Reihen

Kompetenzcode: FA 8.2

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine Folge listet Glieder auf; eine Reihe addiert sie. Die Summe der ersten $n$ Glieder heißt Partialsumme

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k.$$

Der Explorer zeigt, wie sich Partialsummen entwickeln. Entscheidend ist zuerst die Gliederfolge und erst danach die passende Summenformel.

1. Endliche arithmetische Reihen

Für $a_k=a_1+(k-1)d$ gilt

$$S_n=\frac n2(a_1+a_n)=\frac n2\left(2a_1+(n-1)d\right).$$

Beispiel 1: Arithmetische Reihe erkennen

$4+7+10+13+16$ besitzt die konstante Differenz $d=3$. Sie ist eine endliche arithmetische Reihe mit fünf Gliedern.

Beispiel 2: Summe berechnen

$$S_5=\frac52(4+16)=50.$$

Direkte Kontrolle: $4+7+10+13+16=50$.

Beispiel 3: Gliederanzahl bestimmen

Gesucht ist $5+9+13+\cdots+101$. Aus

$$101=5+(n-1)4$$

folgt $n-1=24$, also $n=25$. Daher

$$S_{25}=\frac{25}{2}(5+101)=1325.$$

2. Endliche geometrische Reihen

Für $a_k=a_1q^{k-1}$ und $q\mathrm{\ne }$ gilt

$$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Beide Schreibweisen sind gleichwertig; Zähler und Nenner müssen gemeinsam gewählt werden.

Beispiel 4: Geometrische Reihe erkennen

$3+6+12+24+48$ besitzt den konstanten Quotienten $q=2$ und $n=5$.

Beispiel 5: Endliche geometrische Summe

$$S_5=3\frac{2^5-1}{2-1}=3\cdot31=93.$$

Beispiel 6: Quotient zwischen null und eins

Für $8+4+2+1+0{,}5$ sind $a_1=8$, und . Somit

$$S_5=8\frac{1-0{,}5^5}{1-0{,}5}=15{,}5.$$

3. Unendliche geometrische Reihen

Eine unendliche Reihe wird über ihre Partialsummen verstanden:

$$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}S_n.$$

Für eine geometrische Reihe existiert eine endliche Summe genau dann, wenn $|q|<1$. Dann

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Beispiel 7: Konvergente Reihe

$$12+6+3+1{,}5+\cdots$$

hat $q=0{,}5$. Daher

$$S=\frac{12}{1-0{,}5}=24.$$

Die Summe ist $24$, obwohl kein einzelnes Glied $24$ ist.

Beispiel 8: Wechselnde Vorzeichen

Für $9-3+1-\frac13+\cdots$ gilt $q=-\frac{}{}$. Weil , konvergiert die Reihe und

$$S=\frac{9}{1+\frac13}=\frac{27}{4}=6{,}75.$$

Beispiel 9: Divergente Reihe

$2+3+4{,}5+\cdots$ hat $q=1{,}5$. Wegen $|q|\ge1$ gibt es keine endliche Summe. Die Formel darf nicht verwendet werden.

4. Anwendungen

Beispiel 10: Zurückgelegter Weg

Ein Ball fällt zunächst $10\,\mathrm m$. Nach jedem Bodenkontakt steigt er auf $60\,\%$ der vorherigen Höhe. Der gesamte Weg besteht aus dem ersten Fall sowie allen späteren Auf- und Abwegen:

$$W=10+2(6+3{,}6+2{,}16+\cdots).$$

Die Klammer ist geometrisch mit $a_1=6$ und $q=0{,}6$:

$$W=10+2\cdot\frac{6}{1-0{,}6}=40\,\mathrm m.$$

Beispiel 11: Periodische Dezimalzahl

$0{,}\overline{27}=0{,}27+0{,}0027+0{,}000027+\cdots$. Mit $a_1=0{,}27$ und folgt

$$0{,}\overline{27}=\frac{0{,}27}{0{,}99}=\frac{27}{99}=\frac3{11}.$$

Beispiel 12: Fehlerabschätzung

Für $5+2{,}5+1{,}25+\cdots$ ist $S=10$. Nach vier Gliedern gilt $S_4=9{,}375$. Der noch fehlende Rest ist

$$10-9{,}375=0{,}625.$$

Typische Fehler

• $a_n$ bezeichnet ein Glied, $S_n$ eine Summe.
• Die Anzahl der Glieder wird aus den Indizes bestimmt und nicht geschätzt.
• Bei der unendlichen Formel muss zuerst $|q|<1$ geprüft werden.

Merksätze

• Reihe bedeutet Addition von Folgengliedern.
• Arithmetische Reihen nutzen erstes und letztes Glied.
• Geometrische Reihen nutzen Anfangsglied, Quotient und Gliederanzahl.
• Eine unendliche geometrische Reihe hat nur für $|q|<1$ eine endliche Summe.