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Exponentielle Zusammenhänge erkennen und darstellen | Lerncoach
FA 5.1
Exponentielle Zusammenhänge erkennen und darstellen Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Passend für
Funktionale Abhängigkeiten 12 Schrittlisten PDF verfügbar
Das solltest du können
Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Formel gegebene exponentielle Zusammenhänge erkennen und zwischen den Darstellungsformen wechseln können.
Interaktive Visualisierung
Addieren oder multiplizieren? Beide Entwicklungen beginnen mit demselben Wert. Die lineare Folge addiert in jedem Schritt denselben Betrag. Die exponentielle Folge multipliziert in jedem Schritt mit demselben Faktor.
0 1 2 3 4 5 6 0 30,75 61,51 92,26 123,02 linear exponentiell Schritt 0 1 2 3 4 5 6 linear 10 15 20 25 30 35 40 exponentiell 10 15 22,5 33,75 50,63 75,94 113,91
Exponentielle Zusammenhänge erkennen und darstellen
Kompetenzcode: FA 5.1Bereich: Funktionale Abhängigkeiten
Exponentielle Zusammenhänge erkennt man daran, dass in gleichen Schritten immer mit demselben Faktor
Leitidee: Linear bedeutet konstantes Addieren. Exponentiell bedeutet konstantes Multiplizieren.
1. Woran erkennt man einen exponentiellen Zusammenhang?
Eine Exponentialfunktion kann in der Form
f ( x ) = a ⋅ b x f(x)=a\cdot b^x f ( x ) = a ⋅ b FA 5.1 – Linear und exponentiell unterscheiden Konstante absolute und konstante relative Änderungen sicher auseinanderhalten.
1 Schrittweite prüfen Nur Werte bei gleichen x-Abständen direkt vergleichen.
2 Differenzen berechnen Konstantes Addieren als lineares Merkmal erkennen.
3 Quotienten berechnen Konstantes Multiplizieren als exponentielles Merkmal erkennen.
4 Textsignal deuten Absolute und prozentuelle Änderung unterscheiden.
5 Entscheidung begründen Nicht nur linear oder exponentiell nennen, sondern das Kriterium angeben.
FA 5.1 – Anfangswert und Faktor bestimmen Die Grundform a mal b hoch x aus Tabellen, Texten und Formeln erkennen.
1 GeoGebra-Übersicht: FA 5.1 – Exponentielle Zusammenhänge erkennen
GeoGebra dient zur Darstellung und Kontrolle. Die Entscheidung linear oder exponentiell soll zunächst mathematisch begründet werden.
Exponentialfunktion darstellen
f(x)=10*1.5^x
Linearen Vergleich darstellen
g(x)=10+5*x
Wachstum und Abnahme vergleichen
f(x)=8*1.3^x
g(x)=8*0.7^x
Exponentialen Trend aus Punkten bestimmen
TrendExp(Liste von Punkten)
Beispiel:
L={(0,10),(1,15),(2,22.5),(3,33.75)}
TrendExp(L)
Wertetabellen erzeugen
Wertetabelle(f,0,6,1)
Geeignete Punkte kontrollieren
A=(0,f(0))
B=(1,f(1))
C=(2,f(2))
Sinnvolle Arbeitsweise
Anfangswert und Faktor
Funktion Wertetabelle mit gleicher Schrittweite erzeugen.
Quotienten prüfen.
Graphform und y-Achsenabschnitt kontrollieren.
Der Faktor
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
x
Dabei gelten im üblichen reellen Modell
a > 0 , b > 0 , b ≠ 1. a>0,\qquad b>0,\qquad b\neq1. a > 0 , b > 0 , b = 1.
Wichtiger Tipp: Im hier behandelten reellen Modell muss der Faktor b b b b = 0 b=0 b = 0 b b b
Typische Erkennungsmerkmale:
Die Variable x x x Exponenten
Bei gleichen x x x
Die relative oder prozentuelle Änderung bleibt konstant.
In einer Wertetabelle ist der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant.
Der Graph ist gekrümmt und keine Gerade.
2. Linear oder exponentiell?
Linearer Zusammenhang Bei gleichen Schritten von x x x Differenz konstant:
f ( x + 1 ) − f ( x ) = d . f(x+1)-f(x)=d. f ( x + 1 ) − f ( x ) = d . 10 , 15 , 20 , 25 , … 10,\ 15,\ 20,\ 25,\dots 10 , 15 , 20 , 25 , … Es wird immer 5 5 5
Exponentieller Zusammenhang Bei gleichen Schritten von x x x Quotient konstant:
f ( x + 1 ) f ( x ) = b . \frac{f(x+1)}{f(x)}=b. f ( x ) f ( x + 1 ) = b . 10 , 15 , 22,5 , 33,75 , … 10,\ 15,\ 22{,}5,\ 33{,}75,\dots 10 , 15 , 22 , 5 , 33 , 75 , … Es wird immer mit 1,5 1{,}5 1 , 5
3. Tabellen systematisch prüfen
Differenzen prüfen 12 − 8 = 4 , 18 − 12 = 6 , 27 − 18 = 9. 12-8=4,\qquad18-12=6,\qquad27-18=9. 12 − 8 = 4 , 18 − 12 = 6 , 27 − 18 = 9. Die Differenzen sind nicht konstant.
Quotienten prüfen 12 8 = 1,5 , 18 12 = 1,5 , 27 18 = 1,5. \frac{12}{8}=1{,}5,\qquad
\frac{18}{12}=1{,}5,\qquad
\frac{27}{18}=1{,}5. 8 12 = 1 , 5 , 12 18 = 1 , 5 , 18 27 = 1 , 5. Die Quotienten sind konstant. Daher liegt ein exponentieller Zusammenhang mit dem Faktor
Quotienten dürfen nur direkt verglichen werden, wenn die x x x
4. Anfangswert und Faktor erkennen f ( x ) = a ⋅ b x f(x)=a\cdot b^x f ( x ) = a ⋅ b x f ( 0 ) = a ⋅ b 0 = a . f(0)=a\cdot b^0=a. f ( 0 ) = a ⋅ b 0 = a . Daher ist a a a x = 0 x=0 x = 0
Der Faktor b b b x x x
f ( x + 1 ) = b ⋅ f ( x ) . f(x+1)=b\cdot f(x). f ( x + 1 ) = b ⋅ f ( x ) .
Beispiel a = 20 , b = 30 20 = 1,5. a=20,\qquad b=\frac{30}{20}=1{,}5. a = 20 , b = 20 30 = 1 , 5. Damit lautet die Funktionsgleichung
f ( x ) = 20 ⋅ 1,5 x . \boxed{f(x)=20\cdot1{,}5^x}. f ( x ) = 20 ⋅ 1 , 5 x .
5. Prozentangaben in Faktoren umwandeln b = 1 + p 100 . b=1+\frac{p}{100}. b = 1 + 100 p . Beispiel: Zunahme um 8 % 8\,\% 8 %
b = 1 + 8 100 = 1,08. b=1+\frac{8}{100}=1{,}08. b = 1 + 100 8 = 1 , 08. b = 1 − p 100 . b=1-\frac{p}{100}. b = 1 − 100 p . Beispiel: Abnahme um 20 % 20\,\% 20 %
b = 1 − 20 100 = 0,8. b=1-\frac{20}{100}=0{,}8. b = 1 − 100 20 = 0 , 8.
Eine Abnahme um 20 % 20\,\% 20 % 80 % 80\,\% 80 % 0,8 0{,}8 0 , 8 0,2 0{,}2 0 , 2
6. Wachstum und Abnahme erkennen
Exponentielles Wachstum Die Funktionswerte werden bei wachsendem x x x
f ( x ) = 5 ⋅ 1,4 x . f(x)=5\cdot1{,}4^x. f ( x ) = 5 ⋅ 1 , 4 x .
Exponentielle Abnahme Die Funktionswerte werden bei wachsendem x x x
g ( x ) = 80 ⋅ 0,75 x . g(x)=80\cdot0{,}75^x. g ( x ) = 80 ⋅ 0 , 7 5 x .
7. Exponentielle Formulierungen in Texten Typische Formulierungen sind:
„wächst jedes Jahr um 6 % 6\,\% 6 %
„nimmt pro Stunde um 15 % 15\,\% 15 %
„verdoppelt sich in jedem Schritt“
„wird pro Zeiteinheit mit 1,2 1{,}2 1 , 2
„es bleiben täglich 90 % 90\,\% 90 %
Nicht exponentiell sind Formulierungen wie:
„jedes Jahr kommen 50 50 50
„pro Stunde sinkt der Wert um 3 3 3
„der Graph ist eine Gerade“
Diese Aussagen beschreiben konstante absolute Änderungen und damit lineare Zusammenhänge.
8. Vom Text zur Formel
Beispiel: Wachstum Eine Bakterienkultur enthält zu Beginn 500 500 500 12 % 12\,\% 12 %
b = 1 + 12 100 = 1,12. b=1+\frac{12}{100}=1{,}12. b = 1 + 100 12 = 1 , 12. N ( t ) = 500 ⋅ 1,12 t . \boxed{N(t)=500\cdot1{,}12^t}. N ( t ) = 500 ⋅ 1 , 1 2 t .
Beispiel: Abnahme Eine Masse beträgt zu Beginn 200 g 200\,\mathrm{g} 200 g 7 % 7\,\% 7 %
a = 200 , b = 1 − 7 100 = 0,93. a=200,\qquad b=1-\frac{7}{100}=0{,}93. a = 200 , b = 1 − 100 7 = 0 , 93. M ( t ) = 200 ⋅ 0,93 t . \boxed{M(t)=200\cdot0{,}93^t}. M ( t ) = 200 ⋅ 0 , 9 3 t .
9. Von der Formel zur Tabelle f ( x ) = 4 ⋅ 2 x . f(x)=4\cdot2^x. f ( x ) = 4 ⋅ 2 x . Die Funktionswerte werden in jedem Schritt mit 2 2 2
10. Vom Graphen zur Beschreibung Ein typischer Exponentialgraph mit a > 0 a>0 a > 0 b > 0 b>0 b > 0
verläuft oberhalb der x x x
schneidet die y y y ( 0 ∣ a ) (0\mid a) ( 0 ∣ a )
ist keine Gerade,
nähert sich in einer Richtung der x x x
wächst bei b > 1 b>1 b > 1
fällt bei 0 < b < 1 0<b<1 0 < b < 1
Der Graph allein zeigt nicht immer sofort den exakten Faktor. Dazu werden geeignete Punkte oder eine Wertetabelle benötigt.
11. Die Schrittweite beachten Sind die x x x 1 1 1
Beispiel Für einen Schritt von 2 2 2
40 10 = 4. \frac{40}{10}=4. 10 40 = 4. Der Faktor pro Einheit erfüllt daher
Im üblichen positiven Modell folgt
Die passende Funktion lautet
f ( x ) = 10 ⋅ 2 x . f(x)=10\cdot2^x. f ( x ) = 10 ⋅ 2 x .
12. Variable im Exponenten oder vor der Variablen?
Exponentiell f ( x ) = 3 ⋅ 2 x . f(x)=3\cdot2^x. f ( x ) = 3 ⋅ 2 x . Die Variable steht im Exponenten.
Linear g ( x ) = 3 ⋅ x + 2. g(x)=3\cdot x+2. g ( x ) = 3 ⋅ x + 2. Die Variable steht nicht im Exponenten. Die Funktion beschreibt eine Gerade.
Potenzfunktion h ( x ) = 3 ⋅ x 2 . h(x)=3\cdot x^2. h ( x ) = 3 ⋅ x 2 . Hier ist die Basis variabel und der Exponent konstant. Das ist keine Exponentialfunktion.
13. Darstellungen wechseln Bei einem Darstellungswechsel bleiben dieselben Informationen erhalten:
Ein guter Darstellungswechsel prüft mindestens einen Wert in beiden Darstellungen.
14. Wann ist die Entscheidung nicht eindeutig? Ein einzelnes Wertepaar reicht nicht aus, um zwischen linear und exponentiell zu unterscheiden.
Auch ein sehr kurzer Graphausschnitt kann nahezu geradlinig aussehen.
Für eine sichere Entscheidung helfen:
mehrere Werte bei gleichen x x x
Differenzen und Quotienten,
eine eindeutige Textaussage,
eine Funktionsgleichung,
ein ausreichend großer Graphbereich.
15. Arbeitsplan
Gegebene Darstellung und Einheiten lesen.
Prüfen, ob die Variable im Exponenten steht.
Bei Tabellen zuerst gleiche x x x
Differenzen berechnen.
Quotienten berechnen.
Konstantes Addieren und konstantes Multiplizieren unterscheiden.
Anfangswert a = f ( 0 ) a=f(0) a = f ( 0 )
Faktor b b b
Wachstum b > 1 b>1 b > 1 0 < b < 1 0<b<1 0 < b < 1
Zwischen Text, Tabelle, Formel und Graph wechseln.
Mindestens einen Wert zur Kontrolle einsetzen.
Ergebnis mit Einheit und Schrittweite formulieren.
16. Typische Fehler
Eine konstante Differenz wird für exponentiell gehalten.
Quotienten werden trotz unterschiedlicher x x x
8 % 8\,\% 8 % 0,08 0{,}08 0 , 08 1,08 1{,}08 1 , 08 Bei 20 % 20\,\% 20 % 0,2 0{,}2 0 , 2 0,8 0{,}8 0 , 8
Der erste Tabellenwert wird immer als a a a x ≠ 0 x\neq0 x = 0
3 x 2 3x^2 3 x 2 3 ⋅ 2 x 3\cdot2^x 3 ⋅ 2 x Aus nur zwei Punkten wird voreilig auf ein Modell geschlossen.
Ein exponentieller Graph wird als Gerade gezeichnet.
Einheit und Schrittweite des Faktors fehlen.
17. Zusammenfassung Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn in gleichen Schritten immer mit demselben Faktor multipliziert wird.
f ( x ) = a ⋅ b x \boxed{f(x)=a\cdot b^x} f ( x ) = a ⋅ b x f ( x + 1 ) f ( x ) = b . \boxed{\frac{f(x+1)}{f(x)}=b}. f ( x ) f ( x + 1 ) = b . b > 1 ⇒ Wachstum , 0 < b < 1 ⇒ Abnahme . \boxed{
\begin{aligned}
b>1 &\Rightarrow \text{Wachstum},\\
0<b<1 &\Rightarrow \text{Abnahme}.
\end{aligned}
} b > 1 0 < b < 1 ⇒ Wachstum , ⇒ Abnahme .
Kontrollfrage: Ist die absolute Änderung konstant oder die relative Änderung?
Grundform erkennen Die Variable Exponenten
2 Anfangswert bestimmen a gleich f von null verwenden.
3 Faktor aus Tabelle Benachbarte Funktionswerte
4 Faktor aus Prozent Zunahme zur eins addieren, Abnahme von der eins abziehen.
5 Modell notieren a und b mit passender Variable
FA 5.1 – Zwischen Darstellungen wechseln Text, Tabelle, Formel und Graph als Darstellungen desselben Zusammenhangs verbinden.
1 Text lesen Anfangswert und Änderungsangabe markieren.
2 Tabelle aufbauen Werte durch wiederholtes Multiplizieren erzeugen.
3 Formel aufstellen a mal b hoch x verwenden.
4 Graph zuordnen y-Achsenabschnitt, Wachstum und Abnahme prüfen.
5 Kontrollwert vergleichen Mindestens einen Punkt in beiden Darstellungen prüfen.
FA 5.1 – Wachstum, Abnahme und Schrittweite deuten Faktoren
1 Faktor mit eins vergleichen Wachstum oder Abnahme bestimmen.
2 Restanteil deuten Abnahmerate und verbleibenden Anteil trennen.
3 Zeiteinheit nennen Den Faktor
4 Größere Schrittweite Aus b hoch Delta x den Faktor
5 Antwortsatz bilden Faktor
FA 5.1 – Ergebnisse kontrollieren und Modellfehler vermeiden Exponentielle Entscheidungen durch mehrere Werte und passende Gegenprüfungen absichern.
1 Alle Quotienten prüfen Nicht nach einem einzigen passenden Verhältnis abbrechen.
2 Zwei Punkte hinterfragen Eine Modellart ist dadurch im Allgemeinen nicht eindeutig.
3 Formeltyp kontrollieren Exponential-, Potenz- und lineare Funktion
4 Graph plausibilisieren Keine Gerade für ein exponentielles Modell zeichnen.
5 Einheiten kontrollieren Startzeitpunkt und Schrittweite müssen zur Formel passen.
FA 5.1 – Exponentialfunktion aus Gleichung erkennen Eine Funktion b x b^{x} b x
1 Termstruktur betrachten Prüfe, ob die Variable Exponenten
2 Grundform erkennen Eine typische Exponentialfunktion hat die Form f(x)=a·b x b^{x} b x
3 Basis prüfen Bei b x b^{x} b x
4 Vorfaktor erkennen Der konstante Faktor
5 Von Potenzfunktionen abgrenzen Bei einer Potenzfunktion steht x in der Basis; bei einer Exponentialfunktion steht x im Exponenten
6 Funktionstyp benennen Ordne die Gleichung variablen
FA 5.1 – Exponentialfunktion aus Graph erkennen Exponentielles Wachstum oder Abnehmen anhand eines Graphen erkennen.
1 Graphverlauf betrachten Prüfe, ob der Graph über gleiche x-Schritte multiplikativ statt additiv verändert erscheint.
2 Wachstum oder Abnahme erkennen Ein zunehmend steiler Anstieg spricht für exponentielles Wachstum, ein sich abflachender Abfall für exponentielle Abnahme.
3 Waagrechte Annäherung beachten Typische Exponentialgraphen nähern sich einer horizontalen Linie an.
4 Geradlinigkeit ausschließen Ein Exponentialgraph ist bei nichttrivialen Parametern
5 Vorzeichen und Lage beachten Vorfaktor und mögliche Verschiebungen beeinflussen die vertikale Lage des Graphen.
6 Zuordnung begründen Nenne den multiplikativen Verlauf und die typische Annäherung als entscheidende Graphmerkmale.
FA 5.1 – Exponentialfunktion aus Text erkennen Einen verbal beschriebenen multiplikativen Änderungsprozess als Exponentialfunktion erkennen.
1 Veränderliche Größen benennen Bestimme die unabhängige und die abhängige Größe im Text.
2 Änderungsart suchen Achte auf Formulierungen wie vervielfacht sich, wächst um einen festen Prozentsatz oder nimmt jeweils um denselben Prozentsatz ab.
3 Multiplikativen Prozess erkennen Gleiche relative beziehungsweise prozentuale Änderungen pro gleich großem Schritt sprechen für exponentielles Verhalten.
4 Von linearer Änderung abgrenzen Ein fester absoluter Zuwachs pro Schritt wäre linear und nicht exponentiell.
5 Anfangswert beachten Ermittle, ob ein Startwert genannt wird.
6 Exponentiellen Zusammenhang begründen Ordne den Text als Exponentialprozess ein und nenne den konstanten Änderungsfaktor.
FA 5.1 – Wertetabelle einer Exponentialfunktion erstellen Aus einer Exponentialfunktionsgleichung eine Wertetabelle erstellen.
1 Argumentwerte wählen Verwende die vorgegebenen oder wähle geeignete x-Werte.
2 Funktionsgleichung notieren Schreibe die Exponentialfunktion vollständig auf.
3 x-Werte einsetzen Setze jeden Argumentwert in die Exponentenstelle ein.
4 Exponentialterm berechnen Berechne zuerst b x b^{x} b x
5 Mit Vorfaktor verknüpfen Multipliziere anschließend mit a und berücksichtige weitere gegebene Terme
6 Wertetabelle prüfen Kontrolliere Vorzeichen und den typischen multiplikativen Verlauf der Werte.
FA 5.1 – Graph einer Exponentialfunktion erstellen Aus Gleichung
1 Charakteristische x-Werte wählen Bestimme mehrere geeignete Argumentwerte für eine Wertetabelle.
2 Funktionswerte berechnen Berechne die zugehörigen Werte der Exponentialfunktion.
3 Achsen sinnvoll skalieren Wähle eine Skalierung, die Anfangsbereich und Wachstum beziehungsweise Abnahme sichtbar macht.
4 Punkte eintragen Trage die berechneten Wertepaare korrekt ein.
5 Glatt verbinden Zeichne einen glatten Exponentialverlauf durch die Punkte.
6 Graph prüfen Kontrolliere Wachstumsrichtung, Achsenannäherung und markante Werte mit der Funktionsgleichung.
FA 5.1 – Exponentialgleichung aus Tabelle bestimmen Aus geeigneten Tabellenwerten eine einfache Exponentialfunktionsgleichung bestimmen.
1 Geeignete Tabellenwerte wählen Wähle mindestens zwei Wertepaare mit einem gut erkennbaren x-Abstand.
2 Änderungsfaktor bestimmen Bei einem x-Schritt von 1 berechne b als Quotient aufeinanderfolgender Funktionswerte
3 Anfangswert bestimmen Falls x=0 vorhanden ist, gilt bei f(x)=a·b x b^{x} b x
4 Fehlenden Parameter berechnen Ist x=0 nicht gegeben, setze ein Wertepaar in f(x)=a·b x b^{x} b x
5 Funktionsgleichung notieren Setze die bestimmten Parameter b x b^{x} b x
6 Tabelle prüfen Kontrolliere die Gleichung
FA 5.1 – Exponentialgleichung aus Kontext aufstellen Aus Anfangswert und Änderungsfaktor eine Exponentialfunktionsgleichung aufstellen.
1 Eingangsgröße festlegen Bestimme, welche Größe als x verwendet wird.
2 Anfangswert bestimmen Der Modellwert bei x=0 liefert den Faktor
3 Änderungsfaktor bestimmen Übersetze Wachstum oder Abnahme pro Schritt in einen Faktor
4 Prozentangabe umwandeln Bei p Prozent Wachstum gilt b=1+p/100, bei p Prozent Abnahme b=1−p/100.
5 Modellgleichung aufstellen Schreibe f(x)=a·b x b^{x} b x
6 Kontextprobe durchführen Prüfe, ob Startwert und Änderung nach einem Schritt zum Sachtext passen.
b
Nicht ausreichend
Nur die Graphform als Begründung angeben.
Aus zwei Punkten sicher auf ein Exponentialmodell schließen.
Quotienten bei ungleichen x-Abständen ungeprüft vergleichen.
Einen negativen Faktor b < 0 b<0 b < 0
