenge gilt daher:
Merksatz: Ein Widerspruch bedeutet keine Lösung. Eine wahre Identität bedeutet, dass alle Werte der Grundmenge Lösungen sind.
Eine gefundene Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.
Für
und gilt:
Linke und rechte Seite stimmen überein. Die Lösung ist bestätigt.
Wichtig: Die Probe wird mit der ursprünglichen Gleichung durchgeführt, nicht nur mit einer bereits umgeformten Zeile.
Beim Eintrittskartenbeispiel gilt:
Die Rechnung allein ist noch keine vollständige Antwort.
Vollständige Deutung:
Die Gruppe besteht aus acht Personen.
Eine gute Antwort enthält:
Nicht jede mathematische Lösung ist in einer Sachaufgabe sinnvoll.
Normalerweise gilt:
Eine Lösung wie
ist bei einer Personenanzahl nicht zulässig.
Im üblichen Kontext müssen Längen und Zeitspannen nicht negativ sein:
Nach dem Lösen wird geprüft:
Tarif A kostet Grundgebühr und pro Nutzung. Tarif B kostet keine Grundgebühr, aber pro Nutzung.
Wir setzen:
Bei gleichen Gesamtkosten gilt:
Deutung:
Bei fünf Nutzungen kosten beide Tarife gleich viel.
Probe:
Der Umfang eines Rechtecks beträgt . Die Länge ist um größer als die Breite.
Wir setzen:
Dann ist die Länge:
Die Umfangsgleichung lautet:
Lösen:
Die Länge ist:
Deutung:
Das Rechteck ist breit und lang.
Probe mit dem Umfang:
Vor dem Aufstellen muss klar sein, wofür die Variable steht.
Wenn die Länge zweimal vorkommt, muss geschrieben werden:
Falsch wäre:
Richtig ist:
Eine Division ist nur zulässig, wenn der Divisor sicher nicht null ist.
muss in einen vollständigen Satz im Sachzusammenhang übersetzt werden.
Das solltest du können: Lineare Gleichungen aus Sachzusammenhängen aufstellen, jeden Rechenschritt als Äquivalenzumformung sichtbar anschreiben, die drei Lösungsfälle unterscheiden, eine Probe durchführen und die Lösung im Kontext deuten.
Prüfe, ob beide Gleichungsseiten dieselbe Größenart und kompatible Einheiten besitzen.
Setze einen einfachen Wert ein und prüfe, ob die zum Kontext passt.
Eine lineare durch nachvollziehbare Äquivalenzumformungen lösen.
Löse Klammern auf und fasse gleichartige auf jeder Seite zusammen.
Bringe alle mit der gesuchten auf eine Seite.
Bringe alle übrigen Zahlenterme auf die andere Seite.
Fasse die Variablenterme zu einem der Form zusammen.
Dividiere beide Seiten durch , sofern gilt.
Gib die Lösung mit geeigneter Lösungsmenge an.
Setze den Wert in die ursprüngliche ein.
Kontrolliere Vorzeichen, Klammern und Operationen auf beiden Seiten.
Lineare mit Klammern, mehreren Variablentermen oder Bruchtermen strukturiert lösen.
Markiere Klammern, Brüche und Variablenterme auf beiden Seiten.
Wende das Distributivgesetz korrekt an und beachte Minuszeichen vor Klammern.
Multipliziere alle mit einem geeigneten gemeinsamen Nenner.
Fasse gleichartige getrennt auf jeder Seite zusammen.
Bringe alle Variablenterme auf eine Seite und alle Zahlenterme auf die andere.
Dividiere durch den verbleibenden von null verschiedenen .
Prüfe die Lösung in der ursprünglichen , nicht nur in einer Zwischenform.
Zwischen genau einer, keiner und unendlich vielen Lösungen unterscheiden.
Bringe die auf eine möglichst einfache Form.
Bleibt mit , gibt es genau eine Lösung.
Eine falsche Aussage wie bedeutet keine Lösung.
Eine immer wahre Aussage wie bedeutet, dass alle Werte der Grundmenge Lösungen sind.
Verwende , oder die angegebene Grundmenge.
Deute, was der jeweilige Lösungsfall für die Sachsituation bedeutet.
Eine berechnete Lösung mit Einheit, Wertebereich und Antwortsatz sachlich interpretieren.
Wiederhole, wofür die gelöste steht.
Ordne der Lösung die im Kontext vorgesehene Einheit zu.
Prüfe Ganzzahligkeit, Nichtnegativität oder andere sachliche Bedingungen.
Setze die Lösung in die ursprüngliche Situation oder Kostenformel ein.
Schreibe einen vollständigen Satz mit Zahl, Einheit und Bedeutung.
Kontrolliere, ob die Größenordnung realistisch ist.
Nenne gegebenenfalls Bedingungen, unter denen die den Kontext sinnvoll beschreibt.
Eine als linear in einer erkennen.
Prüfe, ob ein Gleichheitszeichen zwei verbindet.
Identifiziere die , hinsichtlich derer Linearität beurteilt wird.
Die darf nach dem Vereinfachen nur in erster Potenz vorkommen.
Produkte von , Variable im Nenner, der Variable oder höhere Potenzen sprechen gegen Linearität.
Eine lineare lässt sich auf die Form ax+b=0 zurückführen.
Nenne die höchste vorkommende Potenz beziehungsweise die lineare Form als Begründung.
Eine lineare mit einer Äquivalenzumformung lösen.
Bestimme, welche einzelne Rechenoperation die noch mit einer Zahl verbindet.
Wähle die inverse Operation, zum Beispiel Addition statt Subtraktion oder Division statt Multiplikation.
Führe dieselbe Operation auf beiden Seiten der aus.
Vereinfache, bis x allein auf einer Seite steht.
Gib den gefundenen Wert als Lösung beziehungsweise Lösungsmenge an.
Setze den Wert in die Ausgangsgleichung ein und prüfe die Gleichheit.
Eine lineare mit mehreren Äquivalenzumformungen lösen.
Fasse zunächst gleichartige auf jeder Seite zusammen.
Bringe konstante Summanden mit Äquivalenzumformungen auf die passende Seite.
Bringe den mit x schrittweise allein auf eine Seite.
Teile zuletzt durch den von 0 verschiedenen von x.
Schreibe den erhaltenen Wert als Lösung beziehungsweise Lösungsmenge.
Kontrolliere die Lösung in der ursprünglichen .
Eine lineare mit auf beiden Seiten lösen.
Markiere alle mit x auf beiden Seiten der .
Subtrahiere beziehungsweise addiere so, dass alle x- auf derselben Seite stehen.
Ordne die Zahlen ohne x auf der anderen Seite.
Fasse die x- und die Konstanten jeweils zusammen.
Isoliere x durch Division, sofern der nicht 0 ist.
Setze den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung ein.
Eine lineare nach dem Auflösen von Klammern lösen.
Markiere alle Klammern und die davor.
Wende das Distributivgesetz auf beide Gleichungsseiten korrekt an.
Achte besonders auf negative vor einer Klammer.
Vereinfache beide Seiten nach dem Ausmultiplizieren.
Führe die nötigen Äquivalenzumformungen aus, bis die isoliert ist.
Prüfe die Lösung in der ursprünglichen mit Klammern.
Eine lineare mit Bruchtermen zweckmäßig lösen.
Bestimme alle vorkommenden Zahlen- beziehungsweise konstanten Nenner.
Wähle ein gemeinsames Vielfaches der Nenner, zweckmäßig meist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Multipliziere beide Seiten der gesamten mit diesem gemeinsamen Vielfachen.
Kürze die Nenner und schreibe die entstehende bruchfreie lineare .
Löse die vereinfachte mit Äquivalenzumformungen.
Setze die Lösung in die ursprüngliche Bruchgleichung ein.
Eine gefundene Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüfen.
Ersetze die in der ursprünglichen durch den gefundenen Wert.
Berechne den Wert der linken Gleichungsseite vollständig.
Berechne den Wert der rechten Gleichungsseite vollständig.
Prüfe, ob beide Ergebnisse gleich sind.
Bei Gleichheit ist der eingesetzte Wert eine Lösung; sonst nicht.
Falls die Probe nicht stimmt, kontrolliere den vorherigen Lösungsweg auf Rechen- oder Vorzeichenfehler.
Eine lineare ohne Lösung erkennen und begründen.
Löse Klammern auf und fasse gleichartige zusammen.
Bringe alle x- auf eine Seite und Konstanten auf die andere.
Fällt die weg und bleibt eine falsche Aussage wie 0=5, ist die unlösbar.
Ein Widerspruch kann von keinem Wert erfüllt werden.
Gib die Lösungsmenge als ∅ an.
Nenne die entstandene falsche Aussage als Grund für „keine Lösung“.
Prüfen, ob eine mathematische Lösung im gegebenen Sachkontext zulässig ist.
Starte mit dem rechnerisch gefundenen Wert.
Bestimme Bedingungen wie Positivität, Ganzzahligkeit, Obergrenzen, Mindestwerte oder physikalische Einschränkungen.
Kontrolliere, ob der Wert zur verlangten Einheit und Größenart passt.
Prüfe jede Sachbedingung einzeln.
Akzeptiere die mathematische Lösung nur, wenn alle Kontextbedingungen erfüllt sind.
Formuliere, warum der Wert im Sachkontext zulässig oder auszuschließen ist.
Ersetze(<Ausdruck>, <Variable>, <Wert>)
Ersetze(3x + 5, x, 5)
Ergebnis:
20
Die Gleichung
kann als Schnittpunkt zweier verstanden werden.
f(x) = 3x + 5
g(x) = 20
Anschließend:
Schnittpunkt(f, g)
Der -Wert des Schnittpunkts ist die Lösung.
A(x) = 10 + 3x
B(x) = 5x
Dann:
Schnittpunkt(A, B)
Der Schnittpunkt zeigt, bei welcher Nutzungsanzahl beide Tarife denselben Preis haben.
Zwei Geraden schneiden sich einmal.
Zwei verschiedene parallele Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
Beide beschreiben dieselbe Gerade.
Wichtig: GeoGebra kann eine Lösung berechnen, aber nicht beurteilen, ob eine Personenanzahl, Länge oder andere Größe im Kontext zulässig ist.