Leitidee: Beim ist x gegeben. Beim Argumentwert ist f(x) gegeben.
1. Funktionswert und Argumentwert unterscheiden
Funktionswert bestimmen
Gegeben ist ein Argument x. Gesucht ist der zugehörige Funktionswert.
x⟶f(x)
Beispiel:
x=2⇒f(2)=5.
Der zugehörige Punkt lautet:
P(2∣5).
Argumentwert bestimmen
Gegeben ist ein Funktionswert y0. Gesucht sind alle Argumentwerte x, für die
f(x)=y0
gilt.
Beispiel:
f(x)=5.
Dazu können kein, ein oder mehrere Argumentwerte gehören.
2. Funktionswerte aus einer Tabelle ablesen
Gegeben ist:
x
−2
−1
0
1
2
f(x)
6
3
2
3
Gesucht ist f(1).
In der Spalte mit
x=1
steht:
f(1)=3.
Arbeitsregel
Den gegebenen x-Wert in der ersten Zeile suchen.
In derselben Spalte den Wert in der zweiten Zeile ablesen.
Das Ergebnis als f(x)=y notieren.
3. Funktionswerte aus einem Graphen ablesen
Gesucht ist zum Beispiel f(2).
Vorgehen
Auf der x-Achse den Wert 2 markieren.
Senkrecht zum Graphen gehen.
Vom Schnittpunkt waagrecht zur y-Achse gehen.
Den Funktionswert ablesen.
x=2⟶senkrecht zum Graphenf(2).
Ein abgelesener Wert ist häufig nur näherungsweise bekannt:
f(2)≈3,4.
4. Funktionswerte aus einer berechnen
Gegeben ist
f(x)=2x3−3x+1.
Gesucht ist f(2).
f(2)=2⋅23−3⋅2+1=2⋅8−6+1=11.
Der zugehörige Punkt lautet:
P(2∣11).
5. Negative Argumente richtig einsetzen
Gegeben ist
f(x)=x2−3x+2.
Gesucht ist f(−2).
f(−2)=(−2)2−3⋅(−2)+2=4+6+2=12.
Wichtig: Negative Argumente werden beim Einsetzen in Klammern geschrieben.
Falsch wäre:
−22.
Denn
−22=−(22)=−4.
Richtig ist:
(−2)2=4.
6. Dezimalzahlen und Brüche einsetzen
Gegeben ist
g(x)=4x2−1.
Dezimalzahl
g(0,5)=4⋅(0,5)2−1=4⋅0,25−1=0.
Bruch
g(21)=4⋅(21)2−1=4⋅
Auch Dezimalzahlen und Brüche werden beim Einsetzen in Klammern geschrieben.
7. Argumentwerte aus einer Tabelle bestimmen
Verwendet wird wieder die Tabelle:
x
−2
−1
0
1
2
f(x)
6
3
2
3
Gesucht sind alle Argumentwerte mit
f(x)=3.
In der zweiten Zeile kommt der Wert 3 zweimal vor.
Die zugehörigen Argumentwerte lauten:
x=−1oderx=1.
Kontrolle: Bei Argumentwertaufgaben müssen alle passenden Spalten berücksichtigt werden.
8. Argumentwerte aus einem Graphen ablesen
Gesucht sind alle Argumentwerte mit
f(x)=4.
Vorgehen
Auf der y-Achse den Wert 4 markieren.
Eine waagrechte Linie zum Graphen denken oder zeichnen.
Alle Schnittpunkte mit dem Graphen bestimmen.
Von jedem Schnittpunkt senkrecht zur x-Achse gehen.
Alle Argumentwerte ablesen.
Eine waagrechte Gerade kann den Graphen
gar nicht,
einmal,
mehrmals
schneiden.
Deshalb kann eine Argumentwertaufgabe keine, eine oder mehrere Lösungen besitzen.
9. Argumentwerte rechnerisch bestimmen
Gegeben ist
f(x)=x2−4.
Gesucht sind alle Argumentwerte mit
f(x)=5.
Zuerst wird der vorgegebene Funktionswert eingesetzt:
x2−4x2x=5/+4=9=±3.
Damit:
x1=−3,x2=3.
Probe
f(−3)=9−4=5
und
f(3)=9−4=5.
10. Allgemeines Vorgehen bei quadratischen Funktionen
Gegeben ist
f(x)=ax2+bx+c.
Gesucht sind die Argumentwerte zu einem Funktionswert y0.
Schritt 1: Zielwert einsetzen
ax2+bx+c=y0.
Schritt 2: Nullform herstellen
ax2+bx+cax2+bx+c−y0=y0/−y0=0.
Schritt 3: Quadratische Gleichung lösen
Mögliche Verfahren:
Faktorisieren,
quadratische Lösungsformel,
CAS bei unhandlichen Zahlen.
Schritt 4: Lösungen prüfen
Jeder gefundene Wert wird in die ursprüngliche Funktion eingesetzt.
11. Keine, eine oder zwei reelle Lösungen
Zwei Lösungen
Eine waagrechte Gerade schneidet eine Parabel in zwei Punkten.
Eine Lösung
Die waagrechte Gerade berührt die Parabel im Scheitelpunkt.
Keine reelle Lösung
Die waagrechte Gerade besitzt keinen Schnittpunkt mit der Parabel.
Rechnerisch zeigt sich das bei der quadratischen Lösungsformel an der Diskriminante.
D=b2−4ac.
D>0: zwei reelle Lösungen
D=0: eine reelle Lösung
D<0: keine reelle Lösung
12. Argumentwerte bei Polynomen höheren Grades
Bei Polynomfunktionen höheren Grades kann die Gleichung
f(x)=y0
mehr als zwei Lösungen besitzen.
Beispiel:
f(x)=x3−4x.
Für einen vorgegebenen Zielwert entsteht eine Gleichung dritten Grades.
Solche Gleichungen können je nach Aufgabe
faktorisiert,
grafisch gelöst,
mit einem CAS gelöst
werden.
CAS-Regel: Das CAS darf den rechenintensiven Lösungsschritt übernehmen. Die Gleichung f(x)=y0, die Auswahl aller Lösungen und die Probe bleiben mathematische Eigenleistung.
13. Werte im Kontext deuten
Beispiel:
h(t)=−0,5t2+4t+1
beschreibt eine Höhe h in Metern nach t Sekunden.
Funktionswert
h(2)=7.
Deutung:
Nach 2 Sekunden beträgt die Höhe 7m.
Argumentwert
h(t)=7.
Deutung:
Gesucht sind alle Zeitpunkte, zu denen die Höhe 7m beträgt.
Im Kontext müssen unzulässige Lösungen ausgeschlossen werden, zum Beispiel negative Zeitwerte.
14. Typische Fehler
Argumentwert und Funktionswert verwechseln.
In einer Tabelle nur die erste passende Spalte berücksichtigen.
Bei einem Graphen nicht alle Schnittpunkte mit y=y0 beachten.
Negative Argumente ohne Klammern einsetzen.
Potenzen vor dem Einsetzen falsch berechnen.
Bei x2=9 nur x=3 statt x=±3 angeben.
Die Gleichung f(x)=y0 nicht auf Nullform bringen.
CAS-Lösungen ungeprüft übernehmen.
Näherungswerte mit = statt mit ≈ notieren.
Im Kontext unzulässige Argumentwerte nicht ausschließen.
15. Arbeitsplan: Funktionswert bestimmen
Darstellung erkennen: Tabelle, Graph oder Gleichung.
Gegebenen Argumentwert x markieren.
In Tabelle oder Graph den zugehörigen Wert ablesen.
In einer Gleichung x mit Klammern einsetzen.
Potenzen berechnen.
Punkt-vor-Strich beachten.
Ergebnis als f(x)=y notieren.
Bei einem Graphen die Ablesegenauigkeit beachten.
Einheit ergänzen.
Ergebnis im Kontext formulieren.
16. Arbeitsplan: Argumentwerte bestimmen
Vorgegebenen Funktionswert y0 markieren.
Gleichung f(x)=y0 formulieren.
In einer Tabelle alle passenden Spalten suchen.
Im Graphen die waagrechte Linie y=y0 verwenden.
Alle Schnittpunkte berücksichtigen.
Bei einer quadratischen Funktion die Nullform herstellen.
Quadratische Gleichung lösen.
Alle Lösungen durch Einsetzen prüfen.
Unzulässige Kontextwerte ausschließen.
Ergebnis vollständig mit „oder“ angeben.
17. Zusammenfassung
Funktionswert
x gegeben⇒f(x) gesucht
Argumentwert
f(x)=y0 gegeben⇒x gesucht
Rechnerisches Vorgehen
f(x)=y0→Nullform→lo¨sen→Probe
Kontrollfrage: Habe ich wirklich die gesuchte Größe bestimmt und alle möglichen Argumentwerte berücksichtigt?
1
Tabellenspalte finden
Gegebenen Wert in der passenden Zeile suchen.
2
Funktionswert ablesen
Senkrecht vom x-Wert zum Graphen gehen.
3
Argumentwerte ablesen
Waagrecht von y=y₀ zum Graphen gehen.
4
Alle Lösungen erfassen
Jeden Schnittpunkt berücksichtigen.
5
Genauigkeit angeben
Exakt oder näherungsweise unterscheiden.
FA 4.3 – Funktionswerte durch Einsetzen berechnen
Argumente korrekt einsetzen, Potenzen und Vorzeichen sicher behandeln und Ergebnisse prüfen.
1
Argument einsetzen
x an jeder Stelle ersetzen.
2
Klammern verwenden
Negative Werte, Brüche und Dezimalzahlen einklammern.
3
Potenzen berechnen
vor Multiplikationen bearbeiten.
4
Term auswerten
Punkt-vor-Strich und Vorzeichen beachten.
5
Punkt notieren
Ergebnis als f(x)=y beziehungsweise (x|y) angeben.
FA 4.3 – Quadratische Argumentwertaufgaben lösen
Zielwert einsetzen, Nullform herstellen, quadratische lösen und alle Ergebnisse prüfen.
1
Zielgleichung aufstellen
f(x)=y₀ formulieren.
2
Nullform bilden
Alle auf eine Seite bringen.
3
Verfahren wählen
Faktorisieren, Lösungsformel oder CAS begründen.
4
Alle Lösungen angeben
Keine, eine oder zwei reelle Lösungen unterscheiden.
5
Probe durchführen
Jeden Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen.
FA 4.3 – Ergebnisse deuten und Fehler vermeiden
Lösungen im Kontext prüfen, Einheiten ergänzen und typische Vorzeichen- oder Vollständigkeitsfehler erkennen.
1
Kontext prüfen
Negative oder sonst unzulässige Werte ausschließen.
2
Einheit ergänzen
Funktions- und Argumenteinheit korrekt verwenden.
3
Näherung kennzeichnen
≈ bei grafisch abgelesenen Werten nutzen.
4
Vollständigkeit prüfen
Alle Argumentwerte und ± beachten.
5
Antwortsatz formulieren
Bedeutung der Lösung verständlich angeben.
FA 4.3 – Funktionswert aus Gleichung berechnen
Den einer Polynomfunktion für ein gegebenes Argument berechnen.
1
Argumentwert notieren
Bestimme den gegebenen Wert x₀.
2
In Funktionsgleichung einsetzen
Ersetze jedes x im Polynom durch x₀.
3
Klammern verwenden
Setze besonders negative Werte vollständig in Klammern.
4
Potenzen berechnen
Berechne zuerst die einzelnen Potenzen.
5
Terme auswerten
Multipliziere mit den und addiere beziehungsweise subtrahiere die .
6
Funktionswert prüfen
Notiere f(x₀) und kontrolliere Vorzeichen und Größenordnung.
FA 4.3 – Argumentwert quadratischer Funktion berechnen
Zu einem gegebenen einer die Argumentwerte rechnerisch bestimmen.
1
Funktionswertgleichung aufstellen
Setze den gegebenen y₀ gleich der .
2
Alles auf eine Seite bringen
Forme die zur quadratischen Gleichung in Standardform um.
3
Geeignetes Lösungsverfahren wählen
Nutze Faktorisieren, quadratische Lösungsformel oder ein anderes passendes Grundverfahren.
4
Argumentwerte berechnen
Bestimme alle reellen Lösungen der quadratischen .
5
Mehrere Lösungen beachten
Zu demselben können bei einer 0, 1 oder 2 reelle Argumentwerte gehören.
6
Lösungen prüfen
Setze die gefundenen x-Werte in die ursprüngliche ein.
FA 4.3 – Wert im Kontext deuten
Einen Funktions- oder Argumentwert einer Polynomfunktion im Sachkontext interpretieren.
1
Mathematischen Wert übernehmen
Notiere den gegebenen oder berechneten Funktions- beziehungsweise Argumentwert.
2
Sachgrößen zuordnen
Kläre die Bedeutung von x und f(x) im Kontext.
3
Einheit ergänzen
Gib dem Wert die passende Einheit.
4
Rolle des Werts bestimmen
Unterscheide, ob der Wert eine Eingabe, einen Modellwert oder eine Lösung zu einem vorgegebenen beschreibt.
5
Sachliche Zulässigkeit prüfen
Beachte mögliche Einschränkungen des Kontextes.
6
Kontextsatz formulieren
Beschreibe die Bedeutung des Werts vollständig und verständlich im Sachzusammenhang.
f(x)=y0
Bei Nullform bilden.
CAS nur für den Lösungsschritt verwenden.
Alle Lösungen durch Einsetzen prüfen.
Graph und Kontext zur Plausibilitätskontrolle nutzen.
Nicht ausreichend
Nur Schnittpunkte anzeigen lassen, ohne ihre Bedeutung zu erklären.
Eine CAS-Lösung ohne Ausgangsgleichung angeben.
Nur eine von mehreren Lösungen übernehmen.
Negative oder sachlich unzulässige Kontextwerte ungeprüft verwenden.
Näherungswerte aus dem Graphen als exakt darstellen.
