Grad- und Bogenmaß

Kompetenzcode: AG 4.4

Bereich: Algebra und Geometrie

Ein Winkel beschreibt eine Drehung. Dieselbe Drehung kann mit zwei verschiedenen Maßeinheiten angegeben werden:

• im Gradmaß, zum Beispiel (60^\circ),
• im Bogenmaß, zum Beispiel $\frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}$.

Beide Angaben bedeuten denselben Winkel. Entscheidend ist, die verwendete Einheit zu erkennen und beim Umrechnen den richtigen Faktor zu wählen.

Die zentrale Gleichung lautet: $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$.

1. Winkel im Gradmaß interpretieren

Im Gradmaß wird ein Vollwinkel in (360) gleich große Teile zerlegt:

$$\text{Vollwinkel}=360^\circ.$$

Daraus folgen unmittelbar:

$$\text{halbe Drehung}=180^\circ, \qquad \text{Vierteldrehung}=90^\circ.$$

Positive Winkel werden üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn gemessen, negative Winkel im Uhrzeigersinn. Winkel größer als (360^\circ) enthalten mehr als eine volle Drehung.

Beispiel 1: Einen Winkel größer als eine Volldrehung deuten

Interpretiere den Winkel

$$765^\circ.$$

Schritt 1: Volle Drehungen abziehen.

$$765^\circ-2\cdot360^\circ=45^\circ.$$

Schritt 2: Deuten.

Der Winkel beschreibt zwei vollständige Drehungen und danach weitere (45^\circ) gegen den Uhrzeigersinn.

Schritt 3: Endlage angeben.

(765^\circ) und (45^\circ) besitzen dieselbe Endlage. Solche Winkel heißen koterminal oder gleichsinnig endend.

Beispiel 2: Einen negativen Winkel deuten

Gegeben ist

$$-135^\circ.$$

Schritt 1: Drehrichtung erkennen.

Das Minuszeichen bedeutet eine Drehung um (135^\circ) im Uhrzeigersinn.

Schritt 2: Einen positiven Winkel mit gleicher Endlage bestimmen.

$$-135^\circ+360^\circ=225^\circ.$$

Ergebnis:

$$-135^\circ\quad\text{und}\quad225^\circ$$

haben dieselbe Endlage, beschreiben aber verschiedene Drehwege.

2. Was das Bogenmaß bedeutet

Das Bogenmaß verbindet den Winkel direkt mit einem Kreisbogen. Für einen Kreis mit Radius (r), Kreisbogenlänge (b) und Mittelpunktswinkel $\varphi$ gilt:

$$\boxed{\varphi=\frac{b}{r}}.$$

Der Quotient aus zwei Längen ist dimensionslos. Zur Kennzeichnung schreibt man häufig trotzdem die Einheit $\mathrm{rad}$ für Radiant.

Ein Winkel von (1,\mathrm{rad}) schneidet einen Kreisbogen ab, dessen Länge genau dem Radius entspricht:

$$b=r\quad\Longrightarrow\quad\varphi=\frac{r}{r}=1\,\mathrm{rad}.$$

Für einen Vollkreis ist die Bogenlänge gleich dem Umfang (2\pi r). Daher gilt:

$$\varphi_{\text{voll}}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\,\mathrm{rad}.$$

Eine halbe Drehung entspricht folglich $\pi\,\mathrm{rad}$, eine Vierteldrehung $\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}$.

Beispiel 3: Bogenmaß aus Bogenlänge und Radius bestimmen

Auf einem Kreis mit Radius

$$r=5\,\mathrm{cm}$$

hat ein Kreisbogen die Länge

$$b=12\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 1: Verhältnis bilden.

$$\varphi=\frac{b}{r} =\frac{12\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}.$$

Schritt 2: Einheiten kürzen und ausrechnen.

$$\varphi=2{,}4\,\mathrm{rad}.$$

Schritt 3: Größenordnung prüfen.

Wegen

$$\frac{\pi}{2}\approx1{,}57<2{,}4<\pi\approx3{,}14$$

liegt der Winkel zwischen (90^\circ) und (180^\circ). Das ist zur Länge des Bogens plausibel.

3. Die Brücke zwischen beiden Winkelmaßen

Eine halbe Drehung besitzt die beiden Darstellungen

$$180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}.$$

Durch Division erhält man die beiden Umrechnungsfaktoren:

$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad}$$

und

$$1\,\mathrm{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Damit gilt:

$$\boxed{\alpha_{\mathrm{rad}}=\alpha_{^\circ}\cdot\frac{\pi}{180}}$$

und

$$\boxed{\alpha_{^\circ}=\alpha_{\mathrm{rad}}\cdot\frac{180}{\pi}}.$$

Die Einheit zeigt die Richtung des Umrechnens:

• Grad soll verschwinden: mit $\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}$ multiplizieren.
• Radiant soll verschwinden: mit $\frac{180^\circ}{\pi\,\mathrm{rad}}$ multiplizieren.

4. Gradmaß in Bogenmaß umrechnen

Für eine exakte Umrechnung bleibt $\pi$ im Ergebnis stehen. Erst wenn eine Dezimalzahl verlangt wird, wird näherungsweise ausgewertet.

Beispiel 4: (150^\circ) exakt in das Bogenmaß umrechnen

Schritt 1: Umrechnungsfaktor einsetzen.

$$150^\circ\cdot\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}.$$

Schritt 2: Grad kürzen.

$$150\cdot\frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad}.$$

Schritt 3: Bruch vollständig kürzen.

$$\frac{150\pi}{180}\,\mathrm{rad} =\frac{5\pi}{6}\,\mathrm{rad}.$$

Kontrolle: (150^\circ) liegt zwischen (90^\circ) und (180^\circ). Entsprechend liegt $\frac{5\pi}{6}$ zwischen $\frac{\pi}{2}$ und .

Beispiel 5: Einen negativen Gradwinkel umrechnen

Wandle

$$-45^\circ$$

in das Bogenmaß um.

$$-45^\circ\cdot\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ} =-\frac{45\pi}{180}\,\mathrm{rad} =-\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}.$$

Das Minuszeichen bleibt erhalten, weil sich die Drehrichtung nicht ändert.

5. Bogenmaß in Gradmaß umrechnen

Steht im Bogenmaß ein Vielfaches von $\pi$, kürzt sich $\pi$ beim Umrechnen häufig vollständig weg.

Beispiel 6: Einen exakten Pi-Wert in Grad umrechnen

Gegeben ist

$$\frac{7\pi}{6}\,\mathrm{rad}.$$

Schritt 1: Mit dem passenden Faktor multiplizieren.

$$\frac{7\pi}{6}\,\mathrm{rad} \cdot\frac{180^\circ}{\pi\,\mathrm{rad}}.$$

Schritt 2: $\pi$ und Radiant kürzen.

$$\frac{7\cdot180^\circ}{6}.$$

Schritt 3: Ausrechnen.

$$\frac{7\cdot180^\circ}{6} =7\cdot30^\circ =210^\circ.$$

Kontrolle: $\frac{7\pi}{6}>\pi$, also muss der Gradwert größer als (180^\circ) sein.

Beispiel 7: Einen Dezimalwert aus Radiant in Grad umrechnen

Wandle

$$2{,}4\,\mathrm{rad}$$

in Grad um.

Schritt 1: Formel verwenden.

$$2{,}4\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Schritt 2: Näherungswert berechnen.

$$2{,}4\cdot\frac{180^\circ}{\pi} \approx137{,}51^\circ.$$

Je nach verlangter Genauigkeit lautet das Ergebnis zum Beispiel

$$\boxed{\alpha\approx137{,}5^\circ}.$$

Kontrolle: (2{,}4) liegt zwischen $\frac{\pi}{2}$ und $\pi$; (137{,}5^\circ) liegt passend zwischen (90^\circ) und (180^\circ).

6. Gleichwertige Winkel und Normalisieren

Winkel mit derselben Endlage unterscheiden sich um ganze Vollwinkel:

$$\alpha+k\cdot360^\circ \qquad\text{beziehungsweise}\qquad \varphi+k\cdot2\pi, \quad k\in\mathbb Z.$$

Beispielsweise gilt:

$$\frac{13\pi}{6}-2\pi =\frac{13\pi}{6}-\frac{12\pi}{6} =\frac{\pi}{6}.$$

Die Winkel $\frac{13\pi}{6}$ und $\frac{\pi}{6}$ besitzen dieselbe Endlage. Beim Normalisieren wird meist ein Vertreter im

$$[0,360^\circ) \quad\text{oder}\quad [0,2\pi)$$

gesucht.

7. Taschenrechner und Technologie richtig einstellen

Viele falsche Ergebnisse entstehen nicht beim Umrechnen, sondern durch eine unpassende Winkelmodus-Einstellung:

• DEG steht für Gradmaß,
• RAD steht für Bogenmaß.

Vor einer trigonometrischen Rechnung muss die Einstellung zur Eingabe passen. Zum reinen Multiplizieren mit den Umrechnungsfaktoren ist der Modus zwar unerheblich; für Eingaben wie $\sin(30)$ oder $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ist er entscheidend.

Eine schnelle Kontrolle liefert das bekannte Paar

$$180^\circ\longleftrightarrow\pi\,\mathrm{rad}.$$

Ein Winkel nahe (180^\circ) muss also im Bogenmaß nahe (3{,}14) liegen, nicht nahe (180).

8. Typische Fehler

Falscher Faktor

Von Grad nach Radiant wird mit $\frac{\pi}{180}$ multipliziert; von Radiant nach Grad mit $\frac{180}{\pi}$.

Zu frühes Runden

Bei Winkeln wie (75^\circ) ist

$$75^\circ=\frac{5\pi}{12}\,\mathrm{rad}$$

die exakte Form. Eine Dezimalzahl wird erst gebildet, wenn sie verlangt wird.

$\pi$ als Einheit behandeln

$\pi$ ist eine Zahl, nicht die Einheit des Bogenmaßes. Die Einheit heißt Radiant. Ein Wert wie $\frac{2\pi}{3}$ ist ein Zahlenwert im Bogenmaß.

Drehrichtung verlieren

Beim Umrechnen bleibt das Vorzeichen erhalten. Ein negativer Gradwinkel wird zu einem negativen Radiantwert und umgekehrt.

Vollwinkel verwechseln

$$360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad},$$

nicht $\pi\,\mathrm{rad}$.

9. Allgemeiner Arbeitsplan

1. Einheit der gegebenen Winkelangabe erkennen.
2. Klären, in welche Einheit umgerechnet werden soll.
3. Die Brücke (180^\circ=\pi,\mathrm{rad}) notieren.
4. Den Umrechnungsfaktor so wählen, dass sich die Ausgangseinheit kürzt.
5. Vorzeichen unverändert übernehmen.
6. Brüche vollständig kürzen und $\pi$ in exakten Ergebnissen stehen lassen.
7. Nur bei verlangter Dezimaldarstellung näherungsweise auswerten.
8. Größenordnung mit (90^\circ\leftrightarrow\frac{\pi}{2}), (180^\circ\leftrightarrow\pi) oder (360^\circ\leftrightarrow2\pi) prüfen.
9. Bei Winkeln außerhalb einer Volldrehung gegebenenfalls normalisieren.
10. Vor trigonometrischen Rechnungen DEG- oder RAD-Modus kontrollieren.

Merksätze

• Gradmaß und Bogenmaß beschreiben dieselbe Drehung in verschiedenen Einheiten.
• Im Bogenmaß ist der Winkel das Verhältnis von Kreisbogenlänge zu Radius.
• (180^\circ=\pi,\mathrm{rad}) ist die zentrale Umrechnungsbrücke.
• Grad nach Radiant: mit $\frac{\pi}{180}$ multiplizieren.
• Radiant nach Grad: mit $\frac{180}{\pi}$ multiplizieren.