Prismen und Zylinder

Prismen und Zylinder besitzen jeweils zwei gleich große, parallele Flächen. Beim Prisma sind diese Flächen Vielecke, beim Zylinder Kreise. Für beide Körper gilt dieselbe Grundidee: Grundfläche mal Höhe ergibt das Volumen.

Merke: Vor dem Rechnen werden Körperart, Grundfläche, Mantel und Körperhöhe eindeutig bestimmt.

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Prismen, Quader und Würfel erkennen und benennen

Ein gerades Prisma besitzt zwei kongruente, parallele Vielecke. Eine dieser Flächen wird als Grundfläche, die gegenüberliegende als Deckfläche betrachtet. Die übrigen Flächen bilden den Mantel.

Ein Prisma wird nach der Form seiner Grundfläche benannt: Eine dreieckige Grundfläche ergibt ein Dreiecksprisma, eine fünfeckige ein Fünfecksprisma.

Die Zeichen werden so verwendet:

$$\underset{\text{Flächeninhalt der Grundfläche}}{G},\qquad \underset{\text{Flächeninhalt des Mantels}}{M},\qquad \underset{\text{Körperhöhe}}{h},\qquad \underset{\text{Umfang der Grundfläche}}{u_G}.$$

Die Körperhöhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Quader erkennen

Ein Quader ist ein Prisma mit rechteckigen Flächen. Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß; alle Winkel sind rechte Winkel. Seine drei Kantenlängen werden meist mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet.

Würfel erkennen

Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Alle sechs Flächen sind kongruente Quadrate und alle Kanten haben dieselbe Länge $a$.

Merke: Jeder Würfel ist ein Quader und ein Prisma. Nicht jeder Quader ist ein Würfel.

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Volumen und Oberfläche eines Prismas berechnen

Für ein gerades Prisma nennt die Formelsammlung

$$\underset{\text{Volumen}}{V} = \underset{\text{Grundflächeninhalt}}{G} \cdot \underset{\text{Körperhöhe}}{h},$$ $$\underset{\text{Mantelfläche}}{M}=u_G\cdot h, \qquad \underset{\text{Oberfläche}}{O}=2G+M.$$

Beispiel 1: Volumen eines Dreiecksprismas

Die dreieckige Grundfläche hat $g=6\,\mathrm{cm}$ und die zugehörige Dreieckshöhe $h_g=4\,\mathrm{cm}$. Die Körperhöhe beträgt $h=$.

1. Grundfläche berechnen:

$$\begin{aligned} G &=\frac{g\cdot h_g}{2}\\ &=\frac{6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}}{2}\\ &=\frac{24\,\mathrm{cm}^2}{2}\\ &=12\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

2. Volumen berechnen:

$$\begin{aligned} V &=G\cdot h\\ &=12\,\mathrm{cm}^2\cdot10\,\mathrm{cm}\\ &=120\,\mathrm{cm}^3. \end{aligned}$$

Beispiel 2: Oberfläche eines Prismas

Gegeben sind $G=20\,\mathrm{cm}^2$, $u_G=18\,\mathrm{cm}$ und .

1. Mantel berechnen:

$$\begin{aligned} M &=u_G\cdot h\\ &=18\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}\\ &=108\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

2. Zwei Grundflächen berücksichtigen:

$$2G=2\cdot20\,\mathrm{cm}^2=40\,\mathrm{cm}^2.$$

3. Oberfläche berechnen:

$$\begin{aligned} O &=2G+M\\ &=40\,\mathrm{cm}^2+108\,\mathrm{cm}^2\\ &=148\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Achtung: Die Dreieckshöhe $h_g$ gehört zur Grundfläche; die Körperhöhe $h$ verbindet Grund- und Deckfläche.

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Zylinder erkennen und vollständig berechnen

Ein gerader Zylinder besitzt zwei kongruente, parallele Kreisflächen und eine gekrümmte Mantelfläche.

Nach der Formelsammlung gilt

$$\underset{\text{Kreisgrundfläche}}{G}=\pi r^2, \qquad \underset{\text{Volumen}}{V}=\pi r^2\cdot h,$$ $$\underset{\text{Mantelfläche}}{M}=2\pi r\cdot h, \qquad \underset{\text{Oberfläche}}{O}=2\pi r^2+2\pi r\cdot h.$$

Der abgewickelte Mantel ist ein Rechteck. Seine Länge ist der Kreisumfang $2\pi r$, seine Breite die Zylinderhöhe $h$. Deshalb ist $M=(2\pi r)\cdot h$.

Beispiel 1: Volumen

Gegeben sind $r=3\,\mathrm{cm}$ und $h=8\,\mathrm{cm}$.

$$\begin{aligned} V &=\pi r^2\cdot h\\ &=\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2\cdot8\,\mathrm{cm}\\ &=\pi\cdot9\,\mathrm{cm}^2\cdot8\,\mathrm{cm}\\ &=72\pi\,\mathrm{cm}^3\\ &\approx226{,}19\,\mathrm{cm}^3. \end{aligned}$$

Beispiel 2: Oberfläche

Gegeben sind $r=4\,\mathrm{cm}$ und $h=10\,\mathrm{cm}$.

1. Zwei Kreisflächen:

$$\begin{aligned} 2G &=2\pi r^2\\ &=2\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2\\ &=2\pi\cdot16\,\mathrm{cm}^2\\ &=32\pi\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

2. Mantel:

$$\begin{aligned} M &=2\pi r\cdot h\\ &=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot10\,\mathrm{cm}\\ &=80\pi\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

3. Addieren:

$$\begin{aligned} O &=2G+M\\ &=32\pi\,\mathrm{cm}^2+80\pi\,\mathrm{cm}^2\\ &=112\pi\,\mathrm{cm}^2\\ &\approx351{,}86\,\mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

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Typische Fehler

• Eine beliebige Seitenfläche wird als Grundfläche verwendet.
• Die Dreieckshöhe der Grundfläche wird mit der Körperhöhe verwechselt.
• Bei der Oberfläche wird nur eine Grundfläche addiert.
• Mantel und Oberfläche werden verwechselt.
• Beim Zylinder wird der Durchmesser als Radius eingesetzt.
• Für Oberflächen werden Kubikeinheiten oder für Volumen Flächeneinheiten verwendet.

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Das Wichtigste auf einen Blick

• Prisma: $V=G\cdot h$, $M=u_G\cdot h$, $$.